2026年广东省广州市二模九年级数学试卷（原卷+答案解析）

2026年中考数学第二次模拟试卷

（满分120分，完卷时间120分钟）

一、单选题（本大题共10题，每题3分，满分30分）

1计算-2+3的结果为（）

A.-5B.-1C.1D.5

2.2024年3月25日凌晨0时46分，中国自主研发的鹊桥二号中继星在经过约112小时跨越440万公里的

长途奔月之旅后，成功抵达月球附近，并开始了至关重要的近月制动程序.鹊桥二号中继星成功减速并进

入了预定的环月轨道，标志着此次制动过程圆满成功.请你把数据440万用科学记数法表示为（）

A.440xl（rB.44xl05C.4.4xlO6D.0.44xlO7

3.在①②（_笛丫；③,产+/；④,3）2中，计算结果为,6的个数是（）

A.I个B.2个C.3个D.4个

1.中国初创企业“深度求索”公司，其自主研发的人工智能（M）大语言模型。。细Se或，凭借“好用、

开源、免费”三大特点，在全球范围内引发热烈反响.。伙火灰以公司记录了7名A/工程师在某项任

务中编写代码的行数，数据如下：20,25,25,30,35,40,45,则这组数据的中位数、众数和

平均数分别是（）

A.30,25,30B.35,25,31.4C.30,25,31.4D,25,30,35

5.如图，在VA3C中，D,E分别是ABAC的中点，点尸是5C上的一点，且BF=DE=5cm,则C/

的长是（）

6.如图，CO的半径为2,直径A3、CO互相垂直，则弧BC的长是（）

D

7171

A.B.c.nD.271

42

7.将多项式/一21+x分解因式，结果为（）

A._r(x+l)B.

C.f(x-2)+xD.玉-1)2

8.体育测试中，小明和小亮进行1500米跑测试，小明的速度是小亮的1.25倍,比小亮少用了1分钟，设小

亮的速度是X米/秒，则所列方程正确的是（）

15001500,15001500/八

B.-------------------=6()

1.25xxx1.25x

15001500,15001500“

C.-----------=1D.

x1.25x1.25xx

9.如图，等边VA8C的顶点A，8分别在函数y=-3图象的两个分支上，且A3经过原点C.当点A在

x

3k

函数y=--的图象上移动时.，顶点C始终在函数），=一的图象上移动，贝必的值为（）

x

C.2"D.36

10.若函数X的图象上存在点〃，函数%的图象上存在点。，且Q关于｝'轴对称，则称函数必和力具

有“对偶关系”，此时点〃或点0的纵坐标称为“对偶值”.下列结论:

①函数X=2犬+3与函数乃二一x+l不具有“对偶关系”；

②函数y=2犬+3与函数），2=一犬+1的“对偶值”为一1；

③若1是函数y=履+3与函数），2=：的“对偶值”，则％=2：

④若函数y=-2工+6（—2«元4一1）与函数），2=-（x>0）具有“对偶关系”，则348K孑.

大N

其中正确的是（）

A.①©c.①③④D.@@®

二、填空题（本大题共6题，每题3分，满分18分）

11.化简|兀一3.2|=.

12.在函数），=」=中，自变量X的取值范围是____.

3x-2

13.“如果疯二指.而，那么。之0,〃之0”的逆命题为：.

14.如图，在五边形MC班中，点、M,N分别在边48，4E上.若Nl+N2=110。，则

N8+NC+NO+NE的度数为.

15.如图，48与。。相切于点“，连接BO,过点0作80的垂线OC，交于点C,连接AC,交线

段08于点Q.若A8=3,OC=2,则tanA的值为.

16.如图，在平行四边形48co中，A3=2,3C=3,NA3c=60。，点P为射线AO上一动点，连接成，

点M、N分别为直线A。，上的点，且MV垂直平分族，若4W=1，则线段。尸的长为.

17.计算：718-2COS45°+(-)-1-(7i-1)0

(1、r2-l

18.先化简，再求值：1——-+十二一其中X=3.

Ix+2,x*-2x4-1

19.矩形ABC。中，石是4。的中点，延长CE,BA交于点F，连接AC，DF.

（1）求证：四边形AC。尸是平行四边形.

（2）当C/平分N8CO时，求证：BC=2CD.

20.某商店以固定进价一次性购进一种商品，3月份按一定售价第售，销售额为2400元，为扩大销量，减

少库存，4月份在3月份售价基础上打9折销售，结果销售量增加30件，销售额增加840元.

（1）求该商店3月份这种商品的售价是多少元？

（2）如果该商店3月份销售这种商品的利润为900元，那么该商店4月份销售这种商品的利泪是多少

元？

21.2025年1月14口，教育部办公厅印发了《中小学科学教育工作指南》（以下简称《指南》），旨在推动中

小学科学教育更加重视激发学生好奇心、想象力、探求欲，培育具备科学家潜质、愿意献身科学研究事业的

青少年群体.某校为落实《指南》要求，准备在七年级开设“3。打印”“航模”“机器人”“无人机”共

四类科技社团（每名学生必选且仅选一个社团）.为了解学生参加各社团的意向，现随机抽取：年级部分学

生进行问卷调查，并对问卷数据进行收集、整理、描述和分析，部分信息如下：

il划参加四类科技社团人数的条影统计图计划参加四类科技社团人数的扇形统计图

f人数

i山o门白xLL一

3而而麻H诬人无人机忘团

请根据以上信息，解答下列问题：

（1）本次调查的样本容量为,并将条形统计图补充完整：（画图后请标注相应的数据）

（2）若该校七年级共有1000名学生，请估计计划参加“机器人”社团的学生人数；

（3）根据上述统计分析情况，请你为该校科技社团活动的顺利开展给出一条合理建议.

22.已知A8是。。的直径，点C,。是半圆。的三等分点.连接AC,DO.

cDCD

ABAB

OO

H

图①图②

（1）加图①，求N80。及/A的大小：

（2）如图②，过点。作CFJ_A3于点入交。。于点”，若。。的半径为2.求C”的长.

23.为测量水平操场上旗杆的高度,九（1）班各学习小组运用了多种测量方法.

图1（利用影子）图2（利用镜子）图3（利用标杆）

（1）如图I,小张在测量时发现，自己在操场上的影长EF恰好等于自己的身高DE，此时，小组同学测

得旗杆AB的影长为11.3〃?，据此可得旗杆AB高度为m；

（2）如图2,小李站在操场上E点处，前面水平放置镜面C,并通过镜面观测到旗杆顶部A.小组同学测

得小李的眼睛距地面高度OE=1.6m,小李到镜面距离EC=2m,镜面到旗杆的距离C8=14m.据此

可得旗杆AB高度为m；

（3）如图3,小王在自己与旗杆之间的地面上直立一根标杆，并通过标杆顶端C观测到旗杆顶部4.小组

同学测得小王的眼睛距地面高度DE=1.8m,标杆Cb=5m,小王到标杆距离EF=2m，标杆到旗杆

距离FB=4m，求旗杆AA的高度.

24.已知二次函数），=-；炉+㈤^+日加旧0）图象的顶点为人，与『轴交于点/对称轴与*轴交于点

C.

（1）若该函数图象经过点（（）,石），求点A的横坐标：

（2）若〃?<3,点P（2,yJ和。［4,%）在该函数图象上，证明：%>%；

（3）若VABC是等腰三角形，求，，％的值.

25.某校数学活动小组在一次活动中.对一个数学问题作如下探究.

【问题发现】

（1）如图①，在等边，7ABe中，点P是边3c上一点，且BP=2，连接AP，以AP为边作等边△APQ，

连接CQ,求CQ的长为；

【问题提出】

（2）如图②，在等腰，VABC中，=点尸是边上任意一点，以AP为腰作等腰△APQ,

使hP=PQ、ZAPQ=NABC,连接CQ,求证：ZABC=ZACQ：

【问题解决】

（3）如图③,在正方形中.点P是动HC卜一点.以AP为动作正方形A%户，点Q是正方形

4尸£尸的对称中心，连接CQ,若正方形APE尸的边长为6,C0=2j5,求正方形4OBC的边长.

图①图②

2026年中考数学第二次模拟试卷

（满分120分，完卷时间120分钟）

一、单选题（本大题共10题，每题3分，满分30分）

1.计算-2+3的结果为（）

A.-5B.-]C.1D.5

【答案】C

【解析】

【分析】本题考查有理数的加法运算.绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较

大的绝对值减去较小的绝对值，由此可解.

【详解】解：—2+3=1,

故选：C.

2.2024年3月25日凌晨0时46分，中国自主研发的鹊桥二号中继星在经过约112小时跨越440万公里的

长途奔月之旅后，成功抵达月球附近，并开始了至关重要的近月制动程序.鹊桥二号中继星成功减速并进

入了预定的环月轨道，标志着此次制动过程圆满成功.请你把数据440万用科学记数法表示为（）

A.440xl04B.44x105C.4.4xlO6D.0.44xlO7

【答案】C

【解析】

【分析】本题主要考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为axlO〃的形式，其中IKavlO,

〃为整数.确定〃的值时，要看把原数变成〃时，小数点移动了多少位，〃的绝对值与小数点移动的位数相

同.

【详解】解：440万即4400000,

4400000=4.4xlO6，

故选：C.

3.在①小R②（"了；③在Q④,3）2中,计算结果为〃6的个数是（）

A.I个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【解析】

【分析】本题主要考查了同底数慕相乘（除），幕的乘方，

根据法则计算即可.同底数幕相乘，底数不变，指数相加；同底数哥相除，底数不变，指数相减；哥的乘方，

底数不变，指数相减.

【详解】因为/./=/+2=〃6,（_〃2）3=-〃6,42+〃2=R2-2="O,（/）2=〃6,计算结果为小的有

2个.

故选:B.

4.中国初创企业“深度求索”公司，其自主研发的人工智能（加）大语言模型。eepSe或，凭借“好用、

开源、免费”三大特点，在全球范围内引发热烈反响.OeepSeek公司记录了7名4工程师在某项任

务中编写代码的行数，数据如下：20,25,25,30,35,40,45,则这组数据的中位数、众数和

平均数分别是（）

A.30,25,30B.35,25,31.4C.30,25,31.4D,25,30,35

【答案】C

【解析】

【分析】本题考查了中位数、众数和平均数，根据中位数和众数，平均数的概念，即可解答；一组数据中

出现次数最多的数据叫做众数，一组数据按从小到大（或从大到小）排序后，位于最中间的数（或中间两数

的平均数）是这组数据的中位数，平均数为一组数据中所有数据之和再除以这组数据的个数.

【详解】解：这组数据的中位数为：30,众数为：25,平均数为：

20+25+25+30+35+40+45川.4

7

故选:C.

5.如图，在VA3C中，。，E分别是AB,AC的中点，点尸是8c上的一点，且3b=OE=5cm,则

C.4.5cmD.5.5cm

【]A

【解析】

【分析】本题考查了中位线的判定与性质，根据D,E分别是人民AC的中点，得2DE=BC,结合

BF=DE=5cm,得Cb=10-5=5(cm),即可作答.

【详解】解：・・・D,E分别是AB,AC的中点,

，。上是VA3C的中位线,

・•・2DE=BC,

■:BF=DE=5cm，

BC=10cm,

则CF=10-5=5(cm),

故选：A

6.如图，oo的半径为2,直径A3、CD互相垂直，则弧sc的长是（）

C.兀D.2兀

42

【答案】C

【解析】

【分析】本题考查弧长的计算，熟练掌握弧长的计算公式是解题的关键.先利用直径A3、CO互相垂

直，得出NBOC=90。，再利用弧长公式计算即可.

【详解】解：•・•直径AB、CO互相垂直，

・•・ZBOC=90°，

907ix2

:.BC的长是=71，

180

故选：C.

7.将多项式V-2Y+x分解因式，结果为()

A.x(x+l)2B.x(x2-2x)

C.x2(x-2)+xD.x(x-l)2

【答案】D

【解析】

【分析】本题主要考查了因式分解，先提出公因式x,再根据完全平方公式分解即可.

【详解】解：原式二x(f—2x+l)=x*—l)2.

故选：D.

8.体育测试中，小明和小亮进行1500米跑测试，小明的速度是小亮的1.25倍，比小亮少用了1分钟，设小

亮的速度是工米/秒，则所列方程正确的是()

侬二幽+15001500,八

A.1B.----------------=60

1.25%xx1.25x

八15001500,15001500/八

C.----------------=1D.----------------=60

x1.25x1.25xx

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查了分式方程的应用，设小亮的速度是x米/秒，则小明的速度是1.25x米/秒，根据小明比

小亮少用了1分钟列方程即可.

【详解】解：由题意，得

幽-幽=6。.

故选B.

9.如图，等边V48C的顶点A，A分别在函数>二-3图象的两个分支上，旦A8经过原点。.当点4在

x

则k的值为（)

D.3百

【答案】B

【脩析】

【分析】根据反比例函数图象的对称性可得。4=08,设04=x,则AC=2x,OC=JIt，根据等边

三角形三线合一可证明AAOE-AOCF,根据相似三角形面积比等于相似比的平方可得结论.

【详解】解：••函数》二-2图象关于原点对称，

x

：.OA=OB,

连接OC,过4作AE_Lx轴于E,过C作CF_Lx轴于产，

・••《ABC是等边三角形，

AO1OC,

ZAOC=90°,ZAOC=30°.

Z4OE+ZCOF=90°,

设0A=x,则AC=2x,0C=>j3x»

QAEJLx轴，b_Lx轴，

ZAEO=ZOFC=ZAOE+NOAE=90°,

NCOF=/OAE,

...MOEsAOCF，

顶点A在函数y=--图象的两个分支上,

"OCF=2，

一•顶点C始终在函数），=幺的图象上,

x

「.4=9,

【点睛】本题考查了综合运用反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象关于原点对称，相似三角形

的判定与性质及等边三角形等知识点，难度不大，属于中档题.

io.若函数兄的图象上存在点p,函数为的图象上存在点。，且尸、。关于丁轴对称，则称函数%和当

具有“对偶关系”，此时点尸或点。的纵坐标称为“对偶值”.下列结论：

①函数y=21+3与函数为二一4+1不具有“对偶关系”；

②函数y=2x+3与函数%二一4+1的“对偶值”为T;

③若1是函数%二依+3与函数为二」的“对偶值”，则4=2：

x

Io

④若函数凹=-21+可一2工工工一1）与函数为二一（工＞0）具有“对偶关系”，则

久N

其中正确的是（）

A.①@B.②③C.①③④D.®@®

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查新定义展开，围绕“对偶关系”和“对偶值”的定义逐一求解即可;

根据P、。关于y轴对称，称函数y和%具有“对偶关系”，则旦。横坐标是相反数关系，纵坐标相

等，逐一分析即可.

【详解】解：①设函数y=2x+3上点p坐标轴为（m,2〃z+3）,

•・,P、。关于）'轴对称

Q点坐标为（一机"7+1）

若点尸或点Q的纵坐标称相等，

，2〃?+3=〃?+1解得：m=-2»

则存在这样的点P、。，使得他们关于）'轴对称，

・•・函数y=2x+3与函数%=一工+1具有“对偶关系”

所以①错误；故不符合题意；

②当X=%=-1时，贝U-l=2x+3,解得戈=-2；-l=-x+l,解得R=2；横坐标是相反数，所以②

正确，故符合题意；

③当y=M=l时，贝解得工二1；

x

因为是函数y=丘+3与函数％=工的“对偶值”，

~x

所以函数乂二丘+3的x=—1,代入得：1=一％+3,解得％=2,所以③正确，故符合题意；

④设点P坐标为（也一2〃?+〃）,则点。坐标为（一〃2,一\,

•・・P、Q横坐标是相反数关系，纵坐标相等

/.-2m+b=一~-,整理得〃=2加一~-,

mtn

V-2<m<-L对于函数），二2加一,，），随用的增大而增大，

m

117

当〃z=—2时，b=2x（—2）——=—4+—=——；

当/〃=—1时，/?=2x（—1）——=—2+1=—1；

_I

79

而不是二，所以④错误，故不符合题意；

22

故选：B.

二、填空题（本大题共6题，每题3分，满分18分）

11.化简|兀-3.2|=.

【答案】3.2—兀相一兀+3.2

【解析】

【分析】先判断绝对值内代数式的正负，再根据绝对值的性质化简即可求解.

【详解】解：乃《3.14<3.2,

.7-3.2<0.

|n-3.2j=3.2-兀.

2r

12.在函数），=—中，自变量x的取值范围是____.

3x-2

【答案】x^-

3

【解析】

【分析】根据分式有意义的条件是分母不等于0即可得到答案.

【详解】解：）,=------中，

3工一2

3X-2H0,

解得x工g.

即自变量X的取值范围是无。|.

故答案为：X^―

3

【点睛】此题考查了函数自变量的取值范围，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键.

13.“如果疝=6・扬，那么。之0,力20”的逆命题为：.

【答案】如果b>0,那么J拓=

【解析】

【分析】本题考查了命题和逆命题，把命题的条件和结论交换位置得到的命题就是原命题的逆命题，解决

本题的关键是根据命题和逆命题的关系进行未计解.

【详解】解：“如果而=&•小，那么。之0,〃之0”的逆命题为：如果。之0,Z?>0,那么

\/ab=4a-\[b-

故答案为：如果。20,Z?>0>那么>/拓=

14.如图，在五边形ABCDE中，点M,N分别在边A3,AE上.若Nl+N2=110。，则NB+NC+N£>+NE

的度数为.

【答案】470。##470度

【解析】

【分析】先求出N3MN+N£NW=250。，再用六边形内角和减去N3MN+NEMW的和即可.

本题考杳了多边形内角和的计算，掌握多边形内角和公式是解题的关键.

【详解】解：ZBMN+ZENM=360°-(^1+^2)=360°-110°=250°,

六边形ABCDE的内角和为：(6-2)380°=720°,

NB+NC+ND+NE=720°-250°=470°.

故答案为：470°.

15.如图，A5与。。相切于点8,连接BO,过点。作B。的垂线OC,交。O于点C,连接AC,交线

段。8于点O.若AB=3,OC=2,则tanA的值为.

【答案】|

【解析】

【分析】利用平行线的判定与性质证明rODCsiEM,再求得30,再利用直角三角形的边角关系解答

即可.

【详解】解：TAB与。0相切于点&

二OB.LAB,

・•0C人OB,

•.OC//AB,

•..ODCS'BDA,

.OP_PC

：OB=OC=2,

2-BD2

•・---------=-,

BD3

•.BD=~.

5

6

故答案为：|.

【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆的切线的性质定理，平行线的判定与性质，相似三角形的判定

与性质，直角三角形的性质，直角三角形的边角关系，熟练掌握上述定理与性质是解题的关键.

16.如图，在平行四边形48CD中，43=2,3C=3,NABC=60。，点P为射线A3上一动点，连接成，

点M、N分别为直线A。，3c上的点，且MN垂直平分研，若AM=1,则线段OP的长为.

【答案】疗—2或4—6

【解析】

【分析】当点M在线段上时，过点B作BH/AD于点H,连接8W,在平行四边形46co中，

AB=2,BC=3=AD,AD〃BC,得出=ZA3C=60。，从而得

AH=；AB=1,BH=4-12=瓜勾股定理求出8W=J7,根据MN垂直平分研，得出

MP=BM=S，即可求出。P；当点M在直线A。上时，过点B作BHJ.AD于点H,连接3M,此

时点M与点”重合，根据MN垂直平分成，得出MP=BM=布,即可求出。P;

【详解】解：如图，当点M在线段上时，过点B作BHJ.AD于点H,连接8M，

在平行四边形ABCD中，AB=2,BC=3=AD,AD//BC,

:./HAB=ZABC=60。,

・•・AH=-AB=\,BH=>J22-\1=y/3,

2

VAM=\,

；・MH=2,

:.可+2?=币,

•.•MN垂直平分BP，

:・MP=BM=不，

・•・DP=MP-MD=MP-(AD-AM)=yfi-2；

如图，当点M在直线A力上时，过点8作AO于点儿连接

在平行四边形A8CQ中，AB=2,BC=3=AD,AD//BC,

・•・AHAB=ZABC=60°,

・•・AH=-AB=\,BH=V22-l2=G,即此时点M与点H重合,

2

•・・MN垂直平分BP，

:・MP=BM=6

:.DP=DM-MP=3+1-6=4-6；

综上，线段£)P的长为近-2或4—6,

故答案为：V7-2或4—

【点睛】该题考查了平行四边形的性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质，含30度的直角三角形的性

质等知识点，解题的关键是分类讨论，掌握以上知识点.

三、解答题(本大题共9题，满分72分)

17.计算：-2cos45°+(—)'1-(TT-1)0

3

【答案】20+2

【解析】

【详解】【分析】按顺序先分别进行二次根式化简、特殊角的三角函数值、负指数塞、0指数察的运算，然

后再按运算顺序进行计算即可得.

【详解】>/1~8~2cos45°+(—)1-(7t-1)0

3

=3>/2-2x—+3-1

2

=2&+2.

【点睛】本题考查了实数的综合运算能力，解决此类问题的关键是熟练掌握负整数指数‘曷、零指

数暴、二次根式、绝对值、特殊角的锐角三角函数值等知以.

1X，―]

18.先化简，再求值:其中x=3.

x+2)x~-2,x+1

【答案】七」2

X+25

【解析】

(x+2

【详解】解：原式二(有1]：(2)(1)

x+2)(x-1)2

X+lX-]

---------X----------

x+2x+1

X-1

----•

x+2'

3-1?

当上=3时，原式=

3+25

19.矩形A8C。中，£是AO的中点，延长CE,3A交于点F,连接4C，DF.

(1)求证：四边形ACOF是平行四边形.

(2)当CF平分/8CO时，求记：BC=2CD.

【答案】(1)见详解(2)见详解

【解析】

【分析】本题考查了矩形的性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判

定与性质；熟练掌握矩形的性质是解题的关键.

(1)证明二E4E9二CDE得出CD=£4,即可得出结论：

(2)证出二CDEt是等腰三角形，得出CD=OE,得出AO=3C=2CO.

【小问1详解】

证明：四边形43C。是矩形，

AB//CD,

:"FAE=/CDE.

•「E是4D的中点，

/.AE=DE.

在.•石45和一。。£"中，

NFAE=NCDE

,乙FEA=NCED,

AE=DE

:.△FAEgACDE(AAS),

:.CD=FA.

・・・CDHAF,

..・四边形AC。9是平行四边形：

【小问2详解】

证明：・；C/平分/3CO,

..^DCE=ZBCE.

•・•四边形A8CO是矩形，

AAD//BC,AD=BC,

:"DEC=/BCE,

:"DEC=/DCE,

，DC=DE

,・E是AD的中点，

...AD=2DE=2DC,

:.RC=2CD.

20.某商店以固定进价一次性购进一种商品，3月份按一定售价半售，销售额为2400元，为扩大销量，减

少库存，4月份在3月份售价基础上打9折销售，结果销售量增加30件，销售额增加840元.

（1）求该商店3月份这种商品的售价是多少元？

（2）如果该商店3月份俏售这种商品的利润为900元，那么该商店4月份销售这种商品的利沟是多少

元？

【答案】（1）该商店3月份这种商品的售价是40元；＜2）该商店4月份销售这种商品的利润是990元.

【解析】

【分析】（1）设该商店3月份这种商品的售价为x元，则4月份这种商品的售价为0.9X元，根据数量=总

价：单价结合4月份比3月份多销售3（）件，即可得出关于x的分式方程，解之经检验即可得出结论;

（2）设该商品的进价为y元，根据销售利润=每件的利润x销售数量，即可得出关于y的一元一次方程,

解之即可得出该商品的进价，再利用4月份的利润;每件的利润x销售数量，即可求出结论.

【详解】＜1）设该商店3月份这种商品的售价为x元，则4月份这种商品的售价为0.9人元,

根据题意得：

2400_2400+840

x0.9%

解得：％=40,

经检验，x=40是原分式方程的解.

答：该商店3月份这种商品的售价是40元.

（2）设该商品的进价为。元,

根据题意得：（4°一小鬻=9°°,

解得：。=25,

2400+840

(40x0.9-25)x=990(元).

40x0.9

答：该商店4月份销售这种商品的利润是990元.

【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确

列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程.

21.2025年I月14日，教育部办公厅印发了《中小学科学教育工作指南》（以下简称《指南》），旨在推动中

小学科学教育更加重视激发学生好奇心、想象力、探求欲，培育具备科学家潜质、愿意献身科学研究事业的

青少年群体.某校为落实《指南》要求，准备在七年级开设“3。打印”“航模”“机器人”“无人机”共

四类科技社团（每名学生必选且仅选一个社团）.为了解学生参加各社团的意向，现随机抽取：年级部分学

牛进行问卷调杳，并对问卷数据进行收集、犍理、描述和分析，部分信息如下：

计划参加四类科技社团人数的条形统il图计划参加四类科技社团人数的扇形统计图

niI1inIL.I.I1>»

3D打中觥H函人无人机由外

请根据以上信息，解答下列问题：

（1）本次调查的样本容量为并将条形统计图补充完整；（画图后请标注相应的数据）

（2）若该校七年级共有1000名学生，请估计计划参加“机器人”社团的学生人数；

（3）根据上述统计分析情况，请你为该校科技社团活动的顺利开展给出•条合理建议.

【答案】（1）50,画图见解析

（2）320人

（3）见解析

【解析】

【分析】本题考查条形统计图、底样本估计总体，解题的关键是明确题意，利用图中的数据、求出所求问题

的答案.

（1）由3D打印人数及其所占百分比可得样本容量，再根据各组人数之和等于总人数求出无人机社团人数

即可补全图形；

（2）总人数乘以样本中参加“机器人”社团的学生人数所占百分比即可：

（3）根据统计图的信息提出合理建议即可.

【小问1详解】

解：本次调查的样本容量为11・22%=50,

无人机社团人数为50-（11+8+16）=15（人）,

补全图形如下:

i1划，加四笑科及社由人数的条形统计图

【小问2详解】

答：估计计划参加“机器人”社团的学生人数约为320人.

【小问3详解】

解：建议开展形式多样的科技活动(答案不唯一).

22.已知A8是。。的直径，点C,。是半圆O的三等分点.连接AC,DO.

(1)如图①，求N8O。及乙4的大小；

(2)如图②，过点。作于点凡交。O于点儿若。。的半径为2.求C”的长.

【答案】(1)ZBOD=60，ZA=60°

⑵26

【解析】

【分析】⑴直接利用半圆所对的圆心角为180°，半圆所对的圆周角为90°求解即可;

(2)先求出上。。4是等边三角形，再求出。尸=4/=1,CF=HF,最后利用勾股定理求解即可.

【小问1详解】

•・•点C,。是半圆O的三等分点，且半圆所对的圆心角为180°，圆周角为90,

/./BOD=吧-=60°，ZA=90?x-=60\

33

・・・/30£>=60，4=60".

【小问2详解】

如图，连接OC,

••・3=OC,

•・・/A=60'，

・•・一。。4是等边三角形，

•・,CF上AB,

：.OF=AF=\,CF=HF,

:,CF=yloC2-OF2=V22-l2=V3，

:.CH=2日即C”的长为27g.

图②

【点睛】本题考查了圆的相关概念，涉及圆周角和圆心角、垂径定理、等边三角形的判定与性质等知识,

解题关键是牢记相关概念，正确径出辅助线构造直角三角形并利用勾股定理求解.

23.为测量水平操场上旗杆的高度，九（1）班各学习小组运用了多种测量方法.

图1（利用影子）图2（利用镜子）图3（利用标杆）

（1）如图1,小张在测量时发现，自己在操场上的影长E/恰好等于自己的身高力E,此时，小组同学测

得旗杆A8的影长8。为11.3机，据此可得旗杆A8高度为田；

（2）如图2,小李站在操场上E点处，前面水平放置镜面C,并通过镜面观测到旗杆顶部A.小组同学测

得小李的眼睛距地面高度OE=1.6m,小李到镜面距离EC=2m,镜面到旗杆的距离CB=14m.据此

可得旅杆AB高度为m；

（3）如图3,小王在自己与旗杆之间的地面上直立一根标杆，并通过标杆顶端C观测到旗杆顶部人小组

同学测得小王的眼睛距地面高度。E=L8m,标杆Cb=5m,小王到标杆距离瓦'=2m,标杆到旗杆距

离FB=4m，求旗杆48的高度.

【答案】（1）11.3

(2)11.2（3）旗杆A3的高度约为1L4米

【解析】

【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，以及等腰三角形的性质，

（1）影长所恰好等于自己的身高力E，可知4。所是等腰直角三角形，由平行投影性质可知，NABC

是等腰直角三角形，即可求得：

（2）利用已知判定△OECsA48C,结合相似三角形的性质进行求解即可；

（3）过点D作DHJLAB,垂足为点H,交CF干点、G可知四功形QEFG,四动形G五和四功形

OE3”都是矩形，求得对应边长，进一步证明4OCGs_O〃4,结合焉=黑可求得A”，即有A4.

【小问I详解】

解：•・•影长石/恰好等于自己的身高。E,

・•../）斯是等腰直角三角形，

由平行投影性质可知，V44c是等腰直角三角形，

则A3=8C=11.3m,

故答案为：113

【小问2详解】

解：

A

产

—〃,〃〃F

ECB

由反射定律可知，NDCE=ZACB

又〃>EC=ZABC=90。,

二IXDECS—BC,

・・・卫=华即任=匕

DECE1.62

解得A3=11.2,

则旗杆高度为11.2米

故答案为：11.2；

【小问3详解】

解：如图，过点。作A8,垂足为点从交CF于点、G,

由题意可知，四边形OEFG,四边形GF8”和四边形。殖，都是矩形，且OE=1.8m,EF=2m,

FB=4m，CF=5m,

：・GF=BH=DE=1.8m,DG=EF=2m,GH=FB=4m，

ACG=CF-GF=5-1.S=3.2m,DH=DG+GH=2+4=6m,

•：4CDG=ZADH,NDGC=90。=NDHA,

:・LDCGS^DHA,

.CGDG

••,

AHDH

.3.22

・・---=—，

AH6

***AH=9.6m，

・•・A8=A/7+”8=9.6+1.8=11.4m,

・•・旗杆AB的高度约为11.4m.

24.已知二次函数），=一；/+m丫+卷根（加#0）图象的顶点为4,与〉，轴交于点笈，对称轴与x轴交于

点C.

（1）若该函数图象经过点（0,6），求点A的横坐标；

⑵若加＜3,点P（2,yJ和0（4,%）在该函数图象上，证明：

（3）若VA8C是等腰三角形，求〃?的值.

【答案】（1）点4的横坐标为3

（2）证明见解析（3）,77=巫或〃1=-26

3

【解析】

【分析】（1）把（0,6）代入〃a+立相（加wo）可得m=3,再进一步求解即可.

3

（2）先求解y=—2+2根+』3〃2,y=—8+4/??+m»结合加＜3,

713723

省（

y-y=-2+2m+m--8+Am+——6tn）,再进一步计算即可.

}23

（3）先求解B（）,日/心4+&]

。（九。），可得482=m2+—

23

（2/TY

AC2=\—+—m,再分三种情况讨论即可.

I23

【小问1详解】

解：•・•二次函数），=一!/+m丫—亚〃?（加声0）图象过点（0,6）,

3

:.—m=6，

3

解得：m=3,

；・二次函数为y=+3^+43,

・••点A的横坐标为3

【小问2详解】

1八

解：丁点P（2,yJ和Q（4,%）在函数y=——x24-/nr4——0）图象上,

23

y=-2+2m-+tn，y=-8+■+旦in，

]323

•・•加＜3,

百f

y-y=-2+2m+m--8+4/n+

23

=-2（w-3）＞0,

•二M.

【小问3详解】

解：在函数），=-；/+3+等〃2（〃2H0）中,

当x=0时，y=m»

3

B0,--m

3

」人必+如2+江+且6，二次函数图象的顶点为A，对称轴与x轴交于

m=

2323

点C

m26]

Am,---F—mC(/?7,0),

23