数学+答案辽宁实验中学2026届高三年级高考模拟考试(5.27-5.28)

考试时间：120分钟试题满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.某班8名学生一次物理测试的成绩如下：67,73,76,81,85,88,89,92,则这组数据的中位数为A.81B.83C.84D.852.设复数(i为虚数单位),则z的共轭复数z为()A.1-iB.-1+iC.-1-iD.1+iA.(1,2)B.(1,2)C.(0,+∞)D.(0,1)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.如图，海平面上的甲船位于中心O的南偏西30°且与O相距7海里的C处，现甲船以13海里/小时的速度沿直线CB去营救位于中心O正东方向8海里的B处的乙船，则甲船到达B处需要的时间为()南A.B.1小时C.D.2小时 A.20B.40C.60D.80,neN.,其中[×]表示不超过x的最大整数。若7.已知数列{,neN.,其中[×]表示不超过x的最大整数。若A.44B.45C.46D.478.对定义在R上的非常值函数y=f(x),若存在一个非零常数T,使得对任意x∈R,都有f(x+T)=T·f(x)成立，那么称函数y=f(x)为T函数.现有以下两个命题：①若函数y=sin(wx+φ)(w≠0)为T函数，则①=2kπ,k∈Z,且k≠0;②既存在严格增的T函数，也存在严格减的T函数.则下列判断正确的是()A.①是真命题，②是真命题B.①是假命题，②是假命题C.①是真命题，②是假命题D.①是假命题，②是真命题二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是()A.非零常数列既是等差数列，又是等比数列B.等比数列{a,}是递增数列，则{an}的公比q>1C.若数列{a}的前n项和为S₄=n²+2n,则数列{a}是等差数列D.若{a}为等比数列，S,为其前n项和，则S,S₂-S,S-S₂,…仍为等比数列(k∈N)10.已知函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示，则下列结论正确的是()A.x=b时，f(x)取得最大值B.x=c时，f(x)取得极大值C.f(a)<f(b)<f(c)D.f(b)>f(c)>f(d)A.C的对称中心为(0,0)B.C上的点到原点距离的取值范围C.当点P(x₀,y。)在C上时，D.C的离心率为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知a=(2,3),b=(-1,2),则向量a在向量b上的投影向量的坐标为13.若函数在区间(a,a+4)上有最小值，则实数a的取值范围是·14.金字塔在埃及和美洲等地均有分布，现在的尼罗河下游，散布着约80座金字塔遗迹，大小不一，其中最高大的是胡夫金字塔.如图，胡夫金字塔可以近似看做一个正四棱锥，则该正四棱锥的5个面所在的平面将空间分成部分(用数字作答).四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知等比数列{a}满足a₁+a₂=3,a₄+a₅=24.(2)设bₙ=an+3n,求数列{b,}的前n项和Sn.16.已知函数f(x)=12-x².(I)求曲线y=f(x)的斜率等于-2的切线方程；(Ⅱ)设曲线y=f(x)在点(t,f(t)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为S(t),求S(t)的最小值.形化应用的测试，提出了DeCasteljau算法：已知三个定点，根据对应的比例，使用递推画法，可以画出抛物线.反之，已知抛物线上三点的切线，也有相应成比例的结论.如图所示，抛物线I:x²=2py,其中p>0为一给定的实数.(1)若直线l:y=kx-2pk+2p与抛物线只有一个公共点，求实数k的值；18.如图，正方体ABCD-EFGH的棱长为2,在正方形ABFE的内切圆上任取一点P,在正方形BCGF的内切圆上任取一点P₂,在正方形EFGH的内切圆上任取一点P3.(1)若P,P₂,P³分别是棱AB,GC,HG的中点，求棱AE和平面PP₂P₃所成角的余弦值；19.2026年马年春晚《武BOT》节目中，宇树科技的人形机器人与塔沟武校的少年武者进行了一场人机武术对抗赛.假设每局比赛中，机器人获胜的概率为0.6,少年武者获胜的概率为0.4,且每局胜负相互独立.比赛采用2k+1局k+1胜制(即先赢得k+1局者获胜).(1)当k=1时，记结束比赛时的局数为X,求X的分布列和数学期望E(X);①求P(1)和P(2)的值，并比较它们的大小，据此说明k=1和k=2哪种赛制对机器人更有利；②随着k的增大，机器人获胜的可能性如何变化?证明你的结论.【分析】根据中位数的概念求解即可.【详解】由题意可得该组数据的中位数所以A∩B=[1,+∞]n(0,2)=(1,2).【详解】由题可知a>0,b>0,若取b=1,满足ab≤1,【详解】由题意可知：OC=7,OB=8,∠O=30°+90°=120°,由余弦定理可得所以甲船到达B处需要的时间【详解】抛物线方程y²=8x,则2p=8,焦点(2,0),即焦点为F,准线为x=-2,由焦半径公式可知，抛物线上任意一点P(x,y,),到焦点F的距离：设P(x,,y.)(i=1,2,3,….10),则向量FP=(x-2,y,-0)=(x,-2,y.), 已知FP+FP₂+…+FP₀=0,由向量加法的坐标运算得：则则,解得最后分情况代入条件列方程求解.【详解】设,当n=3k时f(n)=k+k+k=3k=n,∴a+1+an=n,由an+1+an=n及a则则当n为偶数时，设n=2k,则由题设am+am=506,若m为奇数，则若m为偶数，则,无整数解，【分析】利用正弦函数的周期性和有界性分析等式恒成立的条件，并构造函数结合函数单调性进行判断.【详解】命题①,若y=sin(wx+φ)(w≠0)是T函数，根据定义得sin[w(x+T)+φ]=Tsin(wx+4),展开整理得(cosoT-T)sin(wx+φ)+sinoTcos(wx+4)=0对任意x恒成立，因此系数必全为0.,由sinwT=0得coswT=±1,因此T=±1.当T=1时，w=2kπ,k∈Z,w≠0;当T=-1时，cos(-の)=-1,得@=(2k+1)π,k∈Z,这也满足条件，例如@=π,T=-1时，f(x-1)=sin(π(x-1)+φ)=-sin(πx+4)=-f(x)=Tf(x)成立.命题①只给出w=2kπ,遗漏了w=(2k+1)π的情况，因此①是假命题.命题②,构造指数函数f(x)=a*,验证T函数条件f(x+T)=a+⁷=a³a⁷=a'f(x),只需满足aT=T,取T=e>1,则是严格增函数，,则,f(x)=a³是严格减函数，满足T函数定义，存在严格减的T函数.因此②是真命题.综上，①假②真.9.AC【分析】根据数列中特殊常数列的性质，等比数列单调性的判断方法，利用前n项和求出通项证明等差数列，和等比数列前n项和的性质，判断各选项正误.【详解】非零常数列，后一项减前一项是0,后一项除前一项是1,所以A正确.等比数列单调递增则由或所以B错误.由Sₙ=n²+2n可知当n≥2,n∈N时a=S,-Sₙ₋1=n²+2n-(n-1)²-2(n-1)=2n+1,且a₁=S₁=3,符合等式，所以数列通项为aₙ=2n+1,则a-aₙ=2(n+1)+1-2n-1=2,所以是等差数列，所以C正确.当q=-1,k为偶数时，可知S=0,S₂k-Sk=0,S₃-S₂k=0不满足等比数列各项不为0的要求，所以D错误.【分析】通过导函数图象，确定函数的单调区间，再结合选项逐个判断即可.【详解】由导函数图象可知当x∈(a,c)时，f'(x)>0,f(x)单调递增，当x∈(c,e)时，f'(x)<0,f(x)单调递减，当x∈(e,+∞)时，f'(x)>0,f(x)单调递增，选项A:因为f(x)在(a,c)上单调递增，且a<b<c,因此f(x)在x=b处取不到最大值，A错误，选项B:x=c左侧f'(x)>0,f(x)单调递增；右侧f'(x)<0,f(x)单调递减，且f'(c)=0,因此x=c时f(x)取得极大值，B正确，选项C:由a<b<c,且f(x)在(a,c)单调递增，可得f(a)<f(b)<f(c),C正确，选项D:f(x)在(a,c)单调递增，因此f(b)<f(c),故f(b)>f(c)不成立，D错误.【分析】根据对称性定义计算可判断A;令r²=x²+y²,由(x±y²≥r²±2xy代入化简可得|8-5r²|≤3r²,计算可判断B;将曲线看作关于x的方程，由判别式列不等式计算可判断C;先证明旋转公式，再将原方程标准化，计算判断D即可.【详解】对于A,设(x,y)是二次曲线C:5(x²+y²)+6xy=8上任意一点，将(-x,-y)代入二次曲线C:化简可得5(x²+y²)+6xy=8,所以(-x,-y)在二次曲线C上，则二次曲线C的对称中心为(0,0),故A正确；对于B,令r²=x²+y²,则6xy=8-5r²,因为(x±y)²=x²+y²±2xy=r²±2xy≥0,得所以8-5r²|≤3r²,解得1≤r²≤4,即r∈[1,2],所以二次曲线C上的点到原点距离的取值范围是[1,2],故B错误；对于C,将曲线方程5(x²+y²)+6xy=8视为关于x的方程5x²+6yx+5y²-8=0,因为x为实数，所以△=36y²-4×5×(5y²-8)=-64y²+160≥0,解得,当点P(x₀,y。)在二次曲线C上时，可得,故C正确；为(rcosθcosa+rsinθsina,rsinθcosα-rcosθsinα),所以(xcosa+ysina,-xsina+ycosa),即旋转公式得证，将原方程化为标准方程，而其旋转角为α,旋转后整理方程令交叉项系数为0,可得6cos2α=0,而,解得代入曲线C,化简可得故二次曲线C可以看作由椭圆绕坐标原点逆时针旋转得到，在椭圆故二次曲线C的离心率为,故D正确.【分析】根据向量a在向量b上的投影向量公式【详解】因为a=(2,3),b=(-1,2),所以向量a在向量6上的投影向量的坐标【分析】求得f'(x)=x²+2x,得到f(x)的单调区间和极小值为,求得x=-3或x=0,画出f(x)的大致图象，根据题意，结合图象，列出不等式组，即可求解.【详解】由函数,可得f'(x)=x²+2x=x(x+2),令f'(x)>0,即x(x+2)>0,解得x<-2或x>0;令f'(x)<0,即x(x+2)<0,解得-2<x<0,可得函数f(x)的极小值为令,即,可得x³+3x²=0,解得x=-3或x=0,要使得函数在区间(a,a+4)上有最小值，结合图象，可得,解得-3≤a<0,即实数a的取值范围为(-3,0).【分析】假想一个没有上顶的正方体，该正方体会把空间分割成18块，把四面进行极限倾斜相交分析求解.【详解】假想一个没有上顶的正方体，该正方体会把空间分割成18块，如图所示的对称的锥面同样会切割出9个空间，即顶点之上的4个延伸的倾斜的面同样会切割出9个空间，但是四个空间和下面的四个倾斜的侧面切出的是同一个，所以在18的基础上加9减4,即结果是23.故答案为：23.【点睛】关键点点睛：本题关键在于把四面进行极限倾斜相交分析.15.(1)aₙ=2”-1【分析】(1)根据等比数列的通项公式求解即可.(2)根据等差数列的前n项和公式及等比数列的前n项和公式求解即可.【详解】(1)设等比数列{an}的公比为9,则a₄+a₅=a₁q³+a₂q³=(a+a₂)q³,又a₁+a₂=3,a₄+a₅=24,所以24=3q³,即q³=8,解得q=2.因为a₁+a₂=3,且a₂=a₁q=2a₁,所以a₁+2a₁=3,即3a₁=3,解得a₁=1.故aₙ=1×2”⁻¹=2”-¹.(2)由(1)知aₙ=2”⁻¹,则bₙ=2”⁻¹+3n.所以Sₙ=b₁+b₂+…+bₙ=(a₁+3×1)+(a₂+3×2)+…+(aₙ+3n)a₁+a₂+…+a+3×(1+2+…+n).设等比数列{an}的前n项和为A,则设等差数列{3n}的前n项和为B,则16.(I)2x+y-13=0,(Ⅱ)32.用导数可求得最值.【详解】(I)因为f(x)=12-x²,设切点为(x₀,12-x。²),则-2x₀=-2,即x₀=1,所以切由点斜式可得切线方程为：y-11=-2(x-1),即2x+y-13=0.(Ⅱ)[方法一]:导数法显然t≠0,因为y=f(x)在点(t,12-t²)处的切线方程为：y-(12-t²)=-2t(x-t),令x=0,得y=t²+12,令y=0,得所以不妨设t>0(t<0时，结果一样),由S'(t)>0,得t>2,由S'(t)<0,得0<t<2,因为S(t)为偶函数，不妨设t>0,令a=√t,则t=a²,a>0.,则面积为只需求出的最小值.因为a>0,所以令g'(a)=0,得a=√2.ag'(a)-0+减极小值增所以[g(0)1=s(√2)=¹16=8√2.综上，当t=±2时，S(t)的最小值为32.[方法三]:多元均值不等式法同方法二，只需求出)的最小值.当且仅当即a=√2时取等号.所以当a=√2,即t=2时，因为S(t)为偶函数，当t<0时，[S(t)]min=S(-2)=S(2)=32.综上，当t=±2时，S(t)的最小值为32.[方法四]:两次使用基本不等式法同方法一得法三在方法二换元的基础上，利用多元均值不等式求得最小值，运算较为简洁；方法四两次使用基本不等式，所有知识最少，配凑巧妙，技巧性较高.17.(1)k=2【分析】(1)直线方程与抛物线方程联立，△=0即可求解；(2)设A(x₄,yA),B(xg,yB),C(xc,yc),D(xp,yp),E(xg,yE),F(xp,yF)设抛物线x²=2py在A点处的切线方程为y-yᴀ=k(x-xA),与抛物线联立利用△=0解得k,故切线方程为,即2py=2xx-x²,同理可求得抛物线x²=2py上过点B,C的切线方程分别为：用弦长公式即可得解.【详解】(1)将y=kx-2pk+2p代入x²=2py,化简得x²+2pkx+4p²(k-1)=0(*),方程(*)的判别式△=4p²k²-4(4p²k-4p²)=0,化简得k²-4k+4=0,解得k=2;(2)设A(x₄yA),B(xg,yg),C(xc,yc),D(xp,yp),E(xg,yE),F(xp,yF)设抛物线x²=2py在A点处的切线方程为y-yᴀ=k(x-xA),由,消去y并化简得x²-2pkx+2pkxa-2pya=0,△=4p²k²-4(2pkx-2pyᴀ)=4p²k²-8pkxa+8py,=0,pk²-2x₄ka+2y=0,解得,故切线方程为py-py₄=xx-x²,即2py=2xx-x²,同理可求得抛物线x²=2py上过点B,C的切线方程分别为：2py=2xgx-x²,2py=2xcx-x²,联立,解得,即同理可得所以【分析】(1)以正方体的中心0为原点，建立空间直角坐标系，求得向量AE=(0,0,2)和平面PPP₃的法向量n=(1,1,1),结合向量的夹角公式，即可求解；(2)设P(1,cosa,sina₁),P₂(sina₂,1,cosa₂),P₃(cosa₃,sina₃,1),由向量模的坐标表示，求得,进而的其最大值.(3)记f=d₁+d₂+d₃,由(2)及均值不等式，得到,进而求得结合正弦函数的性质，即可求解.【详解】(1)解：以正方体的中心O为原点，以DA,DC,DH的方向分别为x轴，y和z轴的正方向，可得A(1,-1,-1),E(1,-1,1),P(1,0,-1),P₂(-1,1,0),P₃(-1,0,1),则AE=(0,0,2),PP₂=(-2,1,1),P₂P₃=(0,-1,1),设平面PP₂P₃的一个法向量n=(x,y,z),则取x=1,则y=1,z=1,所以n=(1,1,1),所以棱AE和平面PP₂P₃所成角的余弦值为(2)解由(1)中的空间直角坐标系，可设P(1,cosa,sina₁),P₂(sinα₂,1,cosα₂),P₃(cosα₃,sina₃,1),记d₁=|PP₂|,d₂=|PP|,d₃=|P₃P|,则(i=1,2,3)d²=(1-sinα₄)²+(1-cosa)²+(sina₁+cosα)²(其中α₄=a₁)注意到d²=