第六章 平面向量专题四解三角形-正弦定理 人教A版（2019）高中数学必修二

必修第二册第六章平面向量专题四解三角形-----正弦定理一、知识梳理：2.正弦定理及其变形正弦定理：（其中为外接圆的半径）变形：（1）（可实现边到角的转化）（2）（可实现边到角的转化）（3）3.三角形常用面积公式(1)(2)(3)（其中，是三角形的各边长，是三角形的内切圆半径）；(4)S＝eq\r(P(P－a)(P－b)(P－c))，其中P＝eq\f(1,2)(a＋b＋c)．4.三角形中常用结论(1)(2)(3)二、典例剖析1．在△ABC中，A＝60°，sinB＝，a＝3，求三角形中其他边与角的大小.【答案】B=30°，，，.【分析】由三角函数值、三角形内角和性质确定、的大小，应用正弦定理求即可.【详解】由且，即，可知：.∴，由正弦定理，∴，.2．在中，，，，求边以及的面积．【答案】；．【分析】本题可通过正弦定理以及三角形面积公式得出结果.【详解】，即，，，，故，.3．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，．(1)若，求B；(2)若，求b．【答案】(1)(2)或【分析】（1）利用余弦定理进行求解；（2）用正弦定理求出或，分两种情况进行求解，得到或.（1）由余弦定理，得，又，∴．（2）由正弦定理，得，∵，∴或．当时，，∴；当时，，∴．综上，或．4．的内角，，的对边分别为，，.已知，，.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）；（2）.【分析】由正弦定理求出，由余弦定理列出关于的方程，然后求出．【详解】解：（1）因为，，.由正弦定理，可得，所以；（2）由余弦定理，，，（舍），所以.【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理，在已知两边和一边对角时可用余弦定理列方程求出第三边．三、跟踪训练：1．在中，，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用正弦定理即可求解.【详解】由，得.故选：B.2．记的内角的对边分别为，若，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据正弦定理可求出结果.【详解】由正弦定理，得.故选：B3．在中，，，，则等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用正弦定理可直接求得结果.【详解】由正弦定理得：.故选：C.4．已知中，，则B等于（

）A．或 B．或 C． D．【答案】A【分析】直接利用正弦定理即可得解.【详解】解：中，因为，所以，因为，所以，又，所以或.故选：A.5．在中，若，，三角形的面积，则三角形外接圆的半径为（

）A． B．2 C． D．3【答案】B【分析】根据已知条件及三角形的面积公式，结合余弦定理及正弦定理即可求解.【详解】因为，，三角形的面积，所以,即，解得，由余弦定理，得，解得，由正弦定理，得,解得.故选：B.6．在中，，，，则的面积等于（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由正弦定理余弦定理和三角形面积公式求解即可【详解】由可得，又，解得，，又由可得，所以的面积为，故选：D7．若中，已知，，，则c=________．【答案】2或【分析】由三角形面积公式可得角，再由余弦定理即可得结果.【详解】因为，，，即，由于，所以或，当时，，即；当时，，即，即的值为2或，故答案为：2或.8．在中，若，则_____．【答案】##【分析】根据正弦定理直接代入计算，即可得到结果.【详解】由正弦定理可得，即故答案为:9．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则的面积为_________．【答案】或【分析】利用正弦定理算出角的大小，再通过三角形面积公式进行求解【详解】解：由得，因为，，所以，所以或，当时，；当时，，故答案为：或10．在中，a，b，c分别是内角A，B，C所对边的长，已知，，，则边AB的长是______．【答案】8【分析】由得，由得，在中使用正弦定理求出AB.【详解】因为，，所以，，又因为，所以，又因为，在中由正弦定理得.故答案为：8.11．中，角所对的边分别为.且满足，则此三角形的形状是_____.【答案】等腰三角形【分析】利用正弦定理边角互化，由结合三角函数和差公式和角的范围即可得，即可得到结果.【详解】因为，所以由正弦定理可得，又在中,所以，所以即，由，故，则此三角形的形状是等腰三角形，故答案为：等腰三角形12．在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若，则最大角的余弦值是_________.【答案】##【分析】由正弦定理以及三角形的性质，可得，并可判断最大角为，再由余弦定理即可求出结果.【详解】因为，由正弦定理可得，，所以，即角最大，设，其中，所以.故答案为：.13．已知点O是的外接圆的圆心，，则外接圆O的面积为_________