河南省2025-2026学年高二下学期5月联考数学试卷

PAGE1NUMPAGES9河南省安鹤新联盟2025-2026学年高二下学期58540分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求1.已知全集𝑈={−3,−2,−1,0,1,2,3}，集合𝐴={𝑥∈𝑈∣𝑥2>1}，则𝖢𝑈𝐴= A. B. C. D.2.已知𝑖为虚数单位，若复数𝑧=(1+𝑖)(2−𝑖)，则𝑧在复平面内对应的点在 A.第一象 B.第二象 C.第三象 D.第四象3.已知向量𝑎=(2,𝑚),𝑏=(𝑚,3)，则“𝑚 6”是“𝑎//𝑏”的 A.充分不必要条 B.必要不充分条C.充要条 D.既不充分也不必要条4.在正方体𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1中，动点𝐸在棱𝐵𝐵1上，动点𝐹在线段𝐴1𝐶1上，𝑂为底面𝐴𝐵𝐶𝐷的中心，若𝐹=𝑚，𝐵𝐸=𝑛，则四面体𝑂−𝐴𝐸𝐹的体积 A.与𝑚，𝑛都有 B.与𝑚，𝑛都无C.与𝑚有关，与𝑛无 D.与𝑛有关，与𝑚无𝑥，则 的最大值𝑥.已知𝑥>0，𝑦>0，2𝑥+𝑦= 𝑥，则 的最大值A.

B.

C. D.6.若直线𝑦=𝑘(𝑥−4)与曲线𝑥 9+3𝑦2只有一个公共点，则𝑘的取值范围是 A.(−3, B.[−3, C.(−3, D.[−3,3 3如图，正方形𝐵𝐷的边长为1，取正方形各边的四等分点𝐴1,𝐵1,𝐶1,𝐷1，作第二个正方形𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1后再取正方形𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1各边的四等分点𝐴2𝐵2𝐶2𝐷2，作第三个正方形𝐴2𝐵2𝐶2𝐷2，依此方法一直继续下去.这些正方形的面积之和将趋于()

C.

D.数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，如星形线等．某星形线如图所示，已知该曲线上一点(𝑥,𝑦)的坐标可以表示为(𝑎𝑐𝑜𝑠3𝜃,𝑎𝑠𝑖𝑛3𝜃)(𝑎>0)，若𝑥

=8𝑎2，且

+𝑦=9，则𝑎= 0 0

C. 318若𝑎<𝑏<0，则下列不等式一定成立的有 𝑎2< B.1>

C.ln(𝑏−𝑎)> D.𝑎3< 已知正项数列{𝑎}的首项𝑎=1，前

=

，则 𝑎2=

数列{𝑛}

}是递增数 D.

>设𝑎∈𝑅，函数𝑓(𝑥)=𝑥3−3𝑎𝑥+𝑎3，则 𝑓(𝑥)若𝑎>0，则当𝑥>0时，𝑓(𝑥)≥若𝑓(𝑥)有3个零点，则𝑎的取值范围是(0,3若存在𝑠,𝑡𝑅，满足𝑓(𝑠−𝑡𝑓(𝑠𝑡)=2𝑓(𝑠)，则𝑠𝑡=351512.已知1，2，𝑛成等比数列，则(𝑥+1)𝑛的展开式中所有项的系数之和 已知点𝐴(−1,1)，𝐵(3,3)，线段𝐴𝐵为⊙𝑀的一条直径．设过点𝐶(2,−1)且与⊙𝑀相切的两条直线的斜率分别为𝑘1，𝑘2，则𝑘1+𝑘2= 从1，2，……，2026中随机取出六个不同的数𝑎1、𝑎2、𝑎3、𝑎4、𝑎5、𝑎6，制作长、宽、高分别为𝑎1𝑎2、𝑎3和𝑎4、𝑎5、𝑎6 577如图，在四棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷中，底面𝐴𝐵𝐶𝐷为正方形，侧面𝑃𝐴𝐷是正三角形，平面𝑃𝐴𝐷底面𝐴𝐵𝐶𝐷,𝐸是𝐵𝐶的证明：𝐴𝐷⊥已知椭圆𝐶:𝑥2+𝑦2=1(𝑎>𝑏>0)的离心率为2，短轴长为2 求𝐶(2)若直线𝑙:𝑦=𝑥+𝑡与𝐶交于𝑀,𝑁两点，𝑂为坐标原点，𝖺𝑂𝑀𝑁

，求𝑡设等差数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和为𝑆𝑛，已知𝑎1=3，𝑆3=求数列{𝑎𝑛}设

=1 ，数列

}的前𝑛项和为

.定义[𝑥]为不超过𝑥的最大整数，例如[0.3]=0，[1.5]=1.当 ]+[𝑇2]+…+[𝑇𝑛]=63时，求𝑛已知函数𝑓(𝑥)=𝑥1−(2𝑥(1)求曲线𝑦=𝑓(𝑥)在点(1,𝑓(1))(2)证明：𝑓(𝑥)在(0若关于𝑥的不等式𝑙𝑛𝑥−𝑎𝑥2−𝑎𝑥<0恒成立，求整数𝑎发生的次数，如自然灾害发生的次数等．若随机变量𝑋服从参数为𝜆(𝜆>0)的泊松分布，记作𝑋∼𝑃𝑜𝑖𝑠𝑠𝑜𝑛(𝜆)，则其概率分布为𝑃(𝑋=𝑘)=𝜆𝑘𝑒−𝜆,𝑘∈当𝜆≥20时，泊松分布可以近似为正态分布𝑁(𝜆,𝜆).已知某交通路口平均每分钟通过的车辆数𝑋𝜆=25的泊松分布，试估算在一分钟内该路口通过的车辆数大于15且小于30的概率；参考数据：若𝑋𝑁(𝜇,𝜎2)，则𝑃(𝜇−𝜎<𝑋<𝜇+𝜎)≈0.6827，𝑃(𝜇−2𝜎<𝑋<𝜇+2𝜎)≈0.9545)若随机变量𝑋服从二项分布，当𝑛≥100且𝑝≤0.01时，二项分布近似于泊松分布，其中𝜆=𝑛𝑝.某工厂①这1000件产品中恰有2件次品的概率；(参考数据：𝑒−3≈②求使得𝑃(𝑋=𝑖)最大时的𝑋若𝑋∼𝑃𝑜𝑖𝑠𝑠𝑜𝑛(𝜆)，求证：当0<𝜆<0.1时，𝑃(𝑋>1)<因为𝖺𝑃𝐴𝐷是等边三角形，所以𝑂𝑃⊥𝐴𝐷，因为侧面𝑃𝐴𝐷底面𝐴𝐵𝐶𝐷，侧面𝑃𝐴𝐷底面𝐴𝐵𝐶𝐷=𝐴𝐷，所以𝑂𝑃⊥底面𝐴𝐵𝐶𝐷，因为𝑂𝐴,𝑂𝐸⊂底面𝐴𝐵𝐶𝐷，所以𝑂𝑃⊥𝑂𝐴，𝑂𝑃⊥𝑂𝐸，所以𝑂𝐴，𝑂𝐸，𝑂𝑃不妨设𝐴𝐷=2，则𝑃(0,0,𝐴𝐷=(−2,0,0)，𝑃𝐸=(0,2,−因为𝐴𝐷𝑃𝐸=(−20+02+0×(−3)=0，所以𝐴𝐷⊥𝑃𝐸，所以𝐴𝐷⊥(2)在平面𝑃𝐵𝐶中，𝑃𝐵=(1,2,−3)，𝑃𝐶=(−1,2,−3)，设𝑚=(𝑥,𝑦,𝑧)为平面𝑃𝐵𝐶的一个法向量， ⋅𝑃𝐵=0⇒𝑥+2𝑦−3𝑧=0⋅𝑃𝐶= −𝑥+2𝑦−3𝑧=令𝑦= 3，则𝑚=(0,3,2)为平面𝑃𝐵𝐶的一个法向量．又平面𝑃𝐴𝐷的一个法向量𝑛=(0,1,0)，则cos𝜃=|𝑚⋅𝑛|=|0+3+0|= 所以平面𝑃𝐴𝐷与平面𝑃𝐵𝐶夹角的余弦值为𝑒=𝑐=解：(1)

2𝑏=

2，解得𝑎2=6,𝑏2=3,𝑐2=𝑎2=𝑏2+则椭圆𝐶的方程为𝑥2+𝑦2= 设𝑦=𝑥+联立𝑥2+𝑦2=1，得3𝑥2+4𝑡𝑥+2𝑡2−6= 则𝛥=16𝑡2−12(2𝑡2−6)>0，解得−3<𝑡<且

+

=

−3,𝑥1𝑥2 1+1+

=4−− −4×(𝑥1+(𝑥1+则

𝖺𝑂𝑀𝑁

12

⋅

=3，解得𝑡=±1或𝑡=±22，满足−3<𝑡<则𝑡=±1或𝑡=±217.解：(1)设等差数列{𝑎𝑛}的公差为𝑑，因为𝑎1=3，则𝑆3=3𝑎1+3𝑑=9+3𝑑．因为𝑆3=5𝑎1=15，则9+3𝑑=15，得𝑑=2．所以数列{𝑎𝑛}的通项公式是𝑎𝑛=3+2(𝑛−1)=2𝑛+(2)因为𝑆=3𝑛+𝑛(𝑛−1)×2=𝑛2+2𝑛，则𝑏=1+2=1+ 1所以

=𝑛+

+1

+1

+…

𝑛(𝑛+2)=1++1=𝑛+1+1−1 当𝑛≤2时，因为−1≤1−1−1<0，则[𝑇]= 2𝑛+1 当𝑛≥3时，因为0<1−11 2𝑛+1𝑛+2<2，则[𝑇𝑛]=𝑛+1.因为[𝑇1]+[𝑇2]+…+[𝑇𝑛]=则1245(𝑛1)63，即3(𝑛−2)(4+𝑛+1)即𝑛2+3𝑛−130=0，即(𝑛−10)(𝑛+13)=0.因为𝑛∈𝑁∗，所以𝑛=18.解：(1)由题意可得，𝑓′(𝑥)=−1−2𝑙𝑛𝑥−1，则𝑓′(1)=−又𝑓(1)=2，所以切线方程为𝑦−2=−2(𝑥−1)，即𝑦=−2𝑥+(2)证明：令𝑔(𝑥)=𝑓′(𝑥)=−1−2𝑙𝑛𝑥−1，𝑥>则𝑔′(𝑥)= 𝑥2−𝑥=当𝑥∈(0,1)时，𝑔′(𝑥)>0，𝑔(𝑥)当𝑥∈(1,+∞)时，𝑔′(𝑥)<0，𝑔(𝑥)所以𝑔(𝑥)的最大值为𝑔(1)=−2𝑙𝑛1−2−1=2𝑙𝑛2−3<2−3=− 即𝑓′(𝑥)<0在(0上恒成立，所以𝑓(𝑥)在(0关于𝑥的不等式𝑙𝑛𝑥−𝑎𝑥2−𝑎𝑥<0恒成立，即𝑙𝑛𝑥<𝑎𝑥2+𝑎𝑥由于𝑥>0，所以𝑎>𝑙𝑛𝑥设𝐹(𝑥)=𝑙𝑛𝑥，则𝐹′(𝑥)=𝑥+1−(2𝑥+1)𝑙𝑛𝑥=𝑓(𝑥)

由(2)知𝑓(𝑥)在(0上单调递减，且𝑓(1)=2，𝑓(𝑒)=−所以存在唯一𝑥∈(1,𝑒)，使得𝑓(𝑥)=0，即𝑙𝑛𝑥

则当𝑥∈(0,𝑥0)时，𝐹′(𝑥)>0，因此函数𝐹(𝑥)在(0,𝑥0)当𝑥∈(𝑥0,+∞)时，𝐹′(𝑥)<0，因此函数𝐹(𝑥)在(𝑥0,+∞)故函数𝐹(𝑥)的最大值为𝐹(𝑥)=𝑙𝑛𝑥0= =

因为𝑦=2𝑥2+𝑥在(1,𝑒)上单调递增，则𝐹(𝑥)∈ 2𝑒2+𝑒𝑎 要 𝑙𝑛𝑥𝑎 所以𝑎的最小值为19.解：(1)因为𝑋𝑃𝑜𝑖𝑠𝑠𝑜𝑛(𝜆)，且𝜆=25>20，可近似地认为𝑋∼𝑁(𝜆,𝜆)𝑋∼𝑁(25,25),𝜇=25,𝜎=所以𝑃(15<𝑋<30)≈𝑃(𝜇−2𝜎<𝑋<𝜇𝜎)=𝑃(𝜇−2𝜎<𝑋<𝜇)𝑃(𝜇≤𝑋<𝜇+=0.9545+0.6827=①由题知𝑋𝑃𝑜𝑖𝑠𝑠𝑜𝑛(𝜆)，其中𝜆=𝑛𝑝=1000×0.003=𝑃(𝑋=2)=32𝑒−3=

≈4.5×0.05= ②𝑃(𝑋=𝑖)=3𝑖⋅𝑒−3,𝑃(𝑋=𝑖+1)=所以𝑃(𝑋=𝑖+1)=3𝑖+1⋅𝑖!=

当𝑖=1时，𝑃(𝑋=𝑖+1)>1，当𝑖>2时，𝑃(𝑋=𝑖+1)<1，当𝑖=2时，𝑃(𝑋=𝑖+1)=

所以𝑃(𝑋=1)<𝑃(𝑋=2)=𝑃(𝑋=3)>𝑃(𝑋=4)>⋯所以当𝑋=2，或𝑋=3时，𝑃(𝑋=𝑖)因为𝑋𝑃𝑜𝑖𝑠𝑠𝑜𝑛(𝜆)，所以𝑃(𝑋>1)=1−𝑃(𝑋=0)−𝑃(𝑋=1)，由泊松分布的概率公式，得𝑃(𝑋=0)=𝑒−𝜆,𝑃(𝑋=1)=𝜆𝑒−𝜆，所以𝑃(𝑋>1)=1−𝑒−𝜆−𝜆𝑒−𝜆=1−(1+𝜆)𝑒−𝜆=要证当0<𝜆<0.1时，𝑃(𝑋>1)<0.01，只要证当0<𝜆<0.1时，1+𝜆>令𝑔(𝑥)=𝑥+1(𝑥>0)，则𝑔′(𝑥)=−

< 所以𝑔(𝑥)在(0又𝑔