2026年中考数学几何综合压轴题突破：截长补短 （含解析）

第一讲截长补短

解邈要点剖析

截长补短，顾名思义就是把较长的线段截成两条线段或者延长较短的线段成为一条新的线段.如图1-1所示，

线段AB较短,线段CD较长我们可以在线段CD上截取CE=AB,也可以延长线段AB到点F,使得AF=CD.我们

可以看到，线段CD上的一点E,线段AB延长线上的一点F,其实描述的都是三条线段的数量关系，即AB+DE二

CD,或者AB+BF=CD.

C，-------------------C，-----------------2----------.£)C------------------

A*------・BA*------*BA*J*F

图1-1

另外，在学校几何综合题中会经常消灭一类问题，就是求三条线段的数量关系.而这一类问题大多可以借助上

述截长补短的方法来完成.具体地说，我们不妨设线段a,b,c中线段a最长，通常可以在线段a上截取一条线段

使之长度等于线段b,此时线段n上还剩下一条线段,接下来只需要考虑这段剩下的线段和线段c之间的数量关系

即可.我们也可以延长线段b,使延长的部分等于线段c,接下来只需要考虑延长之后的长线段与线段a的关系.

当然，在探究三条线段之间的数量关系时，既可能消灭线段与线段之间的相等关系，又可能消灭倍数关系，

比如6倍.此时，就需要构造或者查找图形当中的等腰直角三角形其他的倍数关系也是同样的道理.

经典考题解析

例1在△ABC中.NBAO90。.

⑴如图1-2⑴所示，直线I是BC的垂直平分线，请在图1中画出点A关于直线I的对称点A：连接ACABA

C与AB交于点E;

(2潟图1-2⑴中的直线AB沿着EC方向平移与直线EC交于点D,与直线BC交于点F,过点F作直线AB的

垂线，垂足为点H.

①如图1-2(2)所示，当点D在线段EC上时，请猜想线段FH,DF,AC之间的数量关系，并证明；

②当点D在线段EC的延长线上时，直接写出线段FH,DF,AC之间的数量关系.

图1-2

思路分析除去画图问题不讲，我们只看第⑵问①和②中的问题，都是推断三条线段之间的数量关系。遇到这

种问题，我们要尝试的方法就是截长补短。其中，由于线段AC是最长的线段，我们不妨从它入手进行截长。结

合/BAC=90。和FHXAB这样的条件，可以考虑过点F作AC的垂线段FG,从而构造出矩形AHFG,也就相当于

截取出AG=FHO接下来要考虑的问题就是最长线段AC被截取线段FH之后剩下的线段CG与第三条线段FD的关

系。

线段CG与线段FD是什么关系？如何来证明呢？问题转化为常见的两条线段之间的关系。

事实上，在构图过程中，我们可以知道EB二EC且DF始终与线段CE保持垂直关系，因此可以证明△DFC与

△GCF全等，进而证明DF二GC，问题得解。

对于点D在EC延长线上的状况,首先要做的是依据题目要求精确画出图象。此时我们会发觉，FH,F

D和CA三条线段中，FH是最长线段。因此，结论肯定发生变化，但是方法可以借鉴。如图3所示，矩形照旧存

在，只需要证明△DCF与△GCF全等即可。

规范解答

解：（1）正确画出图形，如图1-3⑴所示。

(2)①DF+FH=CA.

证明：过点F作FG_LCA于点G如图1-3(2)所示.

•・・FH_LBA于点H,ZA=90°,FG±CA,

・•・西边形HFGA为矩形.

；・FH=AG,FG//AB.

.\ZGFC=ZEBC.

由11)和平移，可知

ZECB=ZEBC=ZGFC,

ZFDC=ZA=90°.

.\ZFDC=ZFGC=90°.

VCF=FC,

/.△FGC^ACDE

，CG=FD.

；・DF+FH=GC+AG.即DF+FH=AC.

②过点C作HF的垂线，垂足为点G.如图1-3(3)所示,FH-DF=CA.

题后反思由此可见，适合截长亲施的题型相对来说t匕较典型.但是需要留意的是，怎么截长?在靠近哪个端点

四周截长?补短也是同样的道理.因此，方法虽然简洁，但是具体问题中要依据条件和图形的结构，在充分分析之后

才可能猎取正确方法.

另外，一般来讲，对于这样的问题，截长可行，补短也可行.但是，或许其中的某一种方法更为简洁，因此，

充分分析，合理选择.

例2在^ABC中,AB=AC,点P是三角形右夕HH一点且ZAPB二NABC.

(1)如图l-4⑴所示若NBAC=60。点P恰巧在NABC的平分线上.PA=2,求PB的长；

⑵如图1-4⑵所示若NBAC=60。,探究PA,PB,PC的数量关系，并证明；

⑶如图143)所示若为人©=120。请直接写出PA,PB,PC的数量关系.

思路分析第⑴问的条件匕匕较充分，我们可以知道△ABP为直角三角形，利用30的条件就可以求出PB的长.

对于第⑵问，留意到题目要解决的问题是三条线段之间的数量关系.此时，我们就要考虑能否利用截长补短的

方法.其中，线段PB是最长线段,怎样把它截长呢?是靠近点P还是靠近点B?经过思考还拿不准的问题，动手尝试

是必需要做的事情.

假如截取PD=PA,由于NAPB=NABC=60。,所以可以证明△APD为等边三角形.当图形中消灭了两个有所重叠

的等边三角形时，全等就会消灭.接下来就只需要证明^APC^AADB全等第⑵问中，我们实际上构造了PD=PA

以及BD=PC对于第⑶问，PD=PA以及BD=PC明显不能同时成立.这说明结论必定发生变化.

反思第⑵问，可以了解到，全等的理由是CA=CB,ZPAC=ZBAD以及AD=AP.对于第⑶问，我们是否仍旧可以

借鉴呢?从这个角度动身,可以在BP上截取BD=PC,进而分析PD与PA的数量关系.

规范解答解XI)：AB=AC,/BAC=60。，

•••△ABC是等边三角形.

VZAPB=ZABC,

JZAPB=60°.

又•・•点P恰巧在NABC的平分线上，

.•.ZABP=30°.

/.ZPAB=90°.

，BP=2AP.

VAP=2,

・•・BPM.

⑵结论:PA+PC二PB.

证明:如图1-5所示在BP上截取PD,使PD=PA,连接AD.

VZAPB=60°,

・•・AADP是等边三角形.

・•・ZDAP=60°.

AZ1=Z2,PA=DA.

又VAB=AC,

/.△ABD^AACP.

/.PC=DB.

JPA+POPD+BD=PB.

⑶结论:6PA+PC=PB.

题后反思需要留意的问题是，第⑶问中三条线段的关系中消灭了6倍的关系.一旦消灭这种状况，题目难度

就会上升.但也不必恐慌，由于解决问题的基本策略不会变化，照旧是截长补短.要做的事情有两点：第一，勇于尝

试，假如行不通，准时回到原点从头来过.其次，要把常见的情形进行了解，假如有等腰直角三角形，那么有可能

存在0倍关系，假如消灭含120。的等腰三角形，那么就可能消灭5倍关系.

例3在^ABC中,/人8©=45。人8知(：刀£_1人(：,垂足为点E,AD_LBC,垂足为点D.

(1)如图1-6⑴所示，作NADB的角平分线DF交BE于点F,连接AF.求证:/FAB二NFBA;

⑵如图1-6⑵所示，连接DE,点G与点D关于直线AC对称，连接DG,EG.

①依据题意补全图形；

②用等式表示线段AE,BE,DG之间的数量关系，并加以证阻

思路分析当NABC=45“和AD±BC两个条件同时消灭时，△ADB就是等腰直角三角形.再加上DF平分NAD

B,可以证明^ADF^ARDF全等.进而可以证明NFAB二NFBA.

对于第⑵问，当我们把图作出来之后，在推断三条线段的数量关系时，还要想到截长补短的方法.其中，BE

是最长的线段，我们应当把BE截成两段，一段与AE有关系,另一段与DG有关系.再结合AD=BD.的条件,当我

们把AD和AE放在一起，即放到△ADE中考虑的时候，就会有思珞.这个思路就是可以构造一个与前者全等的二

角形，目一边为BD,另一边在BE上,它当然还要和BH相等.沿着这个思路,我们可以作帮助线并寻求进一步的

证明.

规范解答证明:⑴:ADJ_BC,NABC=45。,

/.ZBAD=45°.

・・・AD=BD.

,・，DF平分NADB,

AZADF=ZBDF.

在AADFFDABDF中.

AD=BD,

U{\.ADF^[BDF,

DF=DF,

/.△ADF^ABDF.

・・・AP=BP.

AZFAB=ZFBA.

⑵①补全图形如图1-7所示.

②数量关系:GD+AE二BE.

图1-7

过点D作DH_LDE交BE于点H,

/.ZADE+ZADH=90°.

VAD1BC.

.,.ZBDH+ZADH=90°.

AZADE=ZBDH.

•・•AD±BC,BE±AC,ZAKE=ZBKD,

AZDAE=ZDBH.

在4ADEBDH中，

匚D4EEDBH,

{AD=BD,

DADE=L：BD/I,

.,.△ADE^ABDH.

ADE=DH,AE=BH.

VDH1DE,

AZDEH=ZDHE=45°.

VBE1AC,

□[DEC=45J.

•・•点G与点D关于直线AC对称，

/.AC垂直平分GD.

・•・GD//BE,ZGEC=NDEC=45°.

.\ZGED=ZEDH=90°.

・・・GE〃DH.

・•・四边形GEHD是平行四边形.

.\GD=EH.

.\GD+AE=EH+BH=BE.

题后反思相对来说，这道题的难度比较高.缘由在于图形相对匕扇简单,且截长补短的切入点不太好找，即使

找到了帮助线，后续的证明照旧不明阻但是，我们也没有必要畏难第一，截长补短的思路很确定，只要不断尝

试，肯定可行.其次，完成帮助线后，必定还要有后续证明，有的题目相对简洁，有的题目照旧很难，但不要退缩.

全等三角形的出镜率极高，要想到特殊三角形或者特殊四边形.假如存在，要乐观利用其边角性质做到以上两点，

答案就会浮出水面.

例4如图1-8所示，在正方形ABCD中点E是边AB上的一个动点(不与点A,B重合)，连接DE,点A关于

直线DE的对称点为点F,连接EF并延长交BC于点G,连接DG，过点E作EH_LDE交DG的延长线于点H,连

接BH.nC

⑴求证:GF=GC;\

(2)用等式表示线段BH与AE的数量关系，并证明.

EB

图1-8

思路分析我们借助对称和正方形的性质可以很简洁解决第⑴问对于第⑵问，不管我们是目测还是用刻度尺

测量，都可以清楚地知道线段BH和AE不相等.既然不相等，那么肯定存在其他的数量关系，是什么呢?我们照旧

可以通过刻度尺进行测量和猜想另外，可能有点难度的问题是,即使猜想到这种特殊的数量关系，又如何证明呢?

如何把距离较远的两条线段联系到一远呢？

相对来说，先通过测量得到猜想是重要的.两条线段不相等,又不是“倍半送系，那么通常就是加倍或者V3

倍，我们可以借助刻度尺来完成这个猜想，进而推断附/=饺接下来是证明的问题.分为两个层次：第一，夜意

味着需要构造等腰直角三角形；其次，消灭等腰直角三角形后，借助全等实现线段的迁移.有了这洋的想法，我们

就能想到如何添加帮助线了，即在AD上截取AM=AE,既构造出等腰直角三角形，同时又构造出两个全等的三角

形，即A口乂£和4EBH,最终要解决的问题就是查找全等的条件.

规范解答解：⑴证明：连接DF,如图1-9所示

•・•四边形ABCD为正方形.

・•・DA=DC=AB,ZA=ZC=ZADC=90°.

•・•点A与点F关于DE对称，

/.△ADE^AFDE.

・•・DA=DF=DC,ZDFE=ZA=90°.

VDG=DG,

.,.△DFG^ADCG.

・・・GF;GC.

⑵BH=6AE.

证明：

如图1-9所示在AD上截取AM二AE,连接ME.

,:ZA=90°,

口ME=6AE.

VAD=AB,

・・・DM=EB.

曲1),可得/1=/2,N3=N4,

/.Z2+Z3=45°.

VEH±ED,

・・・ED=EH.

VZ1+/AED=ZBEH+ZAED=90°,

AZ1=ZBEH.

/.△DME^AEBH.

匚BH=EM=&4E.

题后反思相对于其他问题，这个列题的截长补短的特点并不突出.由于其他更典型的问题一般是三条线段之间

通过截长补短确定数量关系，而这个例题则是要查找两条线段的关系.但是，解决问题的思路有相同之处，第一步

是截取相等线段，其次步是证明全等，最终一步是解决问题.

全真模拟训练

1.如图在。。中.BC=2,AB=AC.点D为□力C上的动点，且cos8=*.

⑴求AB的长度；

(2)求ADAE的值：

⑶过点A作AH_LBD.垂足为点H.求证:BH=CD+DH.

2.如图所示，在等边三角形ABC中，CD为中线，点Q在线段CD上运动,将线段QA绕点Q顺时针旋转,

使得点A的对应点点E落在射线BC上，连接BQ,设匚。力餐a（0<a<60且存30）.

⑴当（0<«<30时，

①在图中依题意画出图形，并求4。谕度数（用含a的式子表示）；

②探究线段CE,AC,CQ之间的数量关系,并加以证明；

⑵当30<«<60时，直接写出线段CE,AC,CQ之间的数量关系.

3.如图所示，在菱形ABCD中，口。/8=60、，点E为AB边上一动点（与点A,B不重合），连接CE,将

EMCE的两边所在射线CE,CA以点C为中心，顺时针旋转120，分别交射线AD于点F,G.

（1）依题意补全图形；

⑵若3CE=Q.，求□"说）大小（用含a的式子表示）；

⑶用等式表示线段AE,AF与CG之间的数量关系，并证明.

（第3题）

4.在△ABC中,4B=BC,BD4c隹足为点D.

⑴如图(1)所示，当CABC=90时，若CE平分匚力(方,,交AB于点E,交BD于点F.

①求证：△BEF是等腰三角形；

②求证：BD=:(BC+BE).

⑵点E在AB边上，连接CE.若BD=\0C+创”在图(2)中补全图形，推断ZMCE与NABC之间的数量关系，写

出你的结论，并写出求解.CMCE与匚力伙'关系的思路.

(第4题)

5.已知△ABC,AB=AC,NBAC=a,在BA的延长线上任取一点D过点D作BC的平行线交CA的延长线于点E.

⑴当1①10=60时,如图(I)所示,依题意补全图形，直接写出EC,BC,ED之间的数量关系；

⑵当［BAC=90时，如图⑵所示，推断EC,BC,ED之间的数量关系，并加以证明；

⑶当/8人©=€(时(()<a<180入请写出EC,BC,ED之间的数量关系并写出解题思路.

BB

⑴(2)

(第5题)

1.(1)如图所示,过点A作AM1BC.

口AB=4C/MnBC,BC=2,

匚BM=CM=，C=1.

□cos8啜瑞，在4M8中,BM=1,

口AB=BM+cosB=1-答=VTo.

⑵连接DC.

•••AB;AC,

AZACB=ZABC.

•・•西边形ABCD内接于(DO,

.,.ZADC+ZABC=I8O°.

VZACE+ZACB=i80°,

AZADC=ZACE.

VZCAE=ZCAE,

.,.△EAC^ACAD.

□心二.

ADAC

UADUAE=AC1={4\^=\O.

(3)在BD上取一点N,使得BN二CD,连接AN.

AB=AC,

在AABN和△ACD中{3=1,

BN=CD,

.,.△ABN^AACD.

/.AN=AD.

JZ.VAH1BD,

.\NH=HD.

又：BN二CD,

・・・CD+HD=BN+NH=BH.

2.⑴当0<a<30口时，

①剪出的图形如图(1)所示.

•・•AABC为等边三角形.

/.ZABC=60°.

•••CD为等边三角形的中线，

Q为线段CD上的点，

・•・由等边三角形的对称性得QA=QB.

*.*ZDAQ=a,

・•・ZABQ=ZDAQ=a,ZQBE=60°-a.

•・•线段QE为线段QA绕点Q顺时针旋转所得，

/.QE=QA.

AQB=QE.

可得ZBQE=180°-2ZQBE=180°-2(60°-a)=60°+2a.

nCE+AC=y[3CQ.

如图⑵所示，延长CA到点F.使得AF=CE,连接QF作QH力。，垂足为点H.

NBQE=6(r+2a,点E在BC上，

・•・ZQEC=ZBQE+ZQBE=(60°+2a)+(60°-a>120°+a.

•・•点F在CA的延长线上,NDAQ=a,

ZQAF=ZBAF+ZDAQ=1200+a.

/.ZQAF=ZQEC.

又・・・AF=CE,QA=QE,

/.△QAF^AQEC.

AQF=QC.

•••(^，人仁垂足为点乩

/.FH=CH,CF=2CH.

•・•在等边三角形ABC中，CD为中线，点Q在CD上,

□□月C片;匚力CB=30口，

即△QCF是底角为30。的等腰三角形.

□C//=C()OcosEHCQ=CQHcos30=~CQ

UCE+AC=AF+AC=CF=2CH=y[3CQ.

⑵如图⑶所示当30。＜好6()。时,AC-CE=V3CQ.

3.⑴补全的图形如图⑴所示.

(第3题(1))

(2)由题意得/ECF=/ACG=120。.

.*.ZFCG=ZACE=a.

.・•四边形ABCU是菱形,NDAB=6O。,

.*.ZDAC=ZBAC=30°.

/.ZAGC=30°.

□L^FC=a+30.

⑶力七+/尸=VJCG.

证明:如图⑵所示过点C作CH1AG垂足为点H.

由〔2)可知NBAC=/DAC二NAGC=30。.

ACA=CG.