高三二轮高效复习讲义数学考前复盘体系建构（二）函数与导数

(二)函数与导数▶对应学生用书P112[小题限时练2](单选题、填空题每题5分，多选题每题6分)一、单选题1.(2025·吉林长春模拟)已知f(x)＝log2x，x>0，4x，x≤0，A.－23 B.C.13 D.解析：选A.函数f(x)＝log2x，x>0，4x，x≤0，则f(－13)＝4－13＝2－23，2.(2025·四川成都三模)若集合A＝xy＝x+12－x，B＝{y｜y＝x2＋1}，则AA.－1，2 C.1，2 D解析：选C.因为A＝xx+12－x≥0＝{x｜(x－2)(x＋1)≤0且x≠2}＝{x｜－1≤x＜2}＝－1，2，B＝{y｜y＝x2＋1}＝{y｜y≥1}3.(2025·甘肃甘南模拟)若f(x)＝ax，x>1，4－a2x+2A.4，8 BC.4，8 D解析：选A.若f(x)＝ax，x>1，4－a2x+2，x≤1为R上的增函数4.(2025·安徽三模)已知函数f(x)＝(a－23x+1)x2的图象关于原点对称，则a＝(A.4 B.3C.2 D.1解析：选D.易知f(x)的定义域为R，且f(x)是奇函数，则f(－x)＋f(x)＝a－23－x+1(－x)2＋a－2所以a－2×3x3x+1＋a－23x+1＝0，即2a－2×35.(2025·河南安阳三模)已知函数f(x)＝x3－3x＋a的极小值为6，则实数a的值为()A.8 B.6 C.4 D.2解析：选A.由已知得f'x＝3x2－3，令f'x＝0，得x＝±1，当x∈－1，1时，f'x＜0，f(x当x∈－∞，－1或x∈1，＋∞时，f'x＞0所以f(x)的极小值为f1＝a－2＝6，解得a＝8.6.若函数f(x)＝x22－lnx在区间(m，m＋13)上不单调，则实数m的取值范围为(A.0＜m＜23 B.23＜mC.23≤m≤1 D.m＞解析：选B.函数f(x)＝x22－lnx的定义域为(0，＋∞且f'(x)＝x－1x＝x2－令f'(x)＝0，得x＝1，因为f(x)在区间(m，m＋13)上不单调所以m≥0，m<1<m＋7.(2025·内蒙古赤峰三模)已知函数f(x)＝x2+4x+3，x≤0，1+log13x，x>0，若函数gxA.－1，3 C.－1，0 D.解析：选A.若函数gx＝f(x)－a恰有3个零点，即函数y＝f(x)与y＝a的图象有3个交点，f(x)＝x2＋4x＋3＝x+22－1当x＝0时，f(x)＝3，当x＝－2时，f(x)＝－1，函数y＝f(x)的图象如下，结合图象可得－1＜a≤3.8.(2025·四川成都三模)函数f(x)＝2x－m－lnx有且只有一个零点，则m的取值是()A.1－ln2 B.1＋ln2C.ln2 D.－ln2解析：选B.由f(x)＝2x－m－lnx＝0，可得m＝2x－lnx.令gx＝2x－lnxx>0，则g'x＝2－1x＝则当0＜x＜12时，g'x＜0，当x＞12时，g'x＞则gx在(0，12)上单调递减，gx在(12，＋∞)上单调递增，故g(x)min＝g(12)＝1＋ln且当x→0＋时，g(x)→＋∞；当x→＋∞时，g(x)→＋∞，因函数f(x)＝2x－m－lnx有且只有一个零点，即函数gx＝2x－lnx的图象与直线y＝m有且只有一个交点，故m＝1＋ln2.二、多选题9.(2025·山东菏泽一模)已知函数f(x)的定义域为R，且f1≠0，若fxy＝yf(x)，则()A.f0＝0B.f(x)是奇函数C.f(x)是增函数D.f(x)＋f2x＝f解析：选ABD.对于B：令y＝－1，由题设可知f－x＝－f(x)，故f(x)是奇函数，故B正确对于A：又f(x)的定义域为R，所以f0＝0，故A正确；对于C：不妨取f(x)＝－x，则满足fxy＝yf(x)，且f1≠0，故C错误；对于D：令y＝2，则f2x＝2f(x)；令y＝3，则f3x＝3f(x)，故f(x)＋f2x＝f(x)＋2f(x)＝3f(x)＝f3x，10.(2025·山东济南二模)已知函数f(x)＝x3－3x－2，则()A.f(x)有3个零点B.过原点作曲线y＝f(x)的切线，有且仅有一条C.y＝f(x)与y＝ax－2交点的横坐标之和为0D.f(x)在区间－2，2上的值域为(－4解析：选BC.由f'x＝3x2－3＝0，得x＝±1，x(－∞，－1)－1(－1，1)1(1，＋∞)f'(x)＋0－0＋f(x)单调递增单调递减单调递增f(－1)＝－1＋3－2＝0，f(1)＝1－3－2＝－4，f(2)＝8－6－2＝0，所以f(x)有2个零点，故A不正确；对于选项B，设切点为(x0，y0)，则切线方程为y－(x03－3x0－2)＝(3x02－3)(x－因为过原点，所以－x03＋3x0＋2＝(3x02－3)(－x0)，－x03＋3x0＋2＝－3x03＋3x0，x03＝－1，解得x对于选项C，x3－3x－2＝ax－2，x3＝(a＋3)x，x＝0或x2＝a＋3，若a＋3≥0，根据对称性知，根之和为0，若a＋3＜0，方程只有一个根为0，故C正确；对于选项D，f(－2)＝－8＋6－2＝－4，又f－1＝0，f1＝－4，f(2)＝0，故f(x)在区间－2，2上的取值范围是[－4，0]，11.(2025·浙江杭州二模)设函数f(x)＝x3－xlnx，则(A.f(x)是偶函数B.f(x)≥0C.f(x)在区间0，D.x＝1为f(x)的极小值点解析：选BD.f(x)的定义域为0，＋∞，故f(x)为非奇非偶函数，故由于f(x)＝x3－xlnx＝xx+1x－1lnx，且x＞0，当x＞1时，lnx＞0，此时f(x)＞0，当0＜x＜1时，lnx＜0，此时f(x)＞0，当x＝1时，f(x)＝0，因此f(x)≥0，故B正确；对于C，f'x＝3x2－1lnx＋x2－1，当x∈33，1时，3x2－1＞0，lnx＜0，x2－1＜0，此时f'x＜0，因此f(x)在对于D，f'x＝3x2－1lnx＋x2－1，当x＞1时，3x2－1＞0，lnx＞0，x2－1＞0，故f'x＞0，当x∈33，1时，3x2－1＞0，lnx＜0，x2－1＜0，此时f'x＜0，因此f(x)在33，1上单调递减，在1，＋∞上单调递增，x三、填空题12.(2025·辽宁沈阳二模)写出同时满足下面三个条件的一个函数解析式f(x)＝.①f(x)的定义域为(0，＋∞)；②f(xy)＝f(x)＋f(y)；③f(x)在区间(0，＋∞)上单调递减.解析：取f(x)＝log12x，f(xy)＝log12(xy)＝log12x＋log12y＝f(x)＋ff(x)＝log12x在区间(0，＋∞)上单调递减，故f(x)＝log12x答案：log12x(13.(2025·湖南常德一模)若函数f(x)＝1－ax，x≤1，解析：当x＞1时，f(x)＝xlnx，求导得f'(x)＝1＋lnx＞0，函数f(x)在(1，＋∞)上单调递增，f(x)在x＞1时的取值集合为0，当a＝0，x≤1时，f(x)＝1＞0，没有最小值，由函数f(x)在R上有最小值，得f(x)在(－∞，1]上单调递减，且f(1)≤0，因此－a<0，1－a≤0，解得a≥1，答案：[1，＋∞)14.(2025·河北石家庄模拟)函数f(x)＝xxx>0的极小值点为解析：因f(x)＝xxx>0，则f(x)＝exlnx令t＝xlnx，则t'＝lnx＋x·1x＝lnx＋1则f'x＝lnx+1exlnx＝lnx则f'x＞0得x＞1e；f'x＜0得0＜x＜1则f(x)在0，1e上单调递减，在(1e，＋则f(x)的极小值点为x＝1e答案：1[大题规范练1](每题10分)1.(2025·河北张家口一模)已知f(x)＝lnx－a(x＋1)，a∈R.(1)若a＝2，求曲线f(x)在x＝1处的切线方程；(2)若∃x0∈(0，2]，使fx0＞0，求a的取值范围解：(1)a＝2时，f(x)＝lnx－2(x＋1)，所以f(1)＝－4，f'(x)＝1x－2，所以切线斜率k＝f'(1)＝－1所以曲线f(x)在x＝1处的切线方程为y－－4＝－1×x－1，即x＋y＋(2)因为∃x0∈(0，2]，使得fx0＞0，即lnx0－a(x0＋1)＞0所以a＜lnx0x0+1，令gx＝lnxx+1，x∈(0，2]，则g'x＝1+1x因为h'x＝－1x2－1x＜0在(0，2所以函数hx在(0，2]上单调递减，所以hx≥h2＝32－ln2＝lne32＞0，所以g'x＞0在(0，2所以函数gx在(0，2]上单调递增，所以gxmax＝g2＝ln2所以a＜ln232.(2025·甘肃白银三模)已知函数f(x)＝aex－x＋2，a∈R.(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若f(x)≥ex恒成立，求a的取值范围.解：(1)f'x＝aex－1，当a≤0时，f'x＜0，函数f(x)在R上单调递减；当a＞0时，由f'x＞0得x＞－lna，由f'x＜0得x＜－lna，所以函数f(x)在(－∞，－lna)上单调递减，在－lna综上所述，当a≤0时，函数f(x)在R上单调递减，当a＞0时，函数f(x)在(－∞，－lna)上单调递减，在－lna(2)f(x)≥ex恒成立等价于a－1ex≥x－2，即a－1≥令gx＝x－2ex，g'x＝3－xex，当x＜3时，g'x＞0，当x＞所以函数gx在－∞，3上单调递增，在所以gx≤g3＝1e3＝e－3，所以a－1≥e－3，即a≥e－3＋所以a的取值范围为e－3.已知函数f(x)＝alnx－2x－a2x(a≠0(1)当a＝1时，求f(x)的单调区间和极值；(2)求f(x)在区间(0，1]上的最大值.解：(1)当a＝1时，f(x)＝lnx－2x－1x，x∈(0，＋∞)则f'(x)＝1x－2＋1x2＝－当0＜x＜1时，f'(x)＞0，函数f(x)单调递增，当x＞1时，f'(x)＜0，函数f(x)单调递减，故函数f(x)的单调递增区间是(0，1]，单调递减区间是(1，＋∞)，函数f(x)的极大值为f(1)＝－3，没有极小值.(2)由题意得f'(x)＝ax－2＋a2x2＝－若a≥1，当x∈(0，1]时，f'(x)≥0，f(x)在区间(0，1]上单调递增，此时f(x)的最大值为f(1)＝－2－a2；若0＜a＜1，当x∈(0，a)时，f'(x)＞0，f(x)单调递增，当x∈(a，1]时，f'(x)＜0，f(x)单调递减，此时f(x)的最大值为f(a)＝alna－3a；若－2＜a＜0，则0＜－a2＜1，当x∈(0，－a2)时，f'(x)＞0，f(x)单调递增，当x∈(－a2，1］时，f'(x)＜0，f(x此时f(x)的最大值为f(－a2)＝aln(－a2)＋3若a≤－2，则－a2≥1，当x∈(0，1]时，f'(x)≥0，f(x)在区间(0，1]上单调递增此时f(x)的最大值为f(1)＝－2－a2.综上可得，f(x)max＝－4.(2025·广东广州三模)已知函数f(x)＝ax2＋(a－2)x－lnx，a∈R.(1)当a＝2时，求与f(x)相切，且垂直于直线x＋3y＝0的直线方程；(2)若f(x)有两个零点，求实数a的取值范围.解：(1)当a＝2时，f(x)＝2x2－lnx，求导可得f'x＝4x－1x(x＞0)因为直线x＋3y＝0的斜率为－13，所以切线斜率为3令4x－1x＝3，解得x＝1，此时切点为1所以切线方程为y－2＝3x－1，即3x－y－1(2)函数f(x)的定义域为0，＋∞，f'x＝2ax＋a－2①