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2026年高考北京卷数学试题含解析及答案一、选择题

1.若函数f(x)=x^33x在区间(a,b)上有两个不同的零点，则实数a和b的取值范围是（）

A.a<2，b>1

B.a<1，b>0

C.a<0，b>2

D.a<3，b>3

解析：首先，求导数f'(x)=3x^23，令f'(x)=0，得到x=1和x=1。在这两点处，函数f(x)取得极值。当x<1时，f'(x)>0，函数f(x)单调递增；当1<x<1时，f'(x)<0，函数f(x)单调递减；当x>1时，f'(x)>0，函数f(x)单调递增。因此，函数f(x)在区间(a,b)上有两个不同的零点，需要a<2且b>1。故选A。

答案：A

2.已知等差数列{an}的前n项和为S_n，且S_4=16，a_5=7，则该数列的公差为（）

A.2

B.3

C.4

D.5

解析：由等差数列的性质，可得S_4=(a_1+a_4)2=16，a_5=a_1+4d=7。联立这两个方程，解得a_1=1，d=2。故选A。

答案：A

二、填空题

1.若函数g(x)=x^2+kx+1在区间[2,2]上有最小值3，则实数k的取值范围是______。

解析：首先，求导数g'(x)=2x+k。令g'(x)=0，得到x=k/2。由于区间[2,2]关于原点对称，所以最小值出现在端点或x=k/2处。分别计算g(2)、g(2)和g(k/2)的值，得到g(2)=42k+1，g(2)=4+2k+1，g(k/2)=k^2/4k^2/2+1。要使g(x)在区间[2,2]上有最小值3，需要k^2/4k^2/2+1=3。解得k=±4。故k的取值范围是[4,4]。

答案：[4,4]

2.已知函数h(x)=2x^33ax^2+4在x=1处取得极值，则实数a的值为______。

解析：求导数h'(x)=6x^26ax。因为h(x)在x=1处取得极值，所以h'(1)=0。代入x=1，得到66a=0，解得a=1。

答案：1

三、解答题

1.已知函数p(x)=x^36x^2+9x+1。求：

（1）函数p(x)的单调区间；

（2）函数p(x)的极值点及极值。

解析：

（1）求导数p'(x)=3x^212x+9。令p'(x)=0，得到x=1和x=3。当x<1时，p'(x)>0，函数p(x)单调递增；当1<x<3时，p'(x)<0，函数p(x)单调递减；当x>3时，p'(x)>0，函数p(x)单调递增。因此，函数p(x)的单调增区间为(∞,1)和(3,+∞)，单调减区间为(1,3)。

（2）在x=1处，函数p(x)取得极大值p(1)=5；在x=3处，函数p(x)取得极小值p(3)=4。

答案：

（1）单调增区间：(∞,1)和(3,+∞)，单调减区间：(1,3)

（2）极大值点：x=1，极大值：5；极小值点：x=3，极小值：4

2.设数列{bn}是等比数列，其前n项和为T_n，且T_2=3，T_4=15。求数列{bn}的通项公式。

解析：设等比数列{bn}的首项为b_1，公比为q。由题意，得到以下方程组：

b_1+b_1q=3

b_1+b_1q

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