二次函数的概念（课件）2026-2027学年人教版数学九年级上册

26.1二次函数的概念新课导入1．一次函数的一般形式：______________．2．正比例函数的一般形式：______________．3．想一想：正方体六个面是全等的正方形，设正方体的棱长为x，表面积为y，则y与x之间有什么关系呢？y＝kx＋b(k≠0)y＝kx(k≠0)探究新知用长为40m的细绳围成一个矩形区域，矩形区域的面积y(单位：m2)会随矩形一边长x(单位:m)的变化而变化，y与x之间有什么关系？对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，即y是x的函数.变量变量根据矩形面积公式，它们之间的关系可以表示为y=x(20−x)，即

y=−x2

+20

x.

这是一个不同于一次函数的新函数.问题1

n支球队参加比赛,每两队之间进行1场比赛,比赛的场次数m与球队数n之间有什么关系？

问题2

某种产品现在的年产量是20t，计划今后两年增加产量，如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y（单位：t）将由x的值确定，y与x之间的关系应怎样表示？问题2中前后两年的产量间存在怎样的关系？原产量为20t，一年后的产量是多少？两年后的产量是多少？一年后的产量是:两年后的产量是:20(1+x)t20(1+x)(1+x)ty=20(1+x)2对式子y＝20(1＋x)2，y是x的函数吗？y=20(1+x)2

y=20x2

+40

x+20式子表示了两年后的产量y与每年的计划增产倍数x之间的关系，其中x和y都是变量，而且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，即y是x的函数.思考：观察这些函数，它们有什么共同点？y=−x2

+20

x

y=20x2

+40

x+20①都是函数关系式；②函数解析式都是整式；③自变量的最高次数都是2.y=−x2

+20

x

y=20x2

+40

x+20它们是一次函数吗？它们应该属于几次函数？二次函数二次（一元）二次方程函数一次函数ax2+bx+c=0(a≠0)y=kx+b(k，b是常数，k≠0)二次函数的概念：二次函数的概念：一般地，形如y=ax²+bx+c(a，b，c为常数，a≠0)的函数，叫做二次函数.其中x是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项.（1）函数解析式是整式；（2）化简整理后自变量的最高次数是2；（3）二次项系数不为0，即a≠0.二次函数解析式必须同时满足的三个条件：二次函数的一般形式：y=ax²+bx+c(a，b，c为常数，a≠0)二次函数的特殊形式：当b=0，c=0时，y=ax2(a≠0)当c=0时，y=ax2+bx(a≠0)当b=0时，y=ax2+c(a≠0)一次项系数、常数项可以为0.例（1）一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积S关于半径r的函数解析式.圆柱表面积=圆柱底面积+圆柱侧面积S=2πr2+

2πr·rS=4πr2（2）一种产品某年的销售量为8万件，由于其他新产品的出现，后两年的年销售量有所下降，年平均下降率是x.写出两年后产品的年销售量y（単单位；万件）关于x的函数解析式，一年后产品的年销售量为：两年后产品的年销售量为：8(1−x)万件8(1−x)2万件

y=8x2

−16

x+8知识归纳一般地，形如y＝_____________(其中a，b，c是常数，a≠0)的函数，叫作二次函数．其中x是自变量，a，b，c分别为函数解析式的____________、____________和____________．ax2＋bx＋c二次项系数一次项系数常数项强调以下几个问题：(1)关于自变量x的二次式必须是二次整式，即可以是二次单项式、二次二项式和二次三项式；(2)二次项的系数a≠0是定义中不可缺少的条件．若a＝0，b≠0，则它是一次函数．例1例题与练习

判断函数y＝(x－2)(3－x)是否为二次函数？若是，写出它的二次项系数、一次项系数和常数项；若不是，请说明理由．解：y＝(x－2)(3－x)＝－x2＋5x－6，是二次函数二次项系数：－1，一次项系数：5，常数项：－6.例2

已知函数y＝(m2－9)x2＋(m－3)x＋5(m是常数)，当m为何值时：(1)函数是一次函数？(2)函数是二次函数？解：(1)当m＝－3时，(2)当m≠±3时，函数y＝(m2－9)x2＋(m－3)x＋5是一次函数．函数y＝(m2－9)x2＋(m－3)x＋5是二次函数．例3

某商店经营一种小商品，进价为2.5元，据市场调查，销售单价是13.5元时，平均每天销售量是500件，而销售单价每降低1元，平均每天就可以多售出100件．假定每件商品降价x元，商店每天销售这种小商品的利润是y元，请写出y与x之间的函数关系式，并注明x的取值范围．解：降低x元后，所销售的件数是(500＋100x)件，则y＝(13.5－2.5－x)(500＋100x)，即y＝－100x2＋600x＋5500(0＜x＜11).1.写出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项。(1)y=8x2−16x+8;(2)y=x2:二次项系数：8一次项系数：−16常数项：8二次项系数：1一次项系数：0常数项：0

一次项系数：5常数项：0二次项系数：2一次项系数：−4常数项：−3y=2x2

−4x

−32.如图，矩形绿地的两边长各增加xm，扩充后的绿地面积为ym2.写出y关于x的函数解析式.

y=(30+x)(20+x)=x2+50x+600y关于x的函数解析式为：y=x2+50x+600(x≥0)

D4．已知二次函数y＝1－2x－x2，其中二次项系数a＝______，一次项系数b＝______，常数项c＝______．－1－21课堂小结1．请叙述二次函数的定义及一般形式．2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)：①解析式为整式；②自变量的最高次数为2；③二次项的系数不为0.3．自变量x的取值范围为全体实数．随堂检测

C

B3、某种商品的价格是2元，准备进行两次降价，如果每次降价的百分率都是x，则经过两次降价后的价格y（单位：元）与每次降价的百分率x的函数关系式是

.y=