二次函数y＝ax²＋bx＋c的图象和性质（课件）2026-2027学年人教版数学九年级上册

26.2二次函数的图象和性质26.2.3二次函数y＝ax²＋bx＋c的图象和性质新课导入1．你能说出函数y＝－4(x－2)2＋1图象的开口方向、对称轴和顶点坐标及其性质吗？开口向下，对称轴是直线x＝2，顶点坐标是(2，1)，当x>2时，y随x的增大而减小，当x<2时，y随x的增大而增大，当x＝2时，有最大值1.2．函数y＝－4(x－2)2＋1的图象与函数y＝－4x2的图象有什么关系？解：函数y＝－4(x－2)2＋1的图象是由函数y＝－4x2的图象向上平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度得到的．探究新知

化成y=a(x-h)2+k的形式.思考：

提出问题：

提出问题：(4)观察图象，回答：

想一想：配方的方法及步骤是什么？①“提”：提出二次项系数；②“配”：括号内配成完全平方；③“化”：化成顶点式.

配方后的表达式通常称为顶点式.

向右平移6个单位

向上平移3个单位

向上平移3个单位

向右平移6个单位

方法1：方法2：

平移前后，图形的大小和形状不变，仅位置改变.

相同上移3，右移6下移3，左移6先利用对称性列表：x…3456789…y=x2-6x+21…7.553.533.557.5…

描点法描点、连线，画出函数图象.

开口_______，对称轴是_________，顶点坐标是_________.向上直线x=6(6,3)当x<6时，y随x__________；当x>6时，y随x__________.当x=6时，y取________，最小值是____.增大而减小增大而增大最小值3解：配方得y=−2x2−4x+1=−2(x2+2x)+1=−2(x2+2x+1)+2+1=−2(x+1)2+3由配方结果知，此抛物线开口向下，对称轴是x=−1,顶点坐标是(−1,3)，顶点是图象的最高点.探究：你能用上面的方法研究二次函数y=−2x2−4x+1的图象和性质吗?画图：先利用对称性列表：x…-4-3-2-1012…y=-2x2-4x+1…-15-5131-5-15…描点、连线，画出这个函数的图象.开口向下，当x<−1时，y随x增大而增大；y=-2x2-4x+1对称轴是x=−1，顶点坐标是(−1,3).当x>−1时，y随x增大而减小.y=ax2+bx+c

你能用上面的方法将二次函数y=ax2+bx+c化成顶点式y=a(x-h)2+k吗？

从一般式到顶点式要想讨论一般的二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质，应该先配方，得：

yOx（a<0）yOx（a>0）二次函数y=ax2+bx+c的图象：最小值最大值不画出图象,你能直接说出函数y＝－x2＋2x－3的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？开口向下，对称轴直线x=1，顶点(1，−2).你能用上面的方法讨论二次函数y＝－x2＋2x－3的图象和性质吗？思考函数的最大值或最小值与函数图象的开口方向有什么关系？这个值与函数图象的顶点坐标有什么关系？二次函数的最大值或最小值，就是顶点的纵坐标.函数图象开口向上有最小值，开口向下有最大值.你能由此总结归纳出二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象和性质吗？知识归纳

2．思考并完成下表：函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)开口方向a＞0，开口_______a＜0，开口_______对称轴__________________顶点坐标__________________向上向下

最大(小)值当x＝−时，y最小值＝_________当x＝−时，y最大值＝________增减性当x＜−时，y随x的增大而_______；x＞−时，y随x的增大而________x＜−时，y随x的增大而_________；x＞−时，y随x的增大而________

减小增大增大减小例1例题与练习

解：顶点坐标为(1，－2)，对称轴为x＝1.例2

1.先确定下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点,说出随着x的增大，y的变化情况，再描点画图：（1）y=−3x2+12x−3；开口向下，当x<2时，y随x增大而增大；对称轴是x=2，顶点坐标是(2,9).当x>2时，y随x增大而减小.（2）y=4x2−24x+26；开口向上，当x<3时，y随x增大而减小；对称轴是x=3，顶点坐标是(3,−10).当x>3时，y随x增大而增大.(3)y=2x2+8x−6;开口向上，当x<−2时，y随x增大而减小；对称轴是x=−2，顶点坐标是(−2,−14).当x>−2时，y随x增大而增大.

开口向上，当x<2时，y随x增大而减小；对称轴是x=2，顶点坐标是(2,−3).当x>2时，y随x增大而增大.2.求下列函数的最大值或最小值：（l）y=3x2+2x；a=3>0，开口向上，有最小值.

（2）y=−2x2+8x−8.a=−2<0，开口向下，有最大值.

3．已知二次函数y＝2x2－mx＋8，当x＜－3时，y随x的增大而减小；当x＞－3时，y随x的增大而增大，则当x＝1时，y的值为______.22课堂小结1．形如y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的二次函数的顶点坐标及对称轴的确定：(1)当二次函数y＝ax2＋bx＋c容易配方时，可采用配方法来确定顶点坐标及对称轴方程；

2．解决二次函数y＝ax2＋bx＋c的平移问题时，应先将它化为y＝a(x－h)2＋k形式后进行．随堂检测

x-10123y51-1-11D2.已知二次函数y=−x2+2bx+c,当x>1时，y的值随x值的增大而减小,则实数b的取值范围是(

).A.b≥-1 B.b≤-1 C.b≥1 D.b≤1D3.已知二次函数y