北师大版七年级数学下册 第三章 第3节《 等可能事件的概率》每课时（教学设计）汇编（含三个教学设计）

3.3等可能事件的概率（第1课时：认识等可能事件（古典概型）的概率及

计算公式）（教学设计）

^^教学分析

教学内容与解析

1.教学内容

本节课为北师大版初中数学七年级下册第三章《概率初步》，第三节《等可能事件的概率》第1课时认识古

典概型的概率及计算公式。本节课主要内容包括：通过具体实例，理解等可能事件（古典概型）的两个基本

tn

特征一有限性和等可能性；掌握古典概型的概率计算公式P（A）=—；能运用公式计算简单随机事件的概

n

率；初步体会概率的意义及其在现实生活中的应用.

2.内容解析

本节课是第三章“概率初步”的核心内容，是在学生通过前两节的学习，己经感受了随机事件发生的可能性大

小，理解了频率的稳定性，并能用频率估计概率的基础上进行的.从知识体系看，木节课实现了从“试验估计”

到“理论计算”的跨越——用数学公式直接计算概率，而不必依赖大量重复试验.从思想方法层面看，本节课

集中体现了“数学模型思想”——将现实中的随机现象抽象为古典概型这一数学模型：”分类讨论思想”——对

试验结果进行有序、不重不漏的枚举：“化归思想”——将复杂问题转化为基本事件的计数问题.同时，概率

公式P（A尸”的建立，是学生第一次用确定性数学公式刻画不确定性现象，对培养随机观念具有重要意义.

n

基于以上分析，本节课的教学重点为：理解古典概型的两个基本特征，掌握概率计算公式P（A）=2".

n

教学目标与解析

1.教学目标

⑴理解等可能事件（古典概型）的概念，掌握其两个基本特征（有限性、等可能性）：掌握古典概型的概率

m

计算公式P（A尸一；能运用公式L算简单随机事件的概率.

n

⑵经历从具体情境中抽象出古典概型特征的过程，体会数学模型思想；通过列举试验结果，掌握有序枚举、

不重不漏的计数方法；在解决实际问题的过程中，培养分析问题和逻辑推理能力.

⑶通过探究活动，感受概率计算的简洁美和数学模型的普适性；在小组合作中培养交流能力；了解概率的

数学史，感受数学文化的魅力.

2.目标分析

目标1强调概念的准确理解和基本技能的掌握.学生需要能够准确判断•个试验是否为等可能事件，并能用公

式正确计算概率.

目标2侧重于思维方法的培养。从具体实例中抽象出古典概型的本质特征，培养学生的数学抽象能力；通过

列举训练，培养学生有序思考的习惯.

目标3是通过成功计算概率的体验，让学生感受数学的确定性和力量，增强学习数学的兴趣和信心.

学情分析

学生在小学阶段已经对“可能性”有初步的感性认识，知道“一定,可能”“不可能”等词语的含义，对简单事件

发生的可能性能够做出预测.通过本章前两节的学习，学生己经感受了随机事件发生的频率的稳定性，知道

可以用频率估计概率，对随机现象有了一定的理解.但七年级学生仍存在以下迷思概念：①认为一次试验只

有两种结果，这两种结果就•定是等川能的（如误认为摸到红球和白球的川能性相同）；②对“等可能''的理

解停留在表面，不能准确判断复杂情境中的等可能性；③列举结果时容易遗漏或重复，缺乏有序枚举的意

识.因此，教学中应注重通过正反例对比、具体操作和有序枚举训练，帮助学生突破难点.

基r以上分析，确定本节课的教学难点是：判断一个试验是否为等可能事件；正确、不重不漏地列举所有可

能结果及事件包含的结果数.

教学过程设计

新课导入

创设情景，引入新课

问题1：任意掷一枚质地均匀的硬币，可能出现哪些结果？每种洁果出现的可能性相同吗？正面朝上的概

率是多少？

学生回答：可能出现正面朝上或反面朝上，两种结果可能性相同，止面朝上的概率是:.

问题2：一个袋中有5个球，分别标有12345这5个号码，这些球除号码外都相同，搅匀后任意摸出一个

球。会出现哪些可能的结果？每个结果出现的可能性相同吗？猜一猜它们的概率分别是多少？

学生回答：可能出现1号、2号、3号、4号、5号球，每个结果出现的可能性相同，概率都是

追问：这两个试验有什么共同特点？引入课题.

（设计意图：从学生熟悉的抑硬币、摸球游戏入手，唤醒已有经验，通过对比分析，为抽象出等可能事件

的特征做铺垫.）

新知探窕

探究点1:认识等可能事件

小组讨论：结合以L两个试验，以及你还能想到的其他试验（如掷骰子），讨论它们有什么共同点？

学生汇报：所有可能结果有有限个；每个结果出现的可能性相同.

师生归纳：设一个试验的所有可能结果有n个，每次试验有且只芍其中的一个结果出现如果每个结果出现的

可能性相同，那么我们就称这个试验的结果是等可能的.

等可能事件的两个基本特征：有限性（结果个数有限）、等可能性（每个结果出现的可能性相同）

想一想：你能再举出一些结果是等可能的试验吗？

学生举例：抽签、转盘（被等分）、从班级随机抽取一名学生等.

（设计意图：通过小组合作，让学生在具体实例中抽象出等可能事件的本质特征，培养归纳概括能力；通

过举例加深理解.）

探究点2：可能事件概念辨析

问题：以下试验的结果是等可能的吗？为什么？

©从装有2个红球和3个白球的袋子中任意摸出一个球，摸到红球和白球.

@掷一枚图钉，钉尖朝上和钉尖朝下.

③从男女生人数不等的班级中随机抽取一名学生，抽到男生和女生.

学生分析：

①不是等可能的，因为红球和白球数量不同，摸到每个球的可能性相同，但摸到红球和白球这两种结果

对应的基本事件个数不同.

②不是等可能的，因为图钉形状不对称.

③不是等可能的，因为男生和女生人数不等.

追问：要判断一个试验是否为等可能事件，关键看什么？

归纳：关键是看每个基本结果（如每一个具体的球）出现的可能性是否相同，而不是看类别结果（如颜

色）。

（设计意图：通过正反例辨析，期助学生准确理解“等可能”的内涵，突破难点.）

探究点3等可能事件概率公式推导

问题：如果一个试验有n个等可能的结果，事件A包含其中的m个结果，那么事件A发生的概率P（A）是多少？

1in

引导发现：每个结果出现的概率都是一事件A包含m个结果，所以P（A）二一

nn,

归纳结论：

一般地，如果一个试验有n个等可能的结果，事件A包含其中的m个结果，那么事件A发生的概率为：

m

P（A）=——

n

强调：使用这个公式的前提是试验结果必须是等可能的！

（设计意图：从具体到一般，引导学生自主发现概率公式，理解公式的由来和适用条件，培禾数学建模能

力.）

探究点4：概率的取值范围

讨论：必然事件:P（A）=1：

不可能事件：P（A）=O；

概率的取值范围：0<P（A）<l；

（设计意图：强化对概率公式的理解和应用.）

典型例题

例L任意掷一枚均匀的骰子。

（1）掷出的*数大于4的概率是多少？

（2）掷出的点数是偶数的概率是多少？

【分析】试验结果是否等可能？共有几种等可能结果？事件”点数大于4”包含哪几种结果？如何计算概率？

【详解】解:任意掷一枚均匀骰子，所有可能的结果有6种：掷出的点数分别是123,4,5,6。因为骰子是均匀

的，所以每种结果出现的可能性相等。

21

（I）掷出的点数大于4的结果有2种：掷出的点数分别是56。所以P（掷出的点数大于4）=：=：;.

63

3I

（2）掷出的点数是偶数的结果有3种：掷出的点数分别是2,46所以P（掷出的点数是偶数）=:二7.

62

例2.（2025•河北）抛掷一个质地均匀的正方体木块（6个面上分别标有I,2,3中的一个数字），若向上一

面出现数字1的概率为3出现数字2的概率为二则该木块不可能是（）

23

【分析】直接由概率公式求解即可.

【解答】解：•响上一面出现数字1的概率为点出现数字2的概率为今

••・6个面中要有3个面标有“1”，有2个面标有“2”，

•••只能有一个面标有“3”，

该木块不可能是选项A.

故选：A.

（设计意图：通过规范例题，展示概,率计算的标准步骤——先判断等可能性，再列举结果数，最后代入公

式，为学生提供解题范式.）

巩固练习

课堂练习：课本P79随堂练习

参考答案：1.会出现摸到写有字母A的纸条、摸到写有字母B的纸条、摸到写有字母C的纸条、摸到写有字母

D的纸条、摸到写有字母E的纸条这5种可能的结果;它们是等可能的.

2.抽到大王的概率是」，抽到3的概率是三，抽到方块的概率是二;抽到大王的概率比抽到3的概率小,

542754

所以打牌时抽到大王的机会比抽到3的机会小.

（设计意图：学完新知识后及时进行课堂巩固练习，不仅可以强化学生对新知的记忆，加深学生对新知的理

解，还可以及时反馈学习情况，帮助学生查漏补扶，帮助教师及时调整教学策略）

拓展提升

1.（2025•河南）甲骨文是我国已发现最早的成熟文字，代表了早期中华文明的辉煌成就.正面分别印有甲

骨文“美,”,丽”“山,，“河”的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同.把这四张卡片背面朝上洗匀，从中

随机抽取两张，则这两张卡片上面恰好是甲骨文“丽''和"山”的概率是（)

甲

北

木

骨

文

曲

文

美

山

【解答】解：列表如下:

美丽山河

美（美，丽）（美，山）（美：河）

丽（丽，美）（丽，山）（丽：河）

山（山，美）（山，丽）（山：河）

河（河，美）（河，丽）（河，山）

共有12种等可能的结果，其中这两张卡片正面恰好是甲骨文“丽”和“山''的结果有：（丽，山），（山，

21

丽），共2种，.•.这两张卡片正面恰好是甲骨文“丽”和“山”的概率为不=二

126

故选：B.

真麴感知

1.（2025•深圳）某校进行《九章算术》，《周髀算经》，《孙子算经》，《算法统宗》四本书的长文本阅

读活动，小聪从中任取一本，恰好抽到《九章算术》的概率为（）

1112

A.-B.-C.-D.-

2343

【解答】解：•.•某校进行《九章算术》，《周髀算经》，《孙子算经》，《算法统宗》四本书的长文本阅

读活动，.••小聪从中任取一本，恰好抽到《九章算术》的概率为"故选：C.

2.（2025•齐齐哈尔）假定鸟卵孵化后，雏鸟为雌鸟与雄鸟的概率相同.如果2枚鸟卵全部成功孵化，那么

2只雏鸟都是雄鸟的概率是（）

1121

A.-B.-C.-D.-

2334

【解答】解：共有4种等可能的结果，其中2只雏鸟都是雄鸟的结果有1种，再由概率公式求解即可.

共有4种等可能的结果，其中2只雏鸟都是雄鸟的结果有I种，，2只雏鸟都是雄鸟的概率是之

4

故选：D.

3.（2025•湖南）某校开展了五类社团活动：舞蹈、篮球、口风琴、摄影、戏剧，现从中随机抽取一类社团

活动进行展示，则抽中戏剧类社团活动的概率是（）

【解答】解：由题意知，共有5种等可能的结果，其中抽中戏剧类社团活动的结果有1种,

•••抽中戏剧类社团活动的概率为去

故选：D.

（设计意图：在学习完知识后加入中考等真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试题型，检脸

学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力.）

3、结

知识总结：（1）等可能事件（古典概型）的两个基本特征：①所有可能的结果是有限的（有限性）；

②每个结果出现的可能性相同（等可能性）.（2）概率计算公式：如果一个试验有n个等可能的结果，事

件A包含其中的m个结果，则P（A）=".（3）概率的取值范围：（）WP（A£1；必然事件：P（A）=I；不可能事

n

件：P（A）=O.

方法总结：（I）数学模型思想：将随机现象抽象为古典概型这一数学模型.（2）列举法：有序、不重不漏

地列举所有可能结果.（3）转化思想：复杂概率问题转化为基本事件的计数问题.

易错提醒：（1）等可能性判断错误：误认为只有两种结果就是等可能的（如摸到红球和白球），实际要看

每个基本结果是否等可能.（2）列举遗漏或重复：列举结果时要有序思考.（3）公式使用条件忽略：使用P（A）;

竺前，必须先判断试验是否为等可能事件.（4）混淆分子分母：分子是事件A包含的结果数，分母是所有可

n

能结果总数.

（设计意图：对本课的知识进行总结，有利于学生对增强学习的主动性与连贯性.）

作业布置

必做题：教材习题3.3第1、2、3题.

探究性作业：教材习题3.3第9题.

（设计意图：对本节课的知识进行巩固训练，为后续探究铺垫）

桢书设计

主板书副板书

33等可能事件的概率（第1课时）典型例题

探究点1：认识等可能事件

探究点2：可能事件概念辨析学生练习板演

探究点3等可能事件概率公式推导

探究点4：概率的取值范围

课堂小结

"教学反思

3.3等可能事件的概率（第2课时：计算等可能事件概率，设计符合要求

的简单概率模型）

（教学设计）

^^教学分析

教学内容与解析

1.教学内容

本节课为北师大版初中数学七年级卜册第三章《概率初步》，第三节《等可能事件的概率》笫2课时设计

符合要求的简单概率模型）.本节课主要内容包括：在理解等可能事件概率计算公式的基础上，逆向运用概

率公式——根据给定的概率要求，设计符合要求的简单概率模型（如摸球游戏等）；能运用概率知识解释

游戏规则的公平性，并能对不公平的游戏规则进行修改；进一步体会概率模型思想，发展应用意识和创新

意识.

2•内容解析

本节课是“等口J能事件的概率”的第二课时，是在学生已经掌握等口J能事件概率计算公式P（A尸m/n的基础上

进行的逆向应用与综合提升.从知识体系看，本节课实现了从“已知模型求概率''到“已知概率设计模型”的跨

越，是概率知识应用能力的重要体现.从思想方法层面看，本节课集中体现了“逆向思维”——从概率值反推

模型结构；“模型思想”——根据要求构造符合条件的概率模型；“优化思想”——设计满足条件的最简方案.

同时，通过游戏公平性的探讨与修改，让学生体会概率在决策和规则设计中的实际应用价值.

基于以上分析，本节课的教学重点为：能根据给定的概率要求，设计简单的概率模型（如摸球游戏）.

教学目标与解析

2.教学目标

（1）能根据给定的概率要求，设计符合要求的简单概率模型（如摸球游戏游戏）；能运用概率知识判断并修

改游戏规则的公平性；能用概率模型解释生活中的随机现象.

（2）经历从概率值逆向构造概率模型的过程，培养逆向思维和模型观念；通过小组合作设计游戏方案，培养

合作交流能力和创新意识.

(3)在设计游戏方案的过程中，感受数学的创造性和趣味性；通过解决实际问题，体会数学的应用价值，增

强学习数学的兴趣和信心.

2.目标分析

目标1强调逆向应用能力的培养.学生需要能够根据给定的概率，反推出模型中各种元素的数量关系，并设

计方案.

目标2侧重丁•思维方法的培养.从正向计算到

目标3通过设计游戏的活动，让学生体验“做数学”的乐趣，感受数学的创造性和实用性.

学情分析

学生已经掌握了等可能事件概率的计算公式，能够计算简单随机事件的概率.，对概率的意义有了一定的理

解同时，学生对摸球游戏、转盘游戏等生活情境比较熟悉，具备一定的生活经验和动手能力.但学生在逆向

设计时可能遇到以下困难：①不理解“设计模型”的本质要求，不知道从何入手；②对概率公式中的m和n的

关系把握不准，设计方案时出现匕例错误；③设计方案单一，缺乏多角度思考的意识；④对“等川能性''的

判断不够准确，设计出的模型可能隐含不等可能因素.因此，教学中应注重通过具体问题的引导，格助学生

建立“概率值一比例关系一具体数量”的思维链条，并鼓励学生提出多种设计方案.

基于以上分析，确定本节课的教学难点是：理解概率模型的本质——所有可能结果等可能，且事件包含的

结果数与总结果数之比等于给定概率；设计出满足条件的多种可行方案.

教学过程设计

新课导入

创设情景，引入新课

复习回顾：上节课我们学习了等可能事件的概率计算公式，谁能说说？使用这个公式的前提是什么？

学生回答：P(A尸二，前提是试验结果必须是等可能的.

n

追问：如果老师告诉你一个摸球游戏中摸到红球的概率是丑，你能设计出这个摸球游戏吗？袋中应该放几

n

个球？红球有几个？”

学生猜测：可能回答放3个球，1个红球；也可能回答放6个球，2个红球……

教师引导：“看来答案不唯一！今天我们就来学习——如何根据概率要求设计简单的概率模型。”

(设计意图：通过逆向设问，引发认知冲突，激发学生探究欲望，自然导入新课.)

新知探究

探究点1:摸球游戏设计

问题呈现：一个袋中装有除颜色外完全相同的若干个球。请设计一个摸球游戏，使得：（I）摸到红球的概

率是1/2；（2）摸到红球的概率是2/5.

小组讨论：学生分组讨论设计方案.

汇报交流：

对干（I）：可以放2个球，1红1其他：或4个球，2红2其他：或6个球，3红3其他……只要红球数占总球数

的一半即可。

对于（2）：可以放5个球，2红3其他;或10个球,4红6其他……只要红球数:总球数=2:5即可.

追问：除了红球和其他颜色的球，还可以加入其他颜色的球吗？

学生思考：可以，只要红球数占总球数的比例符合要求即可.

教师归纳：设计摸球游戏时，关键是确定总球数n和红球数m,使得m/n等于给定的概率。11和11］可以取满足

比例关系的任意正整数.

（设计意图：通过开放性问题，让学生自主发现设计规律——概率值决定红球与总球数的比例，具体数量

可以灵活选择，培养发散思维.）

探亮点2：游戏公平性

问题呈现：小明和小丽想用掷骰子的方式决定谁去看电影。小明说：“朝上的点数大于3,我去；点数小于3,

小丽去：点数等于3,重掷。”这个游戏公平吗？如果不公平，请修改规则。

学生分析：点数大于3：4,5,6,有3种结果

点数小于3：1,2,有2种结果

P（小明去）=3/6=1/2,P（小丽去）=2/6=1/3

1/241/3,不公平.

修改方案：

方案1：大于3小明去，小于等于3小丽去（两人概率都是1/2）；

方案2：奇数小明去，偶数小丽去（两人概率都是1/2）.

归纳：游戏公平意味着双方获胜的概率相等，即P（甲尸P（乙）=1/2.

（设计意图：通过游戏公平性问题，让学生体会概率在规则设计中的应用，培养公平意识和决策能力.）

探究点3：设计符合要求的简单概率模型

问题：设计一个摸球游戏，使摸到红球的概率是1/3,摸到白球的概率是1/2,摸到黄球的概率是1/6。你能设

计出几种不同的方案？

小组合作：学生分组讨论，寻找多种设计方案。

方案展不：

方案1：总球数6个，红球2个，白球3个，黄球1个

方案2：总球数12个，红球4个，白球6个，黄球2个

方案3：总球数18个，红球6个，白球9个，黄球3个

追问：这些方案有什么共同特点？

归纳：红:白:黄=2:3:1,即比例关系决定，总球数可以是比例之和的整数倍.

（设计意图：通过开放性设计，让学生深入理解概率值与数量比例之间的关系，培养模型观念和发散思

维.）

探究点4：概率计算一从模型到概率

问题：一个袋中装有4个红球、6个白球和10个黄球（每个球除颜色外都相同）.从中任意摸出一个球，求：

（1）P（摸到红球）（2）P（摸到白球）（3）P（摸到黄球）.

学生独立计算：

P（红）=4/20=1/5P（白）=6/20=3/10P（黄）=10/20=1/2

追问：P（红）+P（白）+P（黄）=1,说明了什么?

归纳：所有可能结果的概率之和等于1.

（设计意图：在逆向设计之后回归正向计算，让学生建立“模型=概率”的双向联系，形成完整的认知结

构.）

典型例题

例1.利用一个口袋和4个除颜色外完全相同的球设计摸球游戏.

（1）使得摸到红球的概率是,，摸到白球的概率也是1：

22

（2）使得摸到红球的概率是上，摸到白球和黄球的概率都是

24

（3）你能选取8个除颜色外完全相同的球分别设计满足上述条件的游戏吗？

（4）你能选取7个除颜色外完全相同的球分别设计满足上述条件的游戏吗?你是怎样设计的？

【分析】本环节让学生设计满足一定概率要求的摸球游戏，进一步理解古典概型的概率计算公式.可要求学

生说明自己的思考过程，总结解决相关问题的思考策略.

【详解】解：（1）2个红球，2个白球：

（2）2个红球，1个白球，1个黄球；

（3）选取8个球时:①4个红球，4个白球;②4个红球，2个白球，2个黄球；

（4）选取7个球，无法设计满足所述条件的游戏.

例2：问题：设计•个摸球游戏，使摸到红球的概率是3/10,摸到白球的概率是3/10,摸到黄球的概率是

2/5a最少需要多少个球？如何放置？

【分析】概率比：3/10:3/10:2/5=3:3:4,三种球的最少球数=3+3+4=10个

【详解】解：摸到红球、白球、黄球的概率比:3/10:3/10:2/5=3:3:4,三种球的最少球数=3+3+4=10个

所以可以文墨：红球3个，白球3个，黄球4个.

（设计意图：通过“方案设计”“最葡方案”问题，培养学生优化意识和最值思维。）

巩固练习

课堂练习：课本P75随堂练习

参考答案：1.112.H这个问题与第1题的背景虽然不同，但实质是相同的，最后的结果也是相

2020

同的。实际上，第1题中“写有男生姓名的纸条'湘当于第2题中的“红球”，第1题中“写有女生姓名的纸条”

相当于第2题中的“白球”.

（设计意图：学完新知识后及时进行课堂巩固练习，不仅可以强化学生对新知的记忆，加深学生对新知的理

解，还可以及时反馈学习情况，帮助学生查漏补缺，帮助教师及时调整教学策略）

拓展提升

1.（2025•苏州）一只不透明的袋子中，装有3个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中

任意摸出一个球，摸到白球的概率为：，则红球的个数为（）

A.IB.2C.3D.4

【解答】解:设红球的个数为x个，

由题意得：・=：，

解得：x=2,

经检验，x=2是原方程的解，且符合题意，

即红球的个数为2个，

故选:B.

真题感知

1.（2025•台湾）阿嘉和小杨都有5张分别标示数字1、2、3、4、5的纸牌.，如图表示两人的牌中皆有三张牌

被自己盖住的情形.今两人打算从自己盖住的纸牌中翻开一张牌.，若阿嘉盖住的牌中每张牌被翻开的机

会相等，小杨盖住的牌中每张牌被翻开的机会相等，则比较两人翻开的那张牌上的数字，阿嘉比小杨大

的机率为何？（）

嘉

阿

榻

小

12

C9D.-

9

【解答】解：•••阿嘉比小杨人的情形有：

阿嘉翻开的那张牌上的数字为2,小杨翻开的那张牌上的数字为I,

阿嘉翻开的那张牌上的数字为4,小杨翻开的那张牌上的数字为1或3,

阿嘉翻开的那张牌上的数字为5,小杨翻开的那张牌上的数字为1或3或4,

而所有的情形共有3x3=9（种），

・・・阿嘉比小杨大的机率为3=|.

故选:B.

2.（2025•上海）小明手中有1、2、3、4四张牌，小军手中有2、4、6、8四张牌，若小明从小军手中抽一张

牌，抽到任何牌的概率相等，那么抽到的牌和自己原有的牌的数字相等的概率为；.

【解答】解：由题意知，共有4种等可能结果，其中抽到的牌和自己原有的牌的数字相等的有2种结果，

所以抽到的牌和自己原有的牌的数字相等的概率为:=

42

故答案为：

3.（2025•天津）不透明袋子中装有13个球，其中有3个红球、4个黄球、6个绿球，这些球除颜色外无其

他差别.从袋了中随机取出1个球，则它是绿球的概率为一.

【解答】解：从袋子中随机取出1个球共有13种等可能结果，其中它是绿球的有6种结果，

所以从袋子中随机取出I个球，是绿球的概率为三，

JLO

故答案为：白.

JLJ

4.（2025.蒙城统考）问题：用4个除颜色外完全相同的球设计一个摸球游戏，使得：（1）摸到白球的概率为

1/2,摸到红球的概率也是1/2：

（2）摸到红球的概率为1/2,摸到白球和黄球的概率都是1/4.

【解答】解：（1）2个白球、2个红球；（2）2个红球、1个白球、1个黄球.

（设计意图：在学习完知识后加入中考等真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试题型，检脸

学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力）

课堂小结

知识总结：（1）设计概率模型的核心：确定总结果数n和事件包含的结果数m,使得m/n等于给定的概率，

n和m可以取满足比例关系的任意正整数.（2）设计摸球游戏的要点：各色球的数量比二各事件的概率比，

所有可能结果的概率之和等于I.（3）游戏公平的条件：双方获胜的概率相等.

方法总结：（1）逆向思维：从概率值反推模型结构.（2）模型思想：用数学模型刻画随机现象.（3）比例思

想：概率值决定数量之间的比例美系.（4）优化思想：在满足条件的前提下追求最简方案.

易错提醒：（1）比例计算错误：多个事件的概率之和必须等于I,设计前应先验证.（2）忽略最简整数比：

设计方案时，应将概率比化为最简整数比，再确定数量.（3）混淆颜色与球：摸球设计中，同色球视为相同

结果，但不同颜色的球数量决定概率.

（设计意图：对本课的知识进行总结，有利于学生对增强学习的主动性与连贯性.）

作业布置

必做题：教材习题3.3第4、5、6题.

探究性作业：教材习题3.3第1（）题.

（设计意图：对本节课的知识进行巩固训练，为后续探究铺垫）

板15设计

主板书副板书

3.3等可能事件的概率（第2课时）典型例题

探究点1：摸球游戏设计

探究点2：游戏公平性学生练习板演

探究点3：设计符合要求的简单概率模型

探究点4：概率计算一从模型到概率

课堂小结

-------------------教学反思

3.3等可能事件的概率（第3课时：将非古典概型问题转化为古典概型求

解）（教学设计）

^^教学分析

教学内容亏解析

1.教学内容

本节课为北师大版初中数学七年级下册第三章《概率初步》，第三节《等可能事件的概率》第3课时将非

古典概型问题转化为古典概型求解.本节课主要内容包括：认识下古典概型问题（如结果不等可能、无限多

种结果等）的特征；掌握将复杂问题或非等可能问题通过适当方法（如编号、转化为面积、列举基本事件

等）转化为古典概型的策略；能运用转化的思想解决简单的非古典概型概率问题.

2.内容解析

本节课是”等可能事件的概率”的第3课时，是在学生已经掌握古典概型特征及概率计算公式P（A尸m/n的基

础上进行的拓展与提升.从知识体系看，本节课实现了从“标准模型”到“变式模型”的跨越一兰问题不直接

满足等可能条件时，如何通过转亿策略使其适用于古典概型公式.从思想方法层面看，本节课集中体现了

，，转化思想，，—将非标准问题转化为标准问题；“化归思想”——将复杂问题化归为已解决的问题；“建模思

想，，—将现实情境抽象为等可能模型.这叫思想是数学学习的核心素养，对培养学生的灵活思维和问题解

决能力具有重要意义.

基于以I：分析，本节课的教学重点为：掌握将非古典概型问题转化为古典概型问题的基本策略和方法.

教学目标与解析

3.教学目标

（1）能识别非占典概型问题的特征；掌握将非等可能结果转化为等可能结果的基本方法（如编号、列举基本

事件）；能用转化的思想解决简单的非古典概型概率问题.

（2）经历从非标准问题到标准问题的转化过程，体会转化思想和亿归思想在数学学习中的重要作用；通过对

比分析不同转化策略，培养灵活思维和优化意识.

（3）在解决“看似不能做”的问题过程中，体验“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”的成功喜悦，增强克服困

难的信心：感受数学思想的普适性和强大力量.

2.目标分析

目标1强调转化技能的掌握。学生需要能够识别问题是否直接符合古典概型，并能通过适当方法将其转化

为等可能模型.

目标2侧重于思维方法的培养。转化思想是数学学习的核心思想之一，通过本节课的学习，让学生深刻体

会“将未知转化为己知”的解题策略.

目标3通过有挑战性的问题转化过程，让学生体验数学思维的巧妙和成功的喜悦，增强学习数学的兴趣和

信心.

学情分析

学生已经熟练掌握了古典概型的两个特征（有限性、等可能性）和概率计算公式P（A尸m/n,能够解决标准

的等可能概率问题.同时，学生已经具备了一定的转化意识（如解方程组中的消元转化）.但在本节课的学

习中，学生可能遇到以下困难：①对“非等可能''问题不知如何下手；②习惯于“等可能”的思维定势，难以

跳出框架；③对“转化为面积''等几何方法感到陌生；④在转化过程中容易破坏等可能性，导致计算错误.

因此，教学中应注重通过具体问题的对比分析，帮助学生建立"转化''的思维框架，并通过多种策略的对

比，培养学生的灵活思维.

基于以上分析，确定本节课的教学难点是如何根据问题特点选择恰当的转化策略；理解“转化后模型与原

问题概率等价”的道理.

教学过程设计

新课导入

创设情景，引入新课

复习回顾：（I）等可能事件（古典概型）的两个基本特征：①所有可能的结果是有限的（有限性）；②

每个结果出现的可能性相同（等可能性）.（2）概率计算公式：如果一个试验有n个等可能的结果，事件A包

ni

含其中的m个结果，则P（A尸一.

n

问题呈现：一个袋中装有2个红球和3个白球，但红球大小相同，白球大小也相同，可是红球比白球大很多。

从中任意摸出一个球（用手去摸，感受球的形状），摸到红球的概率还是2/5吗？

学生讨论：不是了，因为红球更大，更容易被摸到，所以可能性变大了.

教师归纳：当每个基本结果不是等可能时，我们就不能直接用Wn来计算概率了。这类问题叫作非古典概型

问题。今天我们就来学习——如何将非古典概型问题转化为古典概型来解决.

（设计意图：通过对比分析，让学生认识到古典概型的适用条件，当条件不满足时不能直接使用公式，从

而引出转化的必要性.)

新知探笈

探究点1:可能性相同的转盘问题

问题：某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘，并将转盘等分成20个扇形，像下图那样涂上

颜色.商场规定:顾客每购买100元商品，就能获得一次转动转盘的机会.如果转盘停止后，指针正好落在红色、

黄色或绿色区域，顺客就可以分别获得100元、50元、20元的购物券.

(1)自由转动转盘，当转盘停止时，指针落在不同扇形的可能的结果共有多少种?这些结果是等可能的吗？

⑵某顾客购物消费120元，获得一次转动转盘的机会。他获得100元、5()元、20元购物券的概率分别是多少?

他能获得购物券的概率是多少？

追问1：转盘被等分成2()个扇形，自由转动转盘，当转盘停止时，指针落在不同扇形的可能的结果共有多少

种？这些结果是等可能的吗？

转盘被等分成20个扇形，自由转动转盘，当转盘停止时,，指针落在不同扇形的可能的结果共有20种，这些结

果是等可能的.

追问2：在这20个扇形中，有1个是红色，2个是黄色，4个是绿色，因此转盘停止时，指针落在红色区域的结

果有多少种，落在黄色区域的结果有多少种，落在绿色区域的结果有多少种？

在这20个扇形中，有1个是红色，2个是黄色，4个是绿色，因此转盘停止时，指针落在红色区域的结果有1种,

落在黄色区域的结果有2种，落在绿色区域的结果有4种.

追问3：对于该顾客来说，获得100元购物券、获得50元购物券、获得20元购物券、获得购物券的概率分别是

多少？

P(获得100元购物券)=1/20；P(获得50元购物券)=2/20=1/10；

P(获得20元购物券尸4/20=1/5；P(获得购物券)=(1+2+4)720=7/20.

探究点2：可能性不相同的转盘问题

如图所示的是一个可以自由转动的转盘。转动转盘，当转盘停止对，指针落在红色区域和白色区域的概率分

别是多少？

tL

追问1：某同学认为本问题中指针不是落在红色区域和白色区域，所以P（落在红色区域尸P（落在白色区

域）=1/2,这种说法对吗？你能说出理由吗？

不正确，图中红色区域和白色区域和的面枳不相等，指钊不是落在红色区域和白色区域可能性不一样，不符

合占典概率的两个条件，不能直接按占典概型概率公式求.

追问2：我们能否将其转化为古典概型问题，怎样转化？

可以转化为等可能问题来解决，先把白色区城等分成2份，如图，这样转盘被等分成3个扇形，其中1个是红色,

2个是白色，这样就可以用古典概型概率公式求了.

追问3：指针落在红色区域和白色区域的概率分别是多少？

先把白色区城等分成2份，如图，这样转盘被等分成3个扇形，其中1个是红色，2个是白色，所以P（落在红色

区域）=1/3,P（落在白色区城）=2/3.

思考交流：如图所示的是一个可以自由转动的转盘。转动转盘，当转盘停止时，指针落在红色区域和白色区

城的概率分别是多少?你有什么求解方法?与同伴进行交流.

追问1：根据上面的方法，你能怎样将这一非古典概型转化为古典概型题？

可以用“面积比”或“角度比”来转化为等可能模型——每个点落在区域内是等可能的，概率等丁目标区域面积

（或弧长、角度）与总面积（或总弧长、总角度）之比.

追问2：指针落在红色区域和白色区城的概率分别是多少?你是怎样做的？

可以把红色区域等分成11份，把白色区域等分成25份，这样转盘被等分成36个扇形，

其中11个是红色，25个是白色，所以P（落在红色区域）=11/36,P（落在白色区域）=25/36;

还可能把红色区域等分成110份，把白色区域等分成250份，这样转盘被等分成360个扇形，其中110个是红

色,250个是白色，所以P（落在红色区域）=11/36.P（落在白色区域）=25/36.

追问3：如果转盘被分成的是形状不规则的区域，还能这样计算吗？

归纳：对于连续区域的概率问题，可以用“面积比”或“角度比''来转化为等可能模型——每个点落在区域内是

等可能的，概率等于目标区域面积（或弧长、角度）与总面积（或总弧长、总角度）之比.

（设计意图：通过转盘问题的变式，引入几何概型的转化思想，为后续学习埋下伏苞.）

典型例题

例1.如图，转盘被分成六个相同的扇形，并在上面依次写上数字：2,3,4,5,6,7指针的位置固定，转

动转盘任其自由停止.

（1）当转盘停止时，指针指向偶数区域的概率是多少？

（2）当转盘停止时,，指针指向的数小于或等于5的概率是多少？

【分析】（1）当转盘停止转动时，指针指向数字区域2,3,4,5,6,7的机会是均等的，故共有6种均等的

结果，其中指针指向偶数区域2,4,6有3种结果，根据概率公式求解即可；

（2）当转盘停止转动时，指针指向数字区域2,3,4,5,6,7的机会是均等的，故共有6种均等的结果，其

中指针指向的数小于或等于5区域2,3,4,5有4种结果，根据概率公式求解即可.

【详解】（1）解：当转盘停止转动时，指针指向数字区域2,3,4,5,6,7的机会是均等的，故共有6种均

等的结果，其中指针指向奇偶数区域2,4,6有3种结果，

所以指针指向偶数区域的概率是

（2）解：当转盘停止转动时，指针指向数字区域2,3,4,5,6,7的机会是均等的，故共有6种均等的结果,

其中指针指向的数小于或等于5区域2,3,4,5有4种结果，

4=2

所以指针指向的数小于或等于5的概率是%一§.

例2.春节、清明、端午、中秋是我国四大传统节日，每个传统节日都有丰富的文化内涵，体现了厚重的家

国情怀.中秋节前，某校举行“传经典♦庆佳节''系列活动，活动设计的项目及要求如下：A-歌谣传情意，B-

创意做灯笼，C-花好月圆写中秋，D-亲子乐中秋，人人参加，每人任意从中选一项.为公平起见，学校制作

了如图所示的可自由转动的转盘，将圆形转盘四等分、并标上字母A、B、C、D,每位学生转动转盘一次，

转盘停止后，指针所指扇形部分的字母对应的活动项目即为他选到的项目（当指针指在分界线上时重转）.

（1）任意转动转盘一次，选到“A-歌谣传情意”的概率是：

（2）甲、乙是该校的两位学生，求甲和乙选到不同活动项目的概率.

【分析】（I）根据将圆形转盘四等分，即可求解；

（2）甲和乙选到不同活动项FI的可能结果.

【详解】（1）解：•••将圆形转盘四等分、并标上字母A、B、C、D,

二任意转动转盘一次，选到“A-歌谣传情意”的概率为：4

£

故答案为：4.

（2）解：共有16种等可能结果，其中甲和乙选到不同活动项目的结果有12种

\2=3

故甲和乙选到不同活动项目的概率为：16

巩固练习

课堂练习：课本P79随堂练习

参考答案：1.会出现摸到写有字母A的纸条、摸到写有字母B的纸条、摸到写有字母C的纸条、摆到写有字母

D的纸条、摸到写有字母E的纸条这5种可能的结果;它们是等可能的.

1213

2.拍到大王的概率是次，抽到3的概