福建省龙岩市上杭县某中学2025-2026学年高二年级下册3月月考数学试卷（含答案）

福建龙岩市上杭县第一中学2025-2026学年度第二学期第一次月考高二数

学试题

一、单选题

1.已知函数/(X)可导，且满足hm/(3一一)一.3+>)=2,则函数y=/(x)在x=3处的导数为()

门->0AY

A.-1B.-2C.1D.2

.2.UULL1ULK11tJULl1

2.如图，在三棱锥。—48C中，E是CO的中点，点厂在上，AF=-AB,记力。=凡/8="力。=,,

贝府=()

3.已知函数/(x)的导函数为/'(X),且/(力=2必［£|+sinr,则/用=()

A.—B.jC.--D.-叵

2222

4.已知向量方=(-1,3,-2),6=(2,-1,3)忑=(4,3,/〃)，若依尻就不能构成空间的一个基底，则实数〃?的值为

（）.

37

A.-10B.0C.5D.—

7

5.函数/（工）=$3+以2_2r+1在x«[,2）内不单调，则（）

1I11

A.—<ci<—B.—KaK-

2222

1Tl1fl

C.a<——或〃>—D.a<——或“N—

2222

6.若函数歹二/'(刈图象如图所示，则y=/(x)图象可能是()

7.定义在夫上的函数/(x)的导函数为“(x).若对任意实数》,有/(x)>/'(x),且〃x)+2021为奇函数,

则不等式〃x)+2021e，<0的解集是()

A.y,0)B.(0,-KO)

C.|-00,—|D.~|

8.如图，在直三棱柱/3。-48£中，4ACB=gAC=2,BC=1,44=2,点。是楂NC的中点，点上

在棱8用上运动，则点。到直线GE的距离的最小值为()

二、多选题

9.下列求导运算正确的是()

A.(In7)r=y

B.(x2+2)sinx=2xsinx+|x2+2)cosx

1

D.[ln（3x+2）J=

3x+2

10.给出下列命题，其中错误的是()

A.若空间向量声二(3,1,3),万=(-1,入-1),且而〃万，则实数％=

B.若不〃万，则存在唯一的实数4,使得G=4

C.若空间向量值=(1,0,1),^=(2,-1,2),则向量5在向量G上的投影向量是(3,0,3)

D.点M(3,-2,1)关于平面yOz对称的点的坐标是(-3,-2,-1)

11.关于函数/(x)='+lnx,下列判断正确的是()

X

A.x=l是/(戈)的极小值点

B.函数y=/(x)-x有且只有1个零点

C.存在正实数A,使得歹=/(、)＞云恒成立

D.对任意两个正实数占，马,且，2＞项，若/(再)=/(吃)则玉+》2＞2

三、填空题

12.在长方体力8CO-4与GA中，AB=BC=I,AA=6,则异面直线力2与。卅所成角的余弦值为

13.已知awR,对任意％R,关于x的方程洸~+/=0有实数解，则/的最小值为,

14.已知函数/(司=1-4。有三个零点，则实数a的取值范围是.

四、解答题

15.如图，48是圆柱OQ的一条母线，8c是底面的一条直径，。是圆。上一点，且48=8C=5,CD=3.

O'

---!

：

'、'、、：

、、、、I

\x

、I、

——士、

Bc

'D

(1)求直线力。与平面力4。所成角正弦值；

(2)求点B到平面ACD的距离.

16.设函数/(x)=；x3-/2+/u+c,曲线尸/(力在点(0,〃0))处的切线方程为y=l.

(1)求力、C的值：

(2)当a=2,xu[2,3]时，求函数/(x)单调减区间和最值.

17.已知函数f(x)=x2~(2a+\)x+a\nx+aeR).

⑴当〃=1时，求函数/(x)的单调区间;

(2)若函数/(》)在(0,2)内存在两个极值点，求实数a的取值范围.

18.如图，在三棱锥P-48C中，AB=BC=2及,PA=PB=PC=AC=4,。为力C的中点.

(1)证明：PO_L平面/8C；

(2)若点M在棱BC上,且二面角"-产力-。为30。，求尸C与平面尸4W所成角的正弦值.

19.已知函数/(x)=qlnx+f-(4+2)x,其中aeR.

(1)当。=1时，函数/a)的单调性；

(2)若函数/(x)的导函数/'(X)在区间(l,e)上存在零点，证明：当x«l,e)时/(x)>-e2.

参考答案

1.A

2.B

3.D

4.C

5.A

6.C

7.B

8.D

9.BC

10.BCD

11.ABD

12.1

5

13.2

e

14.(oe)

15.(1)548_1平面8。，BC,CDu平面BCD,;./!B工CD,ABA.BC；

♦.•3。是圆。的直径，「.8。_18,又4BC\BD=B,力氏BDu平面4BD,

\CO~平面川?。，,/。。即为直线/。与平面川?。所成角，

5AB=BC=5,AB工BC,:.AC=5叵,又CQ=3,

.•.sin/C4O=丝=峥,即直线AC与平面48。所成角的正弦值为逑.

AC1010

(2)

\°\

\、*~'—

D

过8作垂足为“，

由（1）得：CQ_L平面480,CDu平面力CD,.•.平面,480平面力8,

又平面力8Qc平面/CQ=/1Q,8Mu平面480,平面/CO,

•;BD7BC2-CD2=4,AD=yjAB2+BD2=VJT»

根据等面积法知：LADBM3BBD,;.BA"也变=辿

22AD41

即B到平面ACD的距离等于吆巴..

41

16.(1)因为/(X)=-?x2+hx+<?,则/"(r)=/一〃T+〃，

f/(O)=c=l(c=\

由题意得公么,n，即4

/(0)=/>=0[/>=0

⑵当1=2时，/(工)=+3一/+],贝Ij/1x)=x2-2X=X(X-2),

列表如下：

X-2(-2.0)0(0Z2(2.3)3

小)+0—0+

17

“X)

-T增极大值减极小值增1

所以，当工4—2,3］时，函数/卜)的减区间为(0,2),

函数/")的极大值为/(0)=1,极小值为/(2)=-1.

又因为/(一2)=-弓，/(3)=1,

因此，函数/(“四=1，〃工加=-弓・

17.(1)当。=1时，/(工)=，一3x+lnx+l,定义域为(0,包)

/'(x)=2—+L2/3+"21)(Z)

XXX

令ra)>o,得x〉i或()<x<4，

2

所以/(x)的单调递堵区间为：(。,£)和(L+8)，单调递减区间为：(g,l)

(2)f\x)=2x-(2«+1)+-=(0<x<2)

XX

①当心0时，…之0,所以/(上)在归)上单调递减，在(别上单调递增,

故只有一个极小值点，与条件矛盾，故舍去.

②当0<4<；时，/（X）在（0,。）和（；,2）上单调递增，在上单调递减，

故/"）有两个极值点〃和9与条件相符.

③当g<"2时，/⑴在（0,£|司32）上单调递增，在惇上单调递减，

故/（“有两个极值点q和衣，与条件相符.

④当。=工时，/,（x）=（2x-1）->0,

22x

故/（x）在（0,2）上单调递增,无极值点,舍去.

⑤当a22时，x-a<0,所以/（二）在上单调递增，在（别上单调递减，

故〃工）只有一个极大值点/，与条件矛盾，故舍去.

综上可得：0<67<-n£-<67<2

22

18.（1）因为/尸=。P=力。=4,。为力C的中点，所以。夕-L/1C,且0/>=26.

连结08.

因为力8=8。=正4。，所以△力BC为等腰直角三角形，

2

ROB±AC,OB=-AC=2,由。产二十二产82知

2

由。尸尸_L/1C知，平面48C.

（2）［方法一］:【通性通法】向量法

加图，以。为坐标原点，丽的方向为X轴正方向，建立空间直角坐标系。-xyz.

由已知得0(0,0,0),8(2,0,0),4(0,-^,0),C(0,2,0),P(0,0,2不正二(0,2,2^)

取平面PAC的法向量丽=（2,0,0）.

设M(o,2—a,0)(0<«<2),则AM=(t/,4-a,0).

设平面尸4W的法向量为万=（xj,z）.

2y+2j3z=0

由/5=0,而•万=0得，

ax+(4-a)y=0

可取2万二(石(a-4),Ga,-a)

26("4)由已知得cos〈丽•冷:日

所以cos〈OB4〉=

253("4f+3/+/

4

12^3(a-4)2+3a2+a22解得。=-4（舍去），a=-.

8石48/、

所以万=亍，亍厂里

又记=（0,2,-2石），所以cos〈无，万〉=正.

4

所以尸C与平面所成角的正弦值为由.

4

［方法二］:三垂线+等积法

由（1）知PO_L平面49C,可得平面21cL平面4?C.如图5,在平面力3。内作MNJ.力C,垂足为M

则MN_L平面21c.在平面4C内作NP_L/P,垂足为R联结A//，则_L力/>,故NMFN为二面角

历-94-C的平面角，即N〃FN=30。.

图5

设,MN=a,则NC=4,4V=4-。，在中，fN=^-(4-a).在Rt^MFN中，由〃=弓.弓.(4一〃)，

得a",则EW=2a=g.设点C到平面P4W的距离为/?,由匕5c=，得L@.42・3=L_L.4力八

33343323

解得力=石，则PC与平面P4W所成角的正弦值为史.

4

［方法三］:三垂线+线面角定义法

由（1）知PO_L平面48C,可得平面P4CJ_平面力8c.如图6,在平面48C内作MN_LRC,垂足为N,

则,MV_L平面4C.在平面"C内作N/_L/P,垂足为尸，联结则_L/1P,故NMFN为二面角

4

〃-P4-C的平面角，即4MFN=30°.同解法1可得MN=〃=§.

图6

在4Ape中，过N作NE//PC,在丛FNM中，过N作NG1FM,垂足为G,联结EG.在RtANGM中,

;VG=—W.因为N£1〃尸C,所以N£=N/1=4-Q=g.

22333

由"_L平面EWN,可得平面R1M_L平面RUN,交线为FM.在平面广MN内，由NG1FM,可得NG1

平面PAM,则NNEG为直线NE与平面PAM所成的角.

2

3-783由

则•na-3-又NE//PC,所以直线PC与平面PAM所成角的正弦值为立.

设NNEG=a,SI4

4

［方法四］:【最优解】定义法

如图7,取PA的中点H,联结CH.则CH=2道.过C作平面P4必的垂线，垂足记为7（垂足7在平面PAM

内）.联结〃r,则/COT即为一面角加一4一C的平面角，即ZXT/r=30。，得C7=J