最大利润问题（课件）2026-2027学年人教版数学九年级上册

26.4实际问题与二次函数第2课时最大利润问题新课导入某市某中学要印制本校高中招生的录取通知书，有两个印刷厂前来联系制作业务．甲厂的优惠条件是：按每份定价1.5元的八折收费，另收900元制版费；乙厂的优惠条件是：每份定价1.5元的价格不变,而制版费900元六折优惠．且甲、乙两厂都规定：一次印刷数至少是500份．(1)分别求两个印刷厂收费y(元)与印刷数量x(份)的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；解：(1)y甲＝1.5×80%·x＋900y乙＝1.5x＋900×60%＝1.2x＋900(x≥500)；＝1.5x＋540(x≥500).(2)如何根据印刷的数量选择比较合算的方案？(2)由题意，得1.2x＋900＝1.5x＋540，1.2x＋900＜1.5x＋540，解得x＝1200.1.2x＋900＞1.5x＋540，∴当印刷1200份时，两个印刷厂一样合算；当印刷数量大于1200份时，选甲印刷厂比较合算；当印刷数量大于500小于1200份时，选乙印刷厂比较合算．解得x＞1200，解得x＜1200，探究新知探究1

某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映，若调整单价（单价为整数）：每涨价1元，则每星期要少卖出10件；每降价1元，则每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？最大利润是多少？提出问题：(1)问题中的定价可能在现在售价的基础上涨价或降价，获取的利润会一样吗？如果你是老板，你会怎样定价？(2)若设每件涨价x元，获得的利润为y元，则每星期少卖多少件？实际卖出多少件？销售额为多少元？买进商品时需付多少元？由此你得到的函数解析式是什么？何时有最大利润，最大利润为多少元？(3)若设每件商品降价x元，获得的利润为y元，则每星期多卖多少件？实际卖出多少件？销售额为多少元？买进商品时需付多少元？由此你得到的函数解析式是什么？何时有最大利润，最大利润为多少元？(4)由此可知应如何定价才能使利润最大？进价/元售价/元销量/件利润/元现价涨价降价探究1

某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映，若调整单价（单价为整数）：每涨价1元，则每星期要少卖出10件；每降价1元，则每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？最大利润是多少？40603004060+x300−10x4060−x300+20x（1）设每件涨价x元，则每星期售出商品的利润y随之变化，我们先来确定y随x变化的函数解析式.进价/元售价/元销量/件利润/元现价4060300涨价4060+x300−10x所以利润为：y=(60+x)(300−10x)−40(300−10x),即y=−10x2+100x+6000.其中，0≤x≤30，x为整数.商品总利润=总售价−总进价y=−10x2+100x+6000（0≤x≤30）根据上面的函数，填空：当x=_______时，y最大，也就是说，在涨价的情况下，涨价_____元，既定价______元时，利润最大，最大利润是_________.=−10(x2−10x)+6000=−10(x−5)2+625055656250元（2）在降价的情况下，最大利润是多少？进价/元售价/元销量/件利润/元现价4060300降价4060−x300+20x所以利润为：y=(60−x)(300+20x)−40(300+20x),即y=−20x2+100x+6000.其中，0≤x≤20，x为整数.商品总利润=总售价−总进价=−20(x2−5x)+6000=−20(x−2.5)2+6125y=−20x2+100x+6000.根据上面的函数，填空：当x=_______时，y最大，也就是说，在降价的情况下，降价_____元，既定价______元时，利润最大，最大利润是_________.2.52.557.56125元由（1）（2）的讨论及现在的销售状况，你知道如何定价才能使利润最大了吗？综上可知：该商品的价格定价为65元时，可获得最大利润6250元.进价/元售价/元销量/件利润/元现价40603006000涨价40652506250降价4057.535061252．某商场卖一种服装，由经验可知，销售利润与销售定价之间存在二次函数关系，且二次函数的系数a小于0，据调查，当定价为150元或300元时，能获得相同的利润，则要使利润最大，其售价应为多少元？解：由题意得，y=ax2+bx+c，因为a<0，当定价为150元或300元时，能获得相同的利润,所以这两个点关于对称轴对称.

所以抛物线开口向下，有最大值.所以要使利润最大，其售价应为225元.知识归纳1．商品单件利润＝售价－进价．2．总利润＝单件利润×销售总数量．例1例题与练习

春节期间，物价局规定花生油最低价格为4.1元/L，最高价格为4.5元/L，小王按4.1元/L购入，若原价卖出，则每天平均可卖出200L，若价格每上涨0.1元，则每天少卖20L油，问油价定为多少时，每天获利最大？最大获利为多少？解：设油价定为x元/L时获利y元，

∵4.1≤

x≤4.5，∴当x＝4.5时，即油价定为4.5元/L时，每天获利最大，最大获利为48元．y最大值＝－200×(4.5－4.6)2＋50＝48，例2

为了响应政府提出的由中国制造向中国创造转型的号召，某公司自主设计了一款成本为40元的可控温杯，并投放市场进行试销售，经过调查发现该产品每天的销售量y(件)与销售单价x(元)满足一次函数关系：y＝－10x＋1200.(1)求利润W(元)与销售单价x(元)之间的关系式(利润＝销售额－成本).解：(1)W＝

y(x－40)＝(－10x＋1200)(x－40)＝－10x2＋1600x－48000.(2)当销售单价定为多少时，该公司每天获取的利润最大？最大利润是多少元？(2)W＝－10x2＋1600x－48000∴当销售单价定为80元时，该公司每天获取的利润最大，最大利润是16000元．＝－10(x－80)2＋16000，1．旅行社开设一旅游团，20人起组团，每人需缴费2100元，旅行社对超过20人的旅行团给予优惠：每增加1人，每人需缴费用降低30元，当旅行团的人数为多少时，旅行社可获得最大营业额？最大营业额是多少？解:设旅行团人数比20人多x人，营业额为y=(20+x)(2100−30x)则总人数:20+x

人.=−30x2+1500x+42000

总人数：20+25=45（人）.

y最大值

=45×(2100−30×25)=60750（元）.当旅行团的人数为45人时，营业额最大.最大营业额为60750元.2.生产某种商品需要500元的固定花费，在此基础上，每生产1件商品花费10元，预定单价为50元，实际单价随产量的增加而下调，下调幅度为产量的八分之一，当产量为何值时，生产这种商品的利润最大？最大利润是多少？解：设产量为x

件，利润为y

元。

当产量为160件时，利润最大.最大利润为2700元.3．将进货单价为70元的某种商品按零售价100元一个售出时，每天能卖出20个；若这种商品在一定范围内每降价1元，每日销量就增加1个．为了获得最大利润，则应该降价

(

)A．5元

B．10元C．15元D．20元A4．某商品单个利润y(元)与变化的单价x(元)之间的关系为y＝－5x2＋10x，当0.5≤x≤2时，最大利润是______元．5课堂小结1．用二次函数解决商品利润问题的方法．2．解决利润相关问题中需要注意的问题．随堂检测

D

B解：设每件应降价x元，每天的利润为y元，3.某种文化衫以每件盈利20元的价格出售，每天可售出40件.若每件降价1元，则每天可多售10件，如果每天要盈