浙江大学《工程力学》课件-第10章强度理论

第十章

强度理论浙江大学《工程力学》2§10-1强度理论的概念

σmax

≤

[σ

]

τmax≤[τ

]单向应力状态纯切应力状态3

为了解决复杂应力状态下的强度计算问题，不再采用直接通过复杂应力状态的破坏实验建立强度条件的方法。找出材料破坏的共同原因，通常利用单向应力状态的实验结果，建立复杂应力状态下的强度条件，这些假说称为强度理论。根据破坏形式，强度理论可分为：

脆性断裂强度理论屈服破坏强度理论而是致力于观察和分析材料破坏的规律，提出一些假说，4一、关于脆性断裂的强度理论1.最大拉应力理论（第一强度理论)破坏原因最大拉应力破坏假设

1

2

3

=

b无论材料处于什么应力状态，当构件内危险点处的最大拉应力达到某一极限值时，材料便发生脆性断裂破坏。§10-2四种常用的强度理论5

该理论由英国学者兰金（W.J.Rankine）于1859年提出，对脆性材料如岩石、混凝土、铸铁、砖等在二向受拉或三向受拉时较为合适。破坏条件σ1=σb强度条件σ1≤[σ](没有考虑σ2和σ3两个主应力对破坏的影响)这一极限值可由脆性材料单轴拉伸试验获得。62.最大拉应变理论（第二强度理论)破坏原因最大拉应变破坏假设破坏条件ε1=εu这一极限值可由脆性材料单轴拉伸试验获得。若材料直至破坏都处于弹性范围，则由广义胡克定律εu=Eσ

b得σ1-v(σ2+σ3)=σbε1=

[σ1-v(σ2+σ3)]E1及无论材料处于什么应力状态，当构件内危险点处的最大拉应变达到某一极限值εu时，材料便发生脆性断裂破坏。7强度条件σ1-v(σ2+σ3)≤[σ](考虑了σ1、σ2和σ3三个主应力对破坏的影响)σ1-v(σ2+σ3)=σb8二、关于屈服的强度理论1.最大切应力理论（第三强度理论)破坏原因最大切应力破坏假设无论材料处于什么应力状态，当构件内危险点的最大切应力达到某一极限值时，材料便发生塑性屈服破坏。

1

2

3

=

s屈服条件τmax=τs9屈服条件τmax=τs强度条件σ1-σ3

≤[σ]τmax=σ1-σ32τs=σs2sssstsss2OστCD1D2E复杂应力状态σ1-σ3

=

σs102.形状改变能密度理论（第四强度理论)破坏原因形状改变能密度破坏假设无论材料处于什么应力状态，当构件内危险点处形状改变能密度达到某一极限值时，材料便发生塑性屈服破坏。屈服条件vd=vdu形状改变能密度

1

2

3

=

s11强度条件[

(σ1-σ2)2+(σ2-σ3)2+(σ3-σ1)2]√12≤[σ]这一极限值可由塑性材料单轴拉伸试验确定。

1

2

3

=

s12§10-3莫尔强度理论约55o？13

O

材料发生剪断破坏的因素主要是切应力，但也和同一截面上的正应力有关。

由材料在破坏时主应力σ1、σ3所作的应力圆，称为极限应力圆。极限应力圆包络线

以材料所有极限应力圆的包络线来判断材料是否破坏，即包络线便是其破坏的临界线。14

OO1

btO2

bcO3MLKPN

1

3——破坏条件15——破坏条件

OO1

btO2

bcO3MLKPN

1

316

OO1O2LM

bt

bcP17强度条件σr≤[σ]σr称为相当应力前述五种强度理论的相当应力：σr1

=σ1第一强度理论第二强度理论σr2

=σ1-v(σ2+σ3)第三强度理论σr3

=σ1-σ3第四强度理论[

(σ1-σ2)2+(σ2-σ3)2+(σ3-σ1)2]√12σr4

=§10-4强度理论的应用莫尔强度理论181.强度理论的选用与材料种类、受力情况、荷载性质（静载、动载）、温度等因素有关。2.

材料破坏形式与应力状态有关，即使是同一种材料处于不同的应力状态，破坏形式也可能不同。对于复杂应力状态，强度计算时必须选用强度理论。19

强度理论的选取是一个复杂的问题，一般地，常温静载下，脆性材料多发生脆性断裂破坏，常采用第一、第二和莫尔强度理论；塑性材料多发生屈服破坏，常采用第三、第四强度理论。

无论是塑性或脆性材料，在三向拉应力情况下，都会发生脆性断裂，宜用最大拉应力理论；在三向压应力情况下都引起塑性变形，宜采用形状改变比能（第四强度）理论。当危险点处于单向应力状态时：σmax=[σ]

当危险点处于纯切应力状态时：τmax=[τ]20

例1已知铸铁构件上危险点的应力状态。铸铁拉伸许用应力[

t]=30MPa。试校核该点的强度。21解：1.首先根据材料和应力状态确定失效形式，选择强度理论。脆性断裂，最大拉应力准则

max=

1

[

]

2.其次确定主应力

1＝29.28MPa,

2＝3.72MPa,

3＝03.最后应用强度理论校核强度

max=

1=29.28MPa

<[

]

=

30MPa结论：危险点的强度是安全的。[

t]=30MPa22例1

已知

和

，试写出最大切应力理论和形状改变能密度理论的表达式。对于最大切应力理论对于形状改变比能理论解：确定主应力拉伸+扭转组合23

例2试用强度理论导出[τ]和[σ]之间的关系式。解：纯切应力状态下，一点处的三个主应力分别为：先用第四强度理论建立强度条件：同理：由第三强度理论：[τ]=0.5[σ]τσ1σ324同理由第一强度理论：[τ]=[σ]同理由第二强度理论：[τ]=[σ]/（1+ν）

由于第一、二强度理论适用于脆性材料，第三、四强度理论适用于塑性材料，故：塑性材料：[τ]=（0.5~0.6）[σ]脆性材料：[τ]=（0.8~1.0）[σ]第三强度理论：[τ]=0.5σ第四强度理论：25

例3已知钢轨与火车车轮接触点处的正应力σ1=-650MPa，σ2=-700MPa

，σ3=-900MPa

，如钢轨的容许应力[σ]=250MPa，试用第三强度理论和第四强度理论校核该点的强度。650MPa700MPa900MPa解：按第三强度理论σ3*=σ1-σ3σ1=-650MPaσ2=-700MPaσ3=-900MPa=250MPa=[σ]该点的强度满足26按第四强度理论[

(σ1-σ2)2+(σ2-σ3)2+(σ3-σ1)2]√12σ4*==229MPa<[σ]=250MPa该点的强度满足σ1=-650MPaσ2=-700MPaσ3=-900MPa650MPa700MPa900MPa27

例4对某种岩石试样进行了一组三向受压破坏试验，结果如表所示。某工程的岩基中，两个危险点的应力情况已知。

A点σ1=σ2=-10MPa,σ3=-140MPa；

B点

σ1=σ2=-120MPa,σ3=-200MPa。用莫尔强度理论校核A、B点的强度。28（2）由A,B点的主应力作出两个应力圆（1）作三个极限应力圆及包络线解：（3）判断：A点已发生剪断破坏；B点不会发生剪断破坏A点σ1=σ2=-10MPa,σ3=-140MPa；B点

σ1=σ2=-120MPa,σ3=-200MPa29

例5

已知一锅炉的内径D=100mm，壁厚t=10mm，如图所示。锅炉材料为低碳钢，其容许应力[σ]=170MPa。设锅炉内蒸汽压力的压强p=3.6MPa，试用第四强度理论校核锅炉壁的强度。D0dp302)强度核算结论：锅炉壁的强度足够。dsfds=dfdfs

s

pD02周向应力31解：1）锅炉壁的应力分析D0dps

s

轴向应力

32

例6

一工字钢简支架及所受荷载如图所示。已知材料的容许应力[σ]=170MPa，[τ]=100MPa。试由强度计算，选择工字钢的型号。解：1°作梁的FS图和M图AB1660200kN420420200kN2500CDFS200kN200kN+-+M2°正应力强度计算84kNm33查型钢表，选用28a号工字钢：Wz=508.15m3，Iz=7114.14cm4。2°正应力强度设计AB1660200kN420420200kN2500CDFS200kN200kN+-+M343°切应力强度校核。故工字钢可满足切应力强度要求。354°主应力强度校核。126.3126.38.512213.713.7.aσ

图τ

图36对于低碳钢梁，可用第三或第四强度理论校核强度

需加大截面积，重选工字钢。改选32a号工字钢，a点处应力3732a号工字钢既满足主应力强度要求，也满足最大正应力和最大切应力强度条件。对于梁，除了需要作正应力和切应力强度计算外，当：某一截面上的剪力、弯矩同时达到或接近最大值时；梁的横截面宽度有突变的点处，还需作主应力强度校核。38例7

图示为20a工字钢，已知材料的容许应力[σ]=170MPa，[τ]=100MPa，试校核该梁的强度。(基本参数：h=20cm,b=10cm,d=0.7cm,δ=1.14cm,Iz=2370cm4,Wz=237cm3)腹板：S*zmax=0.5[bh2/4+(d-b)(h-2δ)2/4]翼缘：S*zmax=δb×0.5(h-δ)AB10kN/m60kN0.5m3m0.5mCDhbdδ解：1.找危险截面2.校核正应力强度3.校核切应力强度4.校核主应力强度39AB10kN/m60kN0.5m3m0.5mCDhbdδ1.找危险截面+-FQ/kN67.57.522.51.25mM/kN·m33.7511.25+36.56作剪力、弯矩图40AB10kN/m60kN0.5m3m0.5mCDhbdδ+-FQ/kN67.57.522.51.25mE2.校核正应力强度E截面：<[σ]=170MPa正应力强度满足M/kN·m33.7511.25+36.5641AB10kN/m60kN0.5m3m0.5mCDhbdδ+-FQ/kN67.57.522.51.25mEM/kN·m33.7511.25+36.563.校核切应力强度AC段截面：<[τ]=100MPa切应力强度满足424.校核主应力强度AB10kN/m60kN0.5m3m0.5mCDhbdδ+-FQ/kN67.57.522.51.25mEM/kN·m33.7511.25+36.56由于腹板与翼缘交界处,正应力和切应力都较大,且处于平面应力状态,需做强度校核。C截面：43