矩形的性质与判定 典例讲义与强化训练（含解析）-数学九年级上册北师大版

1.2矩形的性质与判定典例精讲与强化训练-数学九年级上册北师大版

一、单选题

1.顺次连结任意四边形彳8。加四边中点，所得的图形是一个矩形，则四边形力8C。一定是（）

A.矩形B.菱形

C.对角线相等的四边形D.对角线互相垂直的四边形

2.如图，在直角三角形48c中，4c8=90。,AC=5,8C=12,CQ为△48。的中线，则CO的

长为（）

A.5B.6C.D.13

3.如图，在矩形力中=6cm,对角线力。与4。相交于点。，DEJ.4C,垂足为E,AE=3CE,

A.6cmB.30cmC.12cmD.375cm

4.如图所示，中，乙4cB=90。,AC=3,8c=4,点。是"的中点，则CO的长度为（）

A.3B.4C.2D.2.5

5.如图，直角梯形/也CO中，AD//HC,AB1BC,AD=2,将腰以。为中心逆时针旋转90。

至DE,连接/IE,CE,ZUOE的面积为3,则4C长（）

E

A.3B.4C.5D.6

6.如图，将矩形48co绕点力逆时针旋转得到矩形/3'C7）'，若/1=127。，则旋转角的度数为（）

7.如图，O是矩形48CZ）的对角线8。的中点，E是48边的中点.若48=8,OE=3,则线段0c的

长为（）

DC

A.3B.4C.5D.6

8.如图，在四边形/8CQ中，对角线力4力，垂足为。，点E、尸、G、〃分别为边力。、AB、BC、

C。的中点.若/。=8,8。=6,则四边形EFG”的面枳为（）

A.48B.24C.32D.12

二、填空题

9.如图，折叠矩形纸片的一边49,使点。落在4。边上的点少处，4C=10cm,48=8cm,则

的长为.

AD

10.如图，在四边形48CQ中，AD//BC,AB1BC,NBC7)=60°,AD=2,AB=2框,将线段CO

绕点。逆时针旋转90。得到EO,连接力E,则a/OE的面积为.

11.如图，矩形48CQ中，AD=5,48=7.点芯为。C上一个动点，把△AOE沿4E折叠，当点。

的对应点少落在448。的角平分线上时，OE的长为.

12.如图，在△/18C中，Z/1C5=90°,AC=\,48=石，点尸是46边上的一动点，过点尸作PEL4C,

PF工BC,垂足分别为£F,跖最小值为

13.如图，在矩形48CQ中，点E为4C上定点，BC=2AB=4BE=4,点/为射线切上一动点,

连接£7、将b绕点E顺时针旋转90。，点/落点为点G,则CG的最小值为.

14.在矩形力8CQ中，对角线/C与3。交于点O,DE1AC,垂足为瓦若CE=9,JE=16,则

SdDOE=______________

15.如图，在矩形力3CQ中，对角线力。与4。交于点。，AE1BD于点E,若AE=5且EO=2BE,

则0D的长为_____________

16.如图，在RtZVIBC中，N34C=90。，，48=3,JC=4,点。是斜边8c上的一个动点，DNJ.AC

于点N,DMJ.AB于点M,连接MN,则线段MN的最小值为.

三、解答题

17.已知：如图，等边△力4C,。为4c边的中点，将△/18C绕点。顺时针旋转到"'8'。’的位置，旋

转角为。(0。＜戊＜90。)，连接49,BC.

备用图

(1)求证：AB'=BC,

⑵当a=60°时，直接写出四边形ACBB'为何特殊的四边形.

18.如图，在△力?。中，40是8c边上的中线，8E是/。边上的高线，EG_L4O于G,AG=DG.

(1)求证：CO=/E；

⑵已知CO=5,AC=\\,求A4。。的面积.

19.如图，在^力台。中，。是8。边上的一点，点E是力。的中点，过A点作8C的平行线交。£的延

长线于点尸，且力尸=8。，连接8尸.

Ea

⑴求证30=co

⑵①当△48c满足什么条件时，四边形力必。是矩形？并说明理由.

②△力8C满足一条件时，四边形力反。是菱形(无需证明).

20.如图，在矩形/8。。中，从尸分别是边力8,。。上的点，，4石=。/，连接EE8R"'与对角线力。

交于点O，且BE=BF,NBEF=2NBAC.

(1)求证：OE=OF；

(2)求NE8尸的度数：

⑶若尸。=2,求矩形/8C。的面积.

21.如图，在平面直角坐标系中，矩形O/8C的顶点力在y轴的正半轴上，点C在x轴的正半轴上,

线段O4OC的长分别是“，〃且满足(加-6『+7^=0,点。是线段OC上一点，将△40。沿直线

彳。翻折，点。落在矩形对角线4c上的点石处

oi)

备用图

(1)求线段0。的长;

(2)求点E的坐标;

(3)QE所在直线与44相交于点点N在x轴的正半轴上，以〃、力、N、。为顶点的四边形是平行

四边形时，求N点坐标.

参考答案:

题号12345678

答案DCCDCCCD

1.D

【分析】本题主要考杳了矩形的性质，三角形中位线定理，根据矩形的性质得到HELE/，根据三

角形中位线定理得到EF//AC,则8O_L4C,据此可得答案.

【详解】解：如图，设点£,F,G,〃分别是四边形48co各边的中点，

•・•四边形£FG〃是矩形，

/.HE1EF,

•・•E、F、〃分别是力&BC,力。的中点，

AEH//BD,EF//AC,

/.BD1AC

.•.原四边形一定是对角线互相垂直的四边形.

2.C

【分析】本题考查了勾股定理和直角三角形斜边中线的性质，熟练掌握勾股定理和直角三角形斜边中

线的性质是解题的关键.先利用勾股定理算出48,再利用直角三角形斜边中线的性质求出。.

【详解】解：VZJC5=90°,AC=5,BC=T2,

；・AB=XIAC2+BC2=A/52+122=13，

•••CO为的中线，

・・・CO」48」xl3=6.5,

22

故选：C.

3.C

【分析】本题考杳了矩形的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握矩形的性质，线段垂直平分线的

性质是解决问题的关键.由矩形的性质得出。4=OQ=OC,由已知条件得出。£=。E，/。口=90。，

由线段垂直平分线的性质得出。。=CQ,得出OC=O£>=CZ)=6cm,即可求出8。的长.

【详解】解；.••四边形44C。是矩形，

:.OA=OC=^AC,OD=；BD,AC=BD,CD=AB=6cm,

OA=OD=OC,

vDEIAC,AE=3CE,

:.OE=CE,/DEA=900,

OD=CD,

OC=OD=CD=6cm,

BD=2OD=12cm,

故选：C

4.D

【分析】本题考查勾股定理与直珀三角形斜边中线，先根据勾股定理求出力8=5,再由斜边中线得到

OC=；AB,即可求解.

【详解】VZACB=90°,AC=3,BC=4,

,AB=VAC2+BC2=A/32+42=5，

•••点。是//的中点，

0C=—AB=—,

22

故选：D.

5.C

【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质等知识.熟练掌握旋

转的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质是解题的关键.

如图，过。作G，_LAC于〃，作EG1G〃于G,由旋转的性质可得，ZCD£=90°,QE=C。，证

明△OEGgACOH(AAS),则C"=OG,由题意知，S^DE=^ADDG=^-x2xZ)G=3,可求OG=3,

贝|JC"=OG=3,证明四边形力是矩形，WiJBH=AD=2,根据=十C〃，il算求解即可.

【详解】解：如图，过。作G//1BC于〃，作EG_LG〃于G,

BHC

由旋转的性质可得，NCOE=90。，DE=CD,

•・•NGDE+NGED=90°=NGDE+NHDC,

JNGED=ZHDC,

又,：NG=/CHD=9G,DE=CD,

.••△OEG%CO"（AAS）,

・•・CH=DG,

由题意知，SjDE=%DDG=gx2xDG=3,

解得，DG=3,

：.CH=DG=3,

VAD//BC.ABIBC,

：./BAD=90°=/ABH=ZDHB,

:.四边形是矩形.

/.BH=AD=2,

・•・BC=BH+CH=5,

故选：C.

6.C

【分析】本题考查了矩形的性质、旋转的性质、三角形外角的定义及性质，由矩形的性质得出/4=90。，

NA/D=90。，由旋转的性质兀得：N4'=N"=90。，由三角形外角的定义及性质得出=37。，

即可得解.

【详解】解：•・•四边形力为矩形，

・・・/8=90。，ZBJD=90°,

由旋转的性质可得：N*=N8=90。，

;Nl=NB'+NB'AD=127°,

:."'AD=37c,

/.NB'AB=NBAD-NB'4D=59,

・•・旋转角的度数为53。，

故选：C.

7.C

【分析】本题考查矩形的性质，三角形的中位线定理，斜边上的中线，中位线定理求出力。的长，勾

股定埋求出8。的长，斜边上的中线求出线段OC的长即可.

【详解】解：丁。是矩形力BCD的对角线4。的中点，石是48边的中点，

・，・AD=2OE=6,/BAD=/DCB=90°,

•*-BD=\lAD2+AB2=10»°C=；BD,

/.OC=5；

故选C.

8.D

【分析】利用中位线定理可得出四边形EFGH矩形，根据矩形的面积公式解答即可.

【详解】解：•・•点七、尸分别为四边形力的边4。、力8的中点，

/.EF//BD,且EF=LBD=3.

2

同理：GH//BD,HG=-BD=3,

2

：.EF//GHtEF=GH,

・•・四边形£FGH是平行四边形，

同理：EH=GF=-AC=4,EH||AC||GF,

2

又•・•AC上BD,

：.EFVFG.

工四边形ER7H是矩形.

J四边形EFGH的面积二£7九=3x4=12,

即四边形EFG”的面积是12.

故选：D.

【点睛】本题考查的是中点四边形的含义，平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，三角形的

中位线的性质，熟记特殊四边形的判定与性质是解本题的关键.

9.3cm

【分析】本题考查矩形与折叠，勾股定理.，熟练掌握矩形和折叠的性质是解题关键.由矩形和折叠的

性质可知力/二力。：8c=10cm,AB=CD=Scm,EF=DE,N8=NC=90。，从而可由勾股定理求出

8户的长，进而可求出。尸的长.设EC=xcm,则E/=OE=(8-x)cm.由勾股定理可列出关于x的

方程，解出x即可.

【详解】解：由矩形和折叠的性质可知AF=AD=BC=10cm,AB=CD=8cm,EF=DE,NB=NC=90。,

:.BF=dAF2-AB?=JlO、J=6(cm),

CF=BC-BF=4cm,

设EC=xcm,则EF=DE=CD-EC=^-x)cm,

•:EF?=EC、FC2，

/.(8-X)2=X2+42,

解得：x=3,

/.EC=3cm.

故答案为：3cm.

10.2

【分析】过点E作E/工/。交力。的延长线于点凡过点C作CG1。产于点G,结合题意可得四边

形力8CG是矩形，，从而可求得OG的长，再结合旋转的性质可证△OE/g/XCDG,从而可得EF的

长，即可求得△力。七的面积.

【详解】解：如图，过点E作4。交4。的延长线于点凡过点C作CG_L。/于点G.

vAD^BC,ABLBC,

：.AB1AG,ZCDG=ZBCD=60°,

••・四边形X8CG是矩形,

CG=AB=?5

DG=2.

•・•是由CO绕点D逆时针旋转90°得到的,

/.DE=DC,Z£DC=90°,

/.ZF£>F+ZCPG=90°,

又NEDF+/DEF=90°,

NDEF=ZCDG,

Z£)FE=ZCGD=90°,

；.ADEF知CDG(AAS).

EF=DG=2,

S*DE=；QEF=2.

【点睛】本题考查了平行线的性质，矩形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，旋转的性质，熟

记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键.

「5r5

U.5或5

【分析】本题考查矩形的折叠，勾股定理，连接，少，过。作A/N工44,交力。于点于点N,

作D'P工BC交BC于点P，先利用勾股定理求出的长，然后分两种情况利用勾股定理解题即可.

【详解】连接30,过沙作148,交力B于点M,CD于点N,作Q'P1BC交BC于点P,则

是直角三角形.

•・•四边形N8CQ是矩形，点。的对应点。落在/力9。的角平分线上，

尸=45。，

丁ZDW=45°,

D'M=MB,

则四边形M8PO是正方形.

设MB=x,

•:AB=1,

AM=7-x,

又AD=5,

力。'=5,

在Rt△力M。'中，根据勾股定理，得力M？+A仍，2=力。，2,即（7一X『+/=25,

解得x=3或4,

.•.MQ'=A/8=3或4.

设=当〃。，=3时，ND=2,NE=CD-DE-NC=7-a-3=4-a,

根据勾股定理，得加'2+人讶=。，£2,，即22+（4-。）2=。2,

解得〃=;;

2

同理，当M6=4时，NZ）'=1,N£=3-。，

根据勾股定理，得12+（3-4『=出，

解得«=|.

综上，/^=m或P

故答案为：［或1.

12.2/26

55

【分析】此题考查了矩形的判定和性质、勾股定理、垂线段最短，熟练掌握矩形的判定和性质、勾股

定理是解题的关键.

连接。尸，利用勾股定理求出QC=2,证明四边形尸EC/是矩形，则当政最短时，CP也

最短，当CP_L48时，CP最短,等积法求出CQ=毡，即可求出EF.

5

【详解】解：如图，连接C7,

VZJCZ?=90°,AC=1,48=石，

:.BC=\lA^-AC?=J（司-I2=2»

VZACB=90°,PE1AC,PF工BC,

・•・四边形PEC£是矩形，

：.EF=CP,

当£产最短时，。尸也最短,

当CP_L川？时，“最短，

如图，

解得。尸="CBC=竿=冬叵,

AB旧5

・尸厂_2后

,,上人心小值一'

故答案为：型.

5

13.1

【分析】本题考查了矩形的性质与判定，旋转性质，图形运动，先作图延长〃。交C。于点N,然后

得出点G在平行于8C,且与8c的距离为1的射线"N上运动，结合垂线段最短得出当G运动到M

即CG_L〃G时，CG有最小值，最后证明四边形石"NC是矩形，即可作答.

【详解】将△4EF绕点E顺时针旋转90°得到△"EG,

如图，延长的交。。于点N

/.BE=HE=1,BF=HG,NB=，H=ZBEH=90

HG//BC,

・••点G在平行于BC,且与BC的距离为1的射线HN上运动,

当G运动到N,即CG_L〃G时，CG有最小值，

ZHEC=ZC=ZEHN=90°,

・•・四边形是矩形，

/.HE=CG=BE=\.

故答案为：1

14.21

【分析】本题考查了矩形的性，贡，勾股定理，熟练掌握矩形的对角线相等且互相平分是解题的关健.

257I_________

22

由矩形得OC=OD=；,则OE=OC-CE=-fS.Rt^DOE中，由勾股定理得DE=^DO-OE=12，

即可求解面积.

【详解】解：•・•四边形48CO是矩形，

OC=OD=-AC=-BD=^^-=—,

2222

257

：,OE=OC-CE=--9=-,

22

•・•DEIAC,

・••在RtA/）。七中，由勾股定理得DE=JD（）2-OE2=12，

c1I7

S.,=—OExDE=—x—x12=21,

ZAZJV/C222

故答案为；21.

15.3

【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，平方根解方程，掌握矩形的对角线相等且平分是解题关

键.由矩形的性质可得。4=。6=。。=38£,再利用勾股定理列方程，求出BE=1,即可得到。。的长.

【详解】解：..•四边形"8C。是矩形，

/.OA=OB=OD,

-EO=2BE,

:.OA=OB=BE+EO=3BE,

•••AE1BD,

AE2+EO2=OA2,

.♦.（可+（2“『=QBE）?,

解得：8月=1（负值舍去），

OD=3BE=3,

故答案为：3.

【分析】本题考查了矩形的判定与性质，勾股定理，垂线段最短，连接40,即可证明四边形4V/DV

是矩形；由矩形4WDV得出MN=/。，再由三角形的面积关系求出力。的最小值，即可得出结果，

熟练掌握知识点的应用是解题的关键.

【详解】解：如图，连接力。，

••BC=vAB2+AC2=v32+4'=5»

VDM1AB,DN1AC,

：./DMA=ZDNA=NBAC=90°,

・•・四边形Dt初N是矩形，

・•・MN=AD,

，当4。24。时，的值最小,

止匕时，△力8C的面秒［='/!占xdC=L4cx月。，

22

.ABxAC3x412

..AD=-------=----=一,

BC55

12

JMN的最小值为不，

12

故答案为：y.

17.（1）见解析

（2）当a=60。时,四边形4CB"为矩形

【分析】（1）连接。"，OB,根据等边三角形的性质和旋转的性质利用SAS证明△“M&AC'OB,

得出答案即可；

（2）先证明〃BC,根据得出四边形力为平行四边形，根据力8=*C',得出

四边形彳C5*为矩形.

【详解】（1）证明：如图，连接。*,OB.

由旋转，可知/B'OB=/COC'=a,OB'=OB,OC=OC,

•••△48C和△/'"C为等边三角形，。为/IC边的中点，。为WC'边的中点,

/.ZAOB=Z.BOC=903,ZB'OC=NA'OB'=90°,

/AOB'=NBOC,

VO为。c边的中点,

.\OA=OC,

vOC=OCt

:.OA=OC,

在△40?'和△C'O4中，

OA=OC

<乙40B'=NC'OB,

OB'=OB

.•.△4080C'08(SAS),

AB'=BCi

（2）证明：连接88',AC,如图所示:

，Z.OAA'=60°,

VZC=60°,

/.NC-O,

:.AB//BC、

VAB'=BC,

・•・四边形为平行四边形，

,?AB=BC,

・•・四边形力仁加'为矩形.

【点睛】本题主要考查了矩形的判定，等边三角形的性质，旋转的性质，三角形全等的判定和性质，

平行线的判定，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握等边三角形的性质.

18.（1）见解析

（2上4。。的面积为22

【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线，三角形的面积，线段垂直平分线的性质，等腰三角形

的判定与性质，熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质以及线段垂直平分线的性质是解题的关键.

（1）根据垂直定义可得N8EC=90。，然后利用直角三角形斜边上的中线性质可得。E=OC,再利

用线段垂直平分线的性质可得£力=切，从而利用等量代换即可解答；

（2）利用（1）的结论可得/E=CQ=5,8c=10,从而可得EC=6,然后利用勾股定理求出8£=8,

从而求出。的面积，最后根据线段中点的性质，可得△/C。的面积=；SJSC=22.

【详解】（1）证明：•••8E_L4C,

:./8EC=90。，

•・•点。是8c的中点，

・•・DE・DC-1BC,

2

VEG±AD,AG=DG,

・•・EG是4。的垂直平分线,

/.EA=ED,

：.CD=AE,

(2)由(1)可得：AE=CD=5,BC=2CD=\0,

•・•4c=11,

/.EC=AC-AE=6,

在RtaAEC中，BE=\IBC2-CE2=V102-62=8»

，△力8c的面积=』4C8E=1xllx8=44,

22

•・•点。是8。的中点，

:,△力。力的面积=；S“BC=22,

:.△4)C的面积为22.

19.(1)见解析

(2)①当力8=力。时，四边形⑷加。为矩形，理由见解析；②当N84C=9()。时，四边形力尸40是菱形，

理由见解析

【分析】(1)证明/^EF^/XDEC4WAF=DC,再根据条件"=即可利用等量代换可得BD=CD；

(2)①首先判定四边形力必。为平行四边形，再根据等腰三角形三线合一的性质可得彳。/8C,进

而可得四边形力所。为矩形；②根据是平行四边形，再证邻边相等的平行四边形是菱形即可.

【详解】(1)证明：•••力尸〃8。，

ZAFE=Z.ECD.

•••E是)。的中点,

DE=AE,

在/与△OEC中，

ZAFE=NECD

<ZAEF=ZDEC,

AE=ED

AJ£F^ADEC(AAS),

AF=DC,

•;AF=BD,

：.BD=CD；

(2)解：①当=时，，四边形力反。为矩形，

证明如下:

•;AF=BD,AF//BD,

••・四边形/反。为平行四边形，

VAB=AC,BD=DC,

ADA.BC,

：.ZBDA=90°,

四边形加由。为矩形；

②当/84。=90。时，四边形是菱形.

证明：由①知四边形力尸8。是平行四边形，

vABAC=90°,BD=DC,

・•・AD=BD=DC,

・•・四边形力心。是菱形.

【点睛】此题考行平行四边形的判定，全等三角形的判定和性质，菱形的判定，熟练掌握全等三角形

的判定与性质及平行四边形判定与性质，菱形的判定是解题的关键.

20.(1)见详解

(2)60°

(3)126

【分析】(1)根据矩形的对边平行可得力8〃8,再根据两直线平行，内错角相等得出/历1C=NFCO,

然后利用“AAS”证明产，再根据全等三角形的性质即可得证：

(2)连接03,根据等腰三角形三线合一的性质可得8。_LM,再根据直角三角形斜边上的中线等

于斜边的一半可得OB=04=。。，根据等边对等角的性质可得4C=N4?O,再根据直角三角形

两锐角互余求出440=30。，即N84C=30°,进而求得/跳尸=60。，得出AEB厂是等边三角形，

从而得出/£"=60。；

(3)可求Z.FBC=30。，而ZBCD=90°,则FB=2FC=4,故在R3BC中,由勾股定理可得8c=26,

可求N8QC=30。，则4O=24C=4G，在RS8OC中，由勾股定理求得OC=6,根据S矩形=BCx

即可求解.

【详解】(1)证明：在矩形48C。中，AB//CD,

：.ABAC=ADCA,BPZEAO=ZFCO,

在△4OE和△CO/7中，

Z1EAO=Z1FCO

-ZAOE=/COF

AE=CF

・•.△AOEACOFgS),

：.OE=OF.

(2)解：,:BE=BF,OE=OF,

：,BO1EF,

・••在中，NBEO+NEBO=90°,

由△力。右且AC。/^AAS)可得OA=OC,

•・•四边形力8C。是矩形，

・•・/ABC=NBCD=9U0,

：.OB=OA=OC,

・•・/BAC=/ABO,

又•・•/BEF=2NBAC,

在RtzXEAO中，2NBAC+NBAC=9M,

解得NH4c=乙480=30。，

:./BEF=6H

•••△EBF是等边三角形,

:.ZEBF=60°：

(3)解：VNEBF=60°,/ABC=90°,

AZFBC=30°,而/8CO=9俨，

/.FB=2FC=4,

在Rl△产BC中，由勾股定理可得BC=2百，

•••AB〃CD/ABO-邓,

：,Z5DC=30°,

・••BD=2BC=A6

・•・在Rtz^QC中，由勾股定理求得。。二6