角平分线模型教学课件及练习题

角平分线模型教学课件及练习题引言在初中平面几何的学习中，角平分线是一个极为重要的概念，它不仅自身具有丰富的性质，更常常作为解题的关键“桥梁”，连接已知与未知。掌握角平分线相关的模型，并能灵活运用于解题，是提升几何推理能力和解题效率的重要途径。本课件旨在系统梳理角平分线的核心模型，通过典型例题的剖析和针对性练习，帮助学生深化理解，培养模型思想和应用意识。一、教学目标1.知识与技能：帮助学生深化对角平分线概念的理解，并能准确复述角平分线的性质定理；系统掌握与角平分线相关的常见几何模型（如“角平分线遇平行构造等腰三角形”、“角平分线性质定理应用模型”、“角平分线+垂线构造全等三角形”等）；能够识别不同模型的特征，并运用模型解决相关的证明与计算问题。2.过程与方法：通过对典型模型的探究与分析，引导学生经历“观察—猜想—验证—应用”的过程，培养学生的几何直观、空间观念以及逻辑推理能力。鼓励学生一题多解、多题归一，提升解题的灵活性与深刻性。3.情感态度与价值观：通过模型的学习，感受几何图形的对称美与和谐美，激发学生对几何学习的兴趣。在解题过程中，培养学生克服困难、勇于探索的精神，以及严谨的治学态度。二、知识回顾在深入学习模型之前，我们先来回顾角平分线的基本定义和性质，这是构建模型的基础。1.角平分线的定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线。*几何语言：如图1，若OC是∠AOB的平分线，则∠AOC=∠BOC=1/2∠AOB。2.角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等。*几何语言：如图2，若OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，且PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，则PD=PE。*关键点：①“角平分线上的点”；②“到角两边的距离”（即垂线段）。*（此处应有图1和图2，分别为角平分线定义示意图和性质定理示意图。图1：一个角AOB，OC为其平分线，标出∠AOC=∠BOC。图2：在图1基础上，在OC上任取一点P，向OA、OB作垂线PD、PE，标出PD=PE。）*三、角平分线模型精讲模型一：角平分线遇平行，构造等腰三角形模型解读：当一条角平分线与一组平行线相遇时，往往可以构造出一个等腰三角形。这是因为平行线的性质（内错角或同位角相等）与角平分线的性质（平分角）相结合，容易产生相等的角，进而得到等腰三角形。常见情形与辅助线作法：1.情形1：角的一边与角平分线平行。*如图3，已知OC平分∠AOB，且OB∥CD。*分析：∵OC平分∠AOB，∴∠1=∠2。∵OB∥CD，∴∠2=∠3（内错角相等）。∴∠1=∠3。∴OD=CD（等角对等边）。即△ODC是等腰三角形。*模型结论：图中CD=OD。*辅助线暗示：若题目中出现角平分线和平行线，应联想到可能存在等腰三角形，尝试找出或构造出相等的角。*（此处应有图3：射线OA、OB相交于O，OC平分∠AOB（∠1=∠2），过点C作CD∥OB，交OA于点D。标出∠1、∠2、∠3（∠OCD）。）*2.情形2：过角平分线上一点作角一边的平行线。*如图4，已知OC平分∠AOB，点P是OC上一点，过点P作PD∥OB，交OA于点D。*分析：类似情形1，可证得∠DPO=∠DOP，从而OD=PD。△ODP是等腰三角形。*模型结论：图中OD=PD。*（此处应有图4：射线OA、OB相交于O，OC平分∠AOB，点P在OC上，过P作PD∥OB交OA于D。标出相关相等的角。）*例题应用：已知：如图5，在△ABC中，BD平分∠ABC，DE∥BC交AB于点E。求证：BE=DE。*（此处应有图5：△ABC，BD是∠ABC的平分线，DE∥BC交AB于E，交AC于F。）*证明思路：因为DE∥BC，所以∠EDB=∠DBC（内错角相等）。又因为BD平分∠ABC，所以∠EBD=∠DBC。因此，∠EDB=∠EBD，所以BE=DE（等角对等边）。模型二：角平分线的性质定理应用模型（“双垂模型”）模型解读：角平分线性质定理本身就构成了一个基本模型。当题目中出现角平分线，且需要证明线段相等或与距离相关时，常过角平分线上一点向角的两边作垂线，利用“角平分线上的点到角两边距离相等”的性质解决问题。模型特征：角平分线、垂线段。辅助线作法：过角平分线上一点，分别向角的两边作垂线。模型结论：两条垂线段相等。*（此处应有图6：与图2类似，强调OC为∠AOB平分线，P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，则PD=PE。）*例题应用：已知：如图7，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且BD=CD。求证：BE=CF。*（此处应有图7：△ABC，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，连接BD、CD，且BD=CD。）*证明思路：欲证BE=CF，可考虑证明△BDE≌△CDF。已知BD=CD，AD是角平分线，根据性质定理可得DE=DF。又因为DE⊥AB，DF⊥AC，所以∠BED=∠CFD=90°。因此，Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），故BE=CF。模型三：角平分线+垂线，构造全等三角形（“三线合一”的逆用与拓展）模型解读：当一条线段既是角平分线又是某条线段的垂线时，或者过角的一边上一点作角平分线的垂线时，往往可以延长垂线，与角的另一边相交，从而构造出全等三角形。此模型常能实现线段的“平移”或“翻倍”。常见情形与辅助线作法：1.情形1：过角的一边上一点作角平分线的垂线，垂足为角平分线上一点。*如图8，已知OC平分∠AOB，点E在OB上，且OE⊥OC于点O（此为特殊情况，垂足为顶点）。*更一般地，如图9，OC平分∠AOB，过OB上一点E作EF⊥OC，垂足为F，延长EF交OA于点G。*分析：∵OC平分∠AOB，∴∠1=∠2。∵EF⊥OC，∴∠OFG=∠OFE=90°。又∵OF=OF，∴△OFG≌△OFE（ASA）。∴OG=OE，FG=FE。即F为GE中点，OC垂直平分GE。*模型结论：OG=OE，FG=FE。△OGE是等腰三角形，OC是底边GE上的高和中线，也是顶角平分线（三线合一）。*辅助线作法：延长垂线（EF）交角的另一边（OA）于点G。*（此处应有图9：OC平分∠AOB，E为OB上一点，过E作EF⊥OC于F，延长EF交OA于G。标出∠1=∠2，∠OFG=∠OFE=90°。）*例题应用：已知：如图10，在△ABC中，AD平分∠BAC，且AD⊥BC于点D。求证：AB=AC。*（此处应有图10：△ABC，AD平分∠BAC且AD⊥BC于D。）*证明思路：此即“三线合一”的逆用。∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD。∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°。又∵AD=AD，∴△ABD≌△ACD（ASA）。∴AB=AC。模型四：三角形内外角平分线夹角模型模型解读：三角形的内角平分线与内角平分线、内角平分线与外角平分线、外角平分线与外角平分线相交，会形成固定度数的夹角。掌握这些夹角的度数规律，可以快速解决相关计算问题。常见情形：1.情形1：两内角平分线夹角。*如图11，在△ABC中，BI、CI分别平分∠ABC和∠ACB。*模型结论：∠BIC=90°+1/2∠A。*推导思路：在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°-∠A。∵BI、CI分别平分∠ABC和∠ACB，∴∠IBC=1/2∠ABC，∠ICB=1/2∠ACB。∴∠IBC+∠ICB=1/2(∠ABC+∠ACB)=1/2(180°-∠A)=90°-1/2∠A。在△BIC中，∠BIC=180°-(∠IBC+∠ICB)=180°-(90°-1/2∠A)=90°+1/2∠A。*（此处应有图11：△ABC，BI平分∠ABC，CI平分∠ACB，BI、CI交于点I。）*2.情形2：一内角平分线与一外角平分线夹角。*如图12，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB的外角∠ACE。*模型结论：∠BPC=1/2∠A。*推导思路：（学生可自行尝试推导，关键利用三角形外角性质）*（此处应有图12：△ABC，延长BC至E，BP平分∠ABC，CP平分∠ACE，BP、CP交于点P。）*例题应用：在△ABC中，∠A=60°，∠ABC和∠ACB的平分线交于点I，则∠BIC的度数为多少？解答：根据模型四情形1的结论，∠BIC=90°+1/2∠A=90°+1/2×60°=120°。四、例题解析例题1（综合应用模型一与模型二）：已知：如图13，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，BD平分∠ABC，且BD交AC于点D。求证：BC=BD+AD。*（此处应有图13：等腰△ABC，AB=AC，∠BAC=100°，BD平分∠ABC交AC于D。）*分析：欲证BC=BD+AD，可考虑“截长法”或“补短法”。结合BD是角平分线，可尝试构造全等或等腰三角形。证法提示（截长法，利用模型一）：在BC上截取BE=BD，连接DE。*先计算角度：∠BAC=100°，AB=AC，∴∠ABC=∠C=40°。BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC=20°。*∵BE=BD，∴∠BED=∠BDE=(180°-20°)/2=80°。*∠DEC=180°-80°=100°。∠EDC=180°-∠DEC-∠C=180°-100°-40°=40°。∴∠EDC=∠C，∴DE=EC。*接下来只需证AD=DE。可过D作DF⊥BA交BA延长线于F，DG⊥BC于G。由角平分线性质得DF=DG。在Rt△AFD和Rt△EGD中，∠FAD=80°，∠GED=80°，∠AFD=∠EGD=90°，DF=DG，∴△AFD≌△EGD（AAS），∴AD=DE。∴AD=EC。*∴BC=BE+EC=BD+AD。证毕。例题2（模型三应用）：已知：如图14，在△ABC中，∠B=2∠C，AD平分∠BAC，交BC于点D。求证：AB+BD=AC。*（此处应有图14：△ABC，∠B=2∠C，AD平分∠BAC交BC于D。）*分析：可利用模型三“角平分线+垂线”构造全等。延长AB至点E，使AE=AC，连接DE；或者在AC上截取AE=AB，连接DE（此为截长法，也可）。证法提示（补短法，利用模型三思想）：延长AB到E，使BE=BD，连接DE。*∴∠E=∠BDE。∠ABC=∠E+∠BDE=2∠E。∵∠ABC=2∠C，∴∠E=∠C。*∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD。又∵AD=AD，∴△AED≌△ACD（AAS）。∴AE=AC。*∵AE=AB+BE=AB+BD，∴AB+BD=AC。证毕。五、练习题基础巩固1.已知：如图15，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，CD=3，AB=10。求△ABD的面积。*（提示：利用模型二，过D作DE⊥AB于E，DE=CD。）*2.已知：如图16，AB∥CD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD。求证：BC=AB+CD。*（提示：利用模型三，过E作EF∥AB交BC于F，或延长BE、CD交于一点。）*3.在△ABC中，∠A=70°，∠B和∠C的平分线交于点O，则∠BOC=______度。*（提示：直接应用模型四情形1结论。）*能力提升4.已知：如图17，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，M是BC的中点，MF∥AD交BA的延长线于F，交AC于E。求证：BF=CE。*（提示：延长FM至N，使MN=FM，构造全等，或过B、C作FM的垂线。）*5.已知：如图18，在四边形ABCD中，BC>BA，AD=CD，BD平分∠ABC。求证：∠A+∠C=180°。*（提示：利用模型二，过D作BA、BC的垂线，证明Rt△ADE≌Rt△CDF。）*拓展探究6.已知：如图19，在△ABC中，∠ABC=3∠C，∠BAC的平分线AD交BC于点D，BE⊥AD于点E。求证：BE=1/2(AC-AB)。*（提示：利用模型三，延长BE交AC于F，构造等腰三角形ABF，再利用角度关系证明BF=FC。）*六、课堂小结与作业布置课堂小结：本节课我们系统学习了与角平分线相关的几个重要几何模型，包括“角平分线遇平行构造等腰三角形”、