广东省广州市越秀区2025-2026学年八年级（下）期中数学试卷

广东省广州市越秀区2025-2026学年八年级（下）期中数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1．下列二次根式是最简二次根式的是（）A．45 B．10 C．23 D．2．函数y=3x−1A．x≠13 B．x≥1 C．x＞13．下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（）A．1，2，2 B．1，2，3 C．4，6，8 D．6，8，104．下列各式计算正确的是（）A．3+7=10 B．42−35．如图，在菱形ABCD中对角线AC，BD交于点O，要使该菱形成为正方形，则应添加的条件是（）A．AC=BD B．AC⊥BD C．OA=OC D．∠AOB=60°6．已知-2＜m＜3，化简(m−3)2A．5 B．1 C．2m-1 D．2m-57．《九章算术》“勾股”中记载：今有立木，系索其末，委地三尺.引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？译文：今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵着绳索（绳索头与地面接触）退行，在距木根部8尺处时绳索用尽.问绳索长是多少？设绳索长为x尺，可列方程为（）A．32+82=x2 B．（x-8）2+32=x2C．x2+82=（x+3）2 D．（x-3）2+82=x28．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，分别以AC，BC，AB为边向外作半圆，并分别记它们的面积为S1，S2，S3，若S1=8π，S2=24π，则S3=（）A．42π B．32π C．40π9．如图，在矩形ABCD中，点E为CD边的中点，点F为边BC上一点，且AE平分∠DAF.若BF=4，FC=1，则AF的长为（）A．5 B．25 C．6 D．10．如图，菱形ABCD的边长为4，且∠A=60°，DE⊥BC于点E，P为BD上一点，且△PCE的周长最小，则△PCE的周长的最小值为（）A．3+1 B．27+2 C．2二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。11．如图，为测量池塘岸边A，B两点之间的距离，小亮在池塘的一侧选取一点O，测得OA，OB的中点D，E之间的距离是14米，则A，B两点之间的距离是.12．如图，数轴上点A，点B分别表示1和3，CB⊥AB，且CB=1，以点A为圆心，以AC为半径作弧，弧与数轴的交点为D，则点D表示的数是.13．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC=6，AD=5，则菱形ABCD的面积为．​​​​​​​14．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形BCE，则∠CDE=.15．已知在△ABC中，AB=13，AC=15，高AD=12.则BC的长为.16．如图，在矩形ABCD中，把矩形ABCD绕点C旋转，得到矩形EFGC，且点E落在AD上，连接BE，BG，BG交CE于点H，连接FH，若FH平分∠EFG，则下列结论正确的是.①AE+CH=EH；②∠DEC=3∠ABE；③BH=HG；④CH=2AB.三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17．计算：（1）27−（2）(2+318．如图，每个小正方形的边长都为1.

（1）AB=，BC=，BD=；（2）判断∠BCD是直角吗？并说明理由.19．先化简，再求值：(a+5)(a−520．如图，在四边形ABCD中，点E、F分别是边AB、AD的中点，BC=15，CD=9，EF=6，∠AFE=50°，求∠ADC的度数．

21．如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点.过点A作AE∥BC，过点C作CE∥DA，交于点E.

（1）求证：四边形ADCE是矩形；（2）若BC=12，AB=10，求CE的长.22．学校校内有一块如图所示的三角形空地ABC，计划将这块空地建成一个花园，以美化校园环境，预计花园每平方米造价为30元，学校修建这个花园需要投资多少元？23．如图，已知四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AO=OC，OB=OD且∠1=∠2．​​​​​​​（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）E为AO上一点，连接BE，若AE=4，AB=6，EB=23，求AO的长．24．如图，在正方形ABCD中，O是AC的中点，E是AD上一点，连接BE，交AC于点H，作CF⊥BE于点F，AG⊥BE于点G，连接OF.（1）求证：AG=BF；（2）若正方形边长为1，当点F为HB中点时，求AE的长；（3）求证：CF−AG=225．在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E是射线BC上一个动点，连接AE并延长交射线DC于点F，将△ABE沿直线AE翻折到△AB'E，延长AB'与直线CD交于点M．（1）求证：AM=MF；（2）当点E是边BC的中点时，求CM的长；（3）当CF=4时，求CM的长．

答案解析部分1．【答案】B【知识点】最简二次根式【解析】【解答】解：A、45=3B、10是最简二次根式，故本选项符合题意；C、23D、0.2=故选：B．【分析】根据最简二次根式的定义逐项进行判断即可求出答案.2．【答案】D【知识点】二次根式有无意义的条件；函数自变量的取值范围【解析】【解答】解：∵3x-1≥0，所以x≥1故答案为：D。【分析】根据被开方数大于等于0，即可得到3x-1≥0，所以x≥133．【答案】D【知识点】勾股定理的逆定理【解析】【解答】解：A.12B.1+2=3，不能构成三角形，不符合题意；C.42D.62故选：D．【分析】根据勾股定理逆定理逐项进行判断即可求出答案.4．【答案】D【知识点】二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法【解析】【解答】解：A.3与7不是同类二次根式，不能合并，故此选项不符合题意；B.42C.22D.27÷故选：D.【分析】根据二次根式的四则运算逐项进行判断即可求出答案.5．【答案】A【知识点】正方形的判定；平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形之间的关系【解析】【解答】解：由菱形到正方形，需要添加条件为一个内角为直角，或者对角线相等

∴结合选项A答案符合题意。故答案为：A。【分析】由菱形到正方形，需要添加正方形相对于菱形特有的条件，即内角为90°，或者对角线相等，选项A，AC=BD，对角线相等，所以符合题意。

B选项，菱形性质有C⊥BD，不能作为判定菱形成为正方形的条件。

C选项，OA=OC，也是菱形的性质，不能作为判定菱形成为正方形的条件。

D选项，∠AOB=60°，没有条件可以得到这个结论，故不符合题意。6．【答案】A【知识点】整式的加减运算；二次根式的化简求值；化简含绝对值有理数【解析】【解答】解：∵-2＜m＜3

∴m-3＜0，m+2＞0

∴m−32=3−m，m+2=m+2

∴故答案为：A。【分析】根据a2=a=−aa＜07．【答案】D【知识点】列二元一次方程；勾股定理的实际应用-其他问题【解析】【解答】解：∵绳索长为x，由题意得木柱长为(x-3)尺

根据勾股定理得（x-3）2+82=x2故答案为：D。【分析】本题可以抽象成直角三角形，由绳索长为x，根据绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，可以得到木柱长为(x-3)尺，再根据牵着绳索（绳索头与地面接触）退行，在距木根部8尺处时绳索用尽，这时可以看成是直角三角形的一条直角边为8，斜边是绳子的长，根据勾股定理即可得到（x-3）2+82=x2。8．【答案】B【知识点】三角形的面积；勾股定理的应用；圆与三角形的综合【解析】，【解答】解：∵S1,S2,S3为半圆

∴S1=12π12AC2=18πAC2故答案为：B。

【分析】由S1,S2,S3为半圆，利用圆的面积公式=πr2，可以求出S9．【答案】C【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；矩形的性质【解析】【解答】解：过点E作EG⊥AF与点G，连接EF

∵四边形ABCD为矩形

∴∠D=90°，BC=AD

∴AD⊥CD

∵AE平分∠DAF，AF⊥GE

∴DE=EG，∠AGE=∠D=90°

∵点E为CD的中点

∴DE=CE

∴DE=EG=CE

∴在Rt△AGE与Rt△ADE中

∴AE=AE，DE=EG

∴Rt△AGE≅Rt△ADE

同理Rt△FGE≅Rt△FCE

∴AD=AG，GF=CF=1

∵BF=4，CF=1

∴BC=BF+CF=5

∴AG=5

∴AF=AG+GF=6故答案为：C。

【分析】利用矩形的性质，可以得到∠D=90°，BC=AD，做好辅助线，再利用角平分线的性质，得到EG=CE，再利用证明直角三角形全等的判定HL，即可得到Rt△AGE≅Rt△ADE，Rt△FGE≅Rt△FCE，可以得到AD=AG，GF=CF=1，再根据BC=BF+CF=5，即可得到AF=AG+GF=6。10．【答案】B【知识点】菱形的性质；轴对称的应用-最短距离问题【解析】【解答】解：连接AC交BD与点O，再连接AE交BD与点P

∵四边形ABCD为菱形且边长为4

∴AC⊥BD，AO=OC，AD=CD=BC=4

∵∠A=60°

∴∠ADB=60°

∵DE⊥BC于点E

∴∠BDE=30°，DE=23，E为BC中点

∴∠ADE=90°，CE=2

∴AE=27

∴△PCE的周长AE+CE=27【分析】利用菱形的性质，得到点A与点C关于BD对称，CD=BC，再连接AE与BD交于点P，即为所求，求PC+PE就是求AE，根据∠A=60°，CD=BC，根据DE⊥BC于点E，利用等腰三角形三线合一，即可得到∠BDE=30°，利用勾股定理即可得到DE=23，CE=2，再根据∠A=60°，AD=AB，所以三角形ADB为等边三角形，所以∠ADB=60°，即可得到∠ADE=90°，再次利用勾股定理即可得到AE=27，即可得到△PCE的周长AE+CE=11．【答案】28【知识点】三角形的中位线定理【解析】【解答】解：∵D，E为OA，OB的中点，且DE=14

∴根据三角形的中位线定理，可以得到AB=2DE=28故答案为：28。【分析】根据三角形的中位线定理，平行于第三边且等于第三边的一半，由D，E为OA，OB的中点，且DE=14，即可得到AB=2DE=28。12．【答案】5【知识点】实数在数轴上的表示；数轴上两点之间的距离；运用勾股定理在数轴上标出无理数对应点【解析】【解答】解：∵数轴上点A，点B分别表示1和3

∴AB=3-1=2

∵CB⊥AB，且CB=1

∴在直角三角形ABC中AC=AB2+BC2=2故答案为：5+1【分析】根据数轴上两点之间距离为大数减小数，所以AB=3-1=2，再CB⊥AB，可以得到三角形ABC为直角三角形，再根据CB=1，AB=2，即可得到点D表示的数是。13．【答案】24【知识点】勾股定理；菱形的性质【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为菱形

∴AC⊥BD，AO=OC，OD=OB

∴∠AOD=90°

∵AC=6，AD=5

∴AO=3，

∴在Rt△AOD中，OD=AD2−AO2=52故答案为：24。【分析】根据菱形的性质，对角线互相垂直且平分，可以得到∠AOD=90°，BD=2OD，根据勾股定理得到，在Rt△AOD中，OD=AD2−A14．【答案】15【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定；等边三角形的性质；正方形的性质【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为正方形

∴∠BCD=90°，BC=CD

∵三角形BCE为等边三角形

∴CE=BC，∠BCE=60°

∴CD=CE，∠DCE=∠BCE+，∠DBC=150°

∴∠EDC=∠DEC

∴∠EDC=180°-∠DCE=180°-150°=30°

∴∠EDC=15°故答案为：15°。【分析】根据正方形的性质得到，∠BCD=90°，BC=CD，再根据三角形BCE为等边三角形，即可得到CE=BC，∠BCE=60°，所以CD=CE，根据等边对等角，所以∠EDC=∠DEC，再利用三角形的内角和，即可得到∠EDC=180°-∠DCE=180°-150°=30°，即可得到∠EDC=15°。15．【答案】14或4【知识点】勾股定理；数形结合；分类讨论【解析】【解答】解：此题需分类讨论，当∠BAC为钝角时，如下图过点A做AD⊥BC与点D

∴∠ADB=90°

在RtADB中，AB=13，AD=12∴BD=5

同理在Rt△ADC中，AC=15，AD=12

∴DC=9

∴BC=BD+CD=14

当∠ABC为钝角时，过点D作AD⊥CB交CB延长线与点D

∴∠ADC=90°

∴在Rt△ADC，与Rt△ABD中

AC=15，AD=12，AB=13

∴BD=5，CD=9

∴BC=CD-BD=4

综上BC=14或4

故答案为：14或4。【分析】此题需要数形结合，当∠BAC为钝角时，利用高AD可以得到△ABD与△ADC为直角三角形。利用勾股定理BA2−AD2=13216．【答案】①③【知识点】矩形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-AAS【解析】【解答】解：①AE+CH=EH

过点B作BM⊥CE于M

∵旋转性质：CB=CE，CD=CG，矩形中AB=CD，故AB=CG。

​∴AD∥BC

∴∠AEB=∠CBE

∵CB=CE

∴∠CBE=∠CEB

∴∠AEB=∠CEB。

​∴△ABE≅△MBE

∴AE=ME，AB=MB

​∵MB=CG

∴△BMH≅△GCH

∴MH=CH。

​∴EH=EM+MH

∴EH=AE+CH，①正确。

②∠DEC=3∠ABE

∵△ABE≅△MBE

∴∠AEB=∠MEB

∵AD∥BC

∴∠DEC=∠ECB

​∴设∠ABE=α

∴∠AEB=90°-α，∠CEB=90°-α

∴∠AEC=180°-2α

​∵∠AEC+∠DEC=180°

∴∠DEC=2α=2∠ABE，不是3∠ABE，②错误。

③BH=HG

∵△BMH≅△GCH

根据全等三角形对应边相等

∴BH=HG，③正确。

④CH=2AB

∵FH平分∠EFG，∠EFG=90°

∴∠EFH=45°

∵∠FEH=90°

∴EF=EH。

​在矩形中AB=EF

∴AB=EH。

​∵①知EH=AE+CH

∴AB>CH，不是CH=2AB，④错误。

【分析】①根据旋转≅的性质CB=CE，CD=CG，矩形中AB=CD，AD∥BC，故AB=CG。∠AEB=∠CBE，再利用三角形全等，即可得到△ABE△MBE，所以AE=ME，AB=MB，根据MB=CG，得到△BMH≅△GCH即可得到答案。

②根据△ABE≅△MBE，AD∥BC，所以∠AEB=∠MEB，∠DEC=∠ECB，设∠ABE=α，所以∠AEB=90°-α，∠CEB=90°-α，所以∠AEC=180°-2α，再根据∠AEC+∠DEC=180°，即可得到∠DEC=2α=2∠ABE，故②错误

③根据BH=HG，得到△BMH≅△GCH，利用全等三角形的性质即可得到BH=HG③正确。

④根据FH平分∠EFG，∠EFG=90°，即可得到∠EFH=45°，所以EF=EH，利用矩形性质​，AB=EF，即可得到AB=EH，根据①知EH=AE+CH，所以AB>CH，④错误17．【答案】（1）解：27−12+13

（2）解：(2+3)2−(2+3)(2−3).

=4+43【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的加减法；二次根式的化简求值【解析】【分析】（1）根据二次根式性质，再根据合并同类项法则，二次根式的加减法即可求出答案。

（2）根据完全平方公式a+b2=a18．【答案】（1）26；25；5（2）解：∵CD2=22+12=5，【知识点】勾股定理的逆定理；运用勾股定理解决网格问题【解析】解：（1）AB=52+12=25+1=26

BC=42+22=16+4=20=25

BD=32+42=2519．【答案】解：原式=a2-5-a2+2a=2a-5，将a=22=22=22【知识点】平方差公式及应用；二次根式的乘除混合运算；利用整式的加减运算化简求值；求代数式的值-化简代入求值【解析】【分析】先化简代数式，根据平方差公式（a-b）（a+b）=a2-b2，即可得到(a+5)(a−5)=a2−5，再去括号得-a220．【答案】解：连接BD，∵点E、F分别是边AB、AD的中点，EF=6，∴EF∥BD，BD=2EF=12，∴∠ADB=∠AFE=50°，在Rt△BDC中，BD2+CD2=122+92=225，BC2=225，则BD2+CD2=BC2，∴∠BDC=90°，∴∠ADC=90°+50°=140°．【知识点】勾股定理的逆定理；三角形的中位线定理【解析】【分析】根据点E、F分别是边AB、AD的中点，即可联想到三角形的中位线，所以辅助线就出来了，连接BD，根据三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，即可得到EF∥BD，BD=2EF=12，利用平行线的性质，两直线平行，同位角相等，即可得到∠ADB=∠AFE=50°，再利用勾股定理的逆定理得到BD2+CD2=122+92=225，BC2=225，所以BD2+CD2=BC2，即可得到∠BDC=90°，所以∠ADC=90°+50°=140°。即可得到答案。21．【答案】（1）解：∵AB=AC

∴△ABC为等腰三角形

∵D是BC的中点

∴AD⊥BC

∴∠ADC=90°

∵CE∥DA

∴EC⊥BC

∴∠ECD=90°

∵AE∥BC

∴∠E+ECB=180°

∴∠E=90°

∴四边形ADCE是矩形（2）解：∵AB=AC

∴△ABC为等腰三角形

∵D是BC的中点，BC=12

∴CD=6，AD⊥BC

∴∠ADC=90°

∴在Rt△ABD中，AD2=AB2-BD2=100-36=64

∴AD=8

∵由（1）知道四边形ADCE为矩形，

∴CE=AD=8。【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；等腰三角形的性质-三线合一【解析】【分析】（1）利用等腰三角形的性质，三线合一可以得到AD⊥BC，再根据平行线的性质和矩形的判定即可得出四边形ADCE为矩形。

（2）利用等腰三角形的三线合一即可得到BD=6，再根据勾股定理即可得到AD=8，根据矩形的性质对边相等，即可得到CE=8.22．【答案】解：过点D作AD⊥BC于点D，设BD=x,则CD=14−x，在Rt△ABD与Rt△ACD中，∵A∴AB即13解得：x=5,∴AD∴AD=12(米)，∴学校修建这个花园的费用=30×1答：学校修建这个花园需要投资2520元．【知识点】三角形的面积；勾股定理【解析】【分析】过点D作AD⊥BC于点D，设BD=x,则CD=14−x,再根据勾股定理建立方程，解方程可得x=5，进而可得出AD的长，由三角形的面积公式即可求出答案.23．【答案】（1）证明：因为AO=OC，OB=OD，所以四边形ABCD是平行四边形，所以AD∥BC，所以∠2=∠ACB，因为∠1=∠2，所以∠1=∠ACB所以AB=CB，所以平行四边形ABCD是菱形（2）解：因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD，在Rt△ABO和Rt△EBO中，根据勾股定理得：OB2=AB2-AO2=BE2-OE2，设OE=x，因为AE=4，AB=6，EB=23，AO=4+x，所以62-（4+x）2=（23）2-x2，解得：x=1，所以AO=AE+OE=4+1=5．【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质【解析】【分析】（1）根据平行四边形的判定，对角线互相平分，即AO=OC，OB=OD，即可得到四边形ABCD是平行四边形，即可得到AD∥BC，再利用平行线的性质，两直线平行，内错角相等，即可得到∠2=∠ACB，再根据∠1=∠2，等量代换即可得到∠1=∠ACB，利用等角对等边即可得到AB=CB，再根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，即可得到平行四边形ABCD是菱形。

（2）根据菱形的性质，对角线互相平分且垂直，即可得到AC⊥BD，根据支架三角形勾股定理得OB2=AB2-AO2=BE2-OE2，再利用方程的思想，设OE=x，根据AE=4，AB=6，EB=23，AO=4+x，利用勾股定理得到62-（4+x）2=（23）2-x2，所以x=1，所以AO=AE+OE=4+1=5，即可得到答案。24．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴BC=AB，∠CBA=90°，∴∠CBF+∠GBA=90°，∵AG⊥BE，CF⊥BE，∴∠AGB=∠BFC=90°，即∠FBC+∠BCF=90°，∴∠ABG=∠BCF，在△AGB和△BFC中，∠ABG=∠BCF∠AGB=∠BFC∴△AGB≌△BFC（AAS），∴AG=BF（2）解：∵正方形边长为1

∴BC=AB=1，∠ABC=910°

∴在Rt△ABC中，AC=2

∵F为BH中点，CF⊥BH

∴△BCH为等腰三角形

∴BC=CH=1

∴AH=2−1

∵AD∥BC

∴△AHE~△CHB

∴AEBC=AHCH（3）解：如图，四边形ABCD是正方形，连接OG、OB，∴AO=BO，∠AOB=90°，又∵∠BGA=90°，∠GHA=∠OHB，∴∠FBO=∠GAO，在△OBF和△OAG中，BF=AG∠FBO=∠GAO∴△OBF≌△OAG（SAS），∴∠BOF=∠AOG，FO=GO，∴∠GOF=∠AOG+∠HOF=∠BOF+∠HOF=∠AOB=90°，∴△GOF为等腰直角三角形，∴GF2=OG2+OF2=2OF2，∠OFG=45°，∴GF=2∴CF=BG，∴CF-AG=BG-BF=GF，∴CF−AG=【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS；相似三角形的判定-AA【解析】【分析】（1）根据正方形的性质，邻边相等，内角为直角，即可得到BC=AB，∠CBA=90°，结合图形得到∠CBF+∠GBA=90°，再根据垂直AG⊥BE，CF⊥BE，即可得到∠AGB=∠BFC=90°，即∠FBC+∠BCF=90°，所以∠ABG=∠BCF，利用三角形全等的判定条件，即可得到△AGB≌△BFC，根据全等的性质，所以AG=BF。

（2）根据边长为1，利用勾股定理即可得到对角线AC=2，再利用F为BH中点，CF⊥BH