第25章　一元二次方程小结（课件）2026-2027学年人教版数学九年级上册

小结知识结构实际问题实际问题的答案一元二次方程ax2+bx+c=0

检验解方程降次配方法公式法因式分解法设未知数，列方程通过对一元二次方程这章的学习，你掌握了哪些知识？这些知识点间又有哪些联系呢？如何运用这些知识解决问题呢？知识回顾一般地，如果方程中只含有______个未知数，且含有未知数的式子都是______，未知数的最高次数是______，这样的方程叫作一元二次方程．一整式2一元二次方程的定义:一元二次方程的一般形式是____________________，其中______是二次项，______是二次项系数；______是一次项，______是一次项系数；______是常数项．ax2＋bx＋c＝0(a≠0)ax2abxbc一元二次方程的一般形式:一元二次方程的特殊形式二次项系数一次项系数常数项ax2+bx+c=0(a≠0，b≠0)ab0ax2+c=0(a≠0，c≠0)a0cax2=0(a≠0)a00一元二次方程的特殊形式:思考：有哪些解一元二次方程的方法？直接开平方法配方法公式法因式分解法形如方程x2=p可以用直接开平方法求解：

（2）当p=0时，方程有两个相等的实数根x1=x2=0；

①移项，将常数项移到方程的右边，含未知数的项移到方程的左边；②二次项系数化为1，方程左、右两边同时除以二次项系数；③配方，方程左、右两边同时加上一次项系数一半的平方；④降次，利用平方根的意义降次；⑤解两个一元一次方程，移项、合并同类项.用配方法解一元二次方程的一般步骤：

公式法适用于任何一个一元二次方程.先将方程化为一般形式：

ax2+bx+c=0(a≠0)

.

公式法①将一元二次方程化为一般形式ax2+bx+c=0(a≠0);易错点：计算Δ的值时，注意a,b,c符号的问题.用公式法解一元二次方程的一般步骤：②确定a，b，c的值；③求出b2-4ac的值；④若b2-4ac≥0，则利用求根公式求解；若b2-4ac＜0,则方程无实数根.判别一个一元二次方程是否有实根，只需确定___________的

符号:Δ=b2−4acΔ的符号方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况Δ＞0有两个不等的实数根Δ＝0有两个相等的实数根Δ＜0无实数根用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：①移项，把方程变形为x2+px+q=0的形式；②把方程因式分解为(x-x1)(x-x2)=0的形式；③把方程转化为两个一次方程x-x1=0或x-x2=0的形式；④解两个一元一次方程，求出方程的根.解法适用的方程类型直接开平方法x2=p或(mx+n)2=p(m≠0，p≥0)配方法二次项系数为1，一次项系数为偶数的一元二次方程公式法所有的一元二次方程因式分解法一边化为0，另一边易于分解成两个一次因式的积的一元二次方程一元二次方程的解法及适用类型：若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实数根x1，x2，则其求根公式是

x＝

.一元二次方程根与系数的关系：根与系数的关系是：x1+x2＝

，x1x2＝

.

只有当a≠0，Δ≥0时，才能用根与系数的关系.列一元二次方程解应用题的一般步骤：①审题，明确已知量和未知量，找出它们之间的等量关系；②设未知数；③根据题目中的等量关系，列出方程；④解方程，求出未知数的值；⑥检验方程的解能否保证实际问题有意义；⑦写出答案，应遵循“问什么，答什么，怎么问，怎么答”的原则。直接利用面积公式列一元二次方程解决问题时，要熟记各种常见几何图形的面积公式．对于不规则图形的面积或周长问题，一般通过平移、割补等方法转化为规则图形，然后列方程求解，和周长有关的问题中，平移或割补之后注意边是否存在重复或遗漏．实际问题与一元二次方程平均增长率设基础量为a，平均增长率为x，则一次增长后的量为a(1+x)，两次增长后的量为a(1+x)2……依此类推，n次增长后的量为a(1+x)n平均降低率设基础量为a，平均降低率为x，则一次降低后的量为a