2021年上海市普陀区高考一模数学试卷

2021年上海市普陀区高考一模数学试卷一、填空题若集合A=x0<x≤1，B=xx−1x−2函数y=x2（x≥0）的反函数为若π2<α<π且cosα=−1设无穷等比数列an的各项和为2，若该数列的公比为12，则a3在x−1x8的二项展开式中x若正方体的棱长为1，则该正方体的外接球的体积为．若圆C以椭圆x216+y2一个袋中装有同样大小，质量的10个球，其中2个红色，3个蓝色，5个黑色，经过充分混合后，若从此袋中任意取出4个球，则三种颜色的球均取到的概率为．设fx=1x−某展馆现有一块三角形区域可以布展，经过测量其三边长分别为14，10，6（单位：m），且该区域的租金为每天4 元/m2．若租用上述区域如图所示，在直角梯形ABCD中，已知AD∥BC，∠ABC=π2，AB=AD=1，BC=2，M为BD的中点，设P，Q分别为线段AB，CD上的动点，若P，M，Q三点共线，则设b，c均为实数，若函数fx=x+bx+c在区间1,+∞二、选择题曲线y2=8x的准线方程是 A．x=4 B．x=2 C．x=−2 D．x=−4设x，y均为实数，且x362−1 A．2,1 B．2,−1 C．−1,2 D．−1,−2如图，在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，底面边长AB=2，高A1A=4，E为棱A1A的中点，设∠BAD=α， A．α=γ>θ B．γ>α>θ C．θ>γ>α D．α>θ>γ设b，c均为实数，关于x的方程x2+b∣x∣+c=0在复数集①存在b，c，使得该方程仅有两个共轭虚根；②存在b，c，使得该方程最多有6个互不相等的根；其中正确的是   A．①与②均正确 B．①正确，②不正确 C．①不正确，②正确 D．①与②均不正确三、解答题设a为常数，函数fx(1)设a=3，求函数y=fx的单调递增区间及频率(2)若函数y=fx双曲线Γ:x216−y29=1的左、右焦点分别为F1(1)设P为Γ右支上的任意一点，求∣PF(2)设O为坐标原点，求O到l的距离，并求l与Γ的交点坐标．某商场共有三层楼，在其圆柱形空间内安装两部等长的扶梯Ⅰ，Ⅱ供顾客乘用．如图，一顾客自一楼点A处乘Ⅰ到达二楼的点B处后，沿着二楼面上的圆弧BM逆时针步行至点C处，且C为弧BM的中点，再乘Ⅱ到达三楼的点D处．设圆柱形空间三个楼面圆的中心分别为O，O1，O2，半径为8米，相邻楼层的间距AM=4米，两部电梯与楼面所成角的大小均为(1)求此顾客在二楼面上步行的路程．(2)求异面直线AB和CD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．已知无穷数列an的首项为a1，其前n项和为Sn，且an+1−(1)设a1=d=1，求数列an(2)设d=2，S7=−7，是否存在正整数k使得数列n⋅Sn中的项(3)求证：数列an中不同的两项之和仍为此数列中的某一项的充要条件为存在整数m且m≥−1，使得a已知函数fx(1)解不等式x⋅fx(2)设k，m均为实数，当x∈−∞,m时，fx的最大值为1，且满足此条件的任意实数x及m的值，使得关于x的不等式fx(3)设t为实数，若关于x的方程ffx−log2t−x=0恰有两个不相等的实数根x1，

答案一、填空题1.【答案】0,22.【答案】y=x123.【答案】−224.【答案】145.【答案】286.【答案】437.【答案】x−228.【答案】129.【答案】0,110.【答案】52011.【答案】−212.【答案】12二、选择题13.【答案】C14.【答案】B15.【答案】B16.【答案】A【解析】①存在b=0，c=1，使得方程x2+1=0仅有②存在b=−5，c=6，使得方程x2−5∣x∣+6=0有±i，±2所以①②均正确（例子不唯一)．三、解答题17.【答案】(1)当a=3时，f由2kπ得kπ−π3≤x≤k频率f=2(2)定义域D=R，因为函数y=fx为偶函数，所以对于任意的x∈R即asin也即2asin2x=0对于任意实数x均成立，只有此时fx因为−1≤cos所以0≤1+cos2x≤2，故此函数的值域为18.【答案】(1)根据题设条件，可得F1−5,0，设Px0,∣PF1∣=所以当x0=4时，(2)F25,0，Γ的两条渐近线方程为根据题设条件，可得l:3x+4y−15=0．O到l的距离d=∣3×0+4×0−15∣将l与Γ的方程联立，得3x+4y−15=0,9消去y得，10x=41，解得x=4.1，代入得y=0.675，所以l与Γ的交点坐标为4.1,0.675．19.【答案】(1)过点B作1楼面的垂线，垂足为Bʹ，则Bʹ落在圆柱底面圆上，连接BʹA，则BʹA即为BA在圆柱下底面上的射影．所以∠BABʹ即为BA与楼面所成的角，即∠BABʹ=arcsin13可得AB=82△AOBʹ中，OA=OBʹ=8，所以△AOBʹ是等腰直角三角形．故∠BO又因为AB=CD，所以弧BC的长为8×π所以此顾客在二楼面上步行的路程为2π(2)由（1）可知OA，OBʹ，OO2两两互相垂直相交，于是以O为坐标原点，以射线OBʹ，OA，OO2分别为x，易得B8,0,4，AC42,4向量AB=8,−8,4，设异面直线AB和CD所成角的大小为θ，则cosθ即θ=arccos所以异面直线AB和CD所成角的大小为arccos420.【答案】(1)由an+1−an=1，得数列a故anlimn→∞(2)an是等差数列，S7=7又因为d=2，所以a1故Sn所以n⋅Sk⋅S当k=1,2,3,4,5,6,7,8时，k⋅S当k≥9，k⋅S所以满足条件的所有的k的值为1，2，3，4，5，6，7，8．(3)①先证必要性：任取等差数列an中不同的两项as和ats≠t，存在则2a1+故存在m，使得m=k−s−t+1，使得a1=md，再证m≥−1：运用反证法．假设当d≠0时，m≥−1不成立，则m<−1恒成立．对于不同的两项a1，a2，应存在al，使得a故l=m+2，又因为m是小于−1的整数，故l≤0．所以假设不成立，故m≥−1．②再证充分性：当a1=md，m≥−1，m∈Z，任取等差数列an中不同的两项as因为s+t+m−2≥0且s+t+m−2∈Z所以a1综上①②可得，等差数列an中不同的两项之和仍为此数列中的某一项的充要条件为存在整数m且m≥−1,使得a21.【答案】(1)当x≤0时，fx=2x，代入因为2x所以x≤0；当x>0时，fx=log2x所以log2解得0<x≤1．故原不等式的解集为−∞,1．(2)当x∈−∞,m时，fxmax要使得不等式fx≤m2−k−2m