2026年高考数学一轮复习检测卷02学生版+解析

2026年高考数学一轮复习检测卷02（全国通用）

（考试时间：120分钟;满分：150分）

注意事项：

1.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、往考证号填写

在答题卡上。

2.回答第1卷时，选出母小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用

橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3.回答第H卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要

求的。

1.（5分）（2025•陕西西安・模拟预测）已知集合力={X氏2-％工0},B=[x\^>1],则力n3=（）

A.（0,1]B.（0,1）C.[0,1]D.[1,0）

2.（5分）（2025•福建泉州•模拟预测）若（l+i）z=2,则在复平面内z对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.（5分）（2025・广西•模拟预测）为落实“双碳”目标，某环保组织调研10个国家2024年度的人均碳排放

强度（单位：吨/人•年），得到数据如下：2,4,5,7,8,9,11,12,13,15.则该组数据的30%分位数

是（）

A.6B.7C.8D.9

4.（5分）（2025•北京海淀•二模）设Q、b、cER,abc^O,且Q>b>c,则（）

A.^+->2B.-+^<2

bcab

C.2a>b+cD.a+b>c

5.（5分）（2025•江西新余•模拟预测）在△ABC中，角A,B,C的对边分别为。，b,c,若a=6,且吗=

sin2B

2（1+V5sinC）.则:=（）

A.2V3B.3aC.V3-1D.

6.（5分）（2025•广东•模拟预测）己知双曲线C:《一《=1（Q>0,8>0）的左，右焦点分别为F1,F2,4是双

曲线C上一点，B为线段4F1的中点.若|吊F2|=|从尸2|=2|8尸21则C的离心率为（）

A.V3+1B.2C.等D.V2

7.（5分）（2025•辽宁鞍山•模拟预测）已知正项数列｛斯｝为等比数列，月.5%是4与3a3的等差中项，若g=2,

则该数列的前5项和为（）

A.10B.15C.30D.31

8.（5分）（2U25•河北石家庄•二模）已知/（X）是定义在R上的奇函数，当勺、小（。，+8）且与工小时，

都有包驾三华｝>0成立，/（2025）=2025,则不等式/'（%）-3>0的解集为（）

A.（-8,-2025）U（2025,+oo）B.（-2025,0）U（2025,+oo）

C.（-2025,2025）D.（—盛，康）

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的

要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分。

9.（6分）（2025•广东佛山・三模）生活经验告诉我们，儿子的身高与父亲的身高不仅线性相关，而且还是

正相关.有人调查了10名男大学生的身高y（单位：cm）及其父亲身高x（单位：cm）的数据

（距小）。=1，2,…,10），已知其中一组数据为（182,185），且2以々=1750,求得经验【可归方程为夕=0.65%+

63,并绘制了如下残差图（残差=观测值-预测值），则

八残差/cm

6

4

2

0・17。,；封

165,*,175180185190：父亲身高/cm

-2

-4

-6

A.这10名男大学生的身高的平均值为176.75

B.由残差图可判定儿子身高与父亲身高的关系不符合上述回归模型

C.数据（182,185）对应的残差为3.7

D.去掉数据（182,185）后，重新求得的回归直线的决定系数R2变小

10.（6分）（2025•江西新余•模拟预测）已知函数/•（x）=x（e*-l）-alnx（aER）,则（）

A.若a=l,M/（x）>1B./'（%）可以有2个极值点

C.若aW0,则f（x）是增函数D.若/（%）=（a-1）%有两个零点%1，%2，则a>e

11.（6分）（2025•河北邯郸•一模）如图“四角花瓣”图形可以看作由抛物线C:/=2py（p>0）绕坐标原点

分别旋转;，IT,手后所得三条曲线与。共同围成的区域（阴影区域），48分别为C与另外两条曲线在第一

象限、第二象限的交点，若|4B|=8,阴影部分的面积为S,则（）

△力。8的面积为16

C.S的值比32小

直线y=x+b截第二象限“花瓣”的弦长可能为1.4

第n卷（非选择题）

三,填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.（5分）（2025•广西•模拟预测）已知向量五，1满足同=1,|山=2,且12d-瓦=2,则|6+臼=.

13.（5分）（2025•河北秦皇岛•模拟预测）设QH0,若曲线f（x）=Qln（x-1）在点（2,/（2））处的切线也是

曲线g（%）=的切线，则。=

14.（5分）（2025•安徽合肥・模拟预测）如图，这是某零件的结构模型，中间大球为正四面体的内切球，

小球与大球、正四面体的三个面均相切.若A8=12,则该模型中一个小球的体积为.

四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。

15.（13分）（2025•四川绵阳•模拟预测）已知函数f（%）=V5sin2x+2cos2%-l.

⑴求函数/（x）的单调递增区间及在［0,；］上的值域：

（2）若。为锐角且f（。）=一占求cos2。的值.

3

16.（15分）（2025・四川广安•模拟预测）已知椭圆。:[+]=1（。>6>0）上任意一点「到0的两个焦点

尸1（一2鱼,0）,尸2（2，2,0）的距离之和为4西.

（1）求C的方程；

（2）已知直线Z:y=m与。相交于A,B两点,若=5,求m的值.

17.（15分）（2025・四川绵阳•模拟预测）如图，平面S4CJ■平面4C8,△S力C是边长为46的等边三角形,

△为直角三角形，AACB=90°,BC=4,

⑴当M为A3的中点时，求三棱锥M-8CS的体积;

（2）求二面角力-SB-C的正弦值.

18.（17分）（2025・四川巴中•模拟预测）已知函数f（x）=ax+hur+1.

（1）当aV0时,求函数〈》）的单调区间;

⑵讨论函数/（x）的零点的个数；

（3）对于任意的％>0,/（x）<坛2"恒成立，求a的取值范围.

19.(17分)(24-25高三上•浙江杭州・期末)阿尔法狗(AlphaGo)是谷歌公司开发的人工智能程序，它第一

个战胜了围棋世界冠军.它可以借助计算机，通过深度神经网络模拟人脑的机制来学习、判断、决策.工程师

分别用人类围棋对弈的近100万、500万、1000万种不同走法三个阶段来训练阿尔法狗(AlphaGo),三个阶

段的阿尔法狗(AlphaGo)依次简记为甲、乙、丙.

(1)测试阶段，让某围棋手与甲、乙、丙三个阿尔法狗(AlphaG。)各比赛一局，各局比赛结果相互独立.已知该

棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为：，j；.记该棋手连胜两局的概率为p,试判断该棋手在第二局与

谁比赛〃最大，并写出判断过程.

(2)工程师让甲和乙进行围棋比赛，规定每局比赛胜者得1分，负者得。分，没有平局，比赛正行到一方比

另一方多两分为止，多得两分的一方赢得比赛.已知每局比赛中，甲获胜的概率为％乙获胜的概率为且

每局比赛结果相互独立.

(i)若比赛最多进行5局，求比赛结束时比赛局数X的分布列及期望E(X)的最大值；

(ii)若比赛不限制局数，记“甲嬴得比赛”为事M,证明：P(M)=3%.

2026年高考数学一轮复习检测卷02（全国通用）

（考试时间：120分钟；满分：150分）

注意事项：

1.本试卷分第I卷（选择题）和第H卷（非选择题）两部分。答卷前,考生务必将自己的姓名、挂考证号填写

在答题卡上。

2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用

橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3.回答第I【卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡•并交回。

第I卷（选择题）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共4（）分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要

求的。

1.（5分）（2025•陕西西安•模拟预测）已知集合力={%氏2-%40},B=[x|i>1],则力n8=（）

A.（0,1]B.（0,1）C.[0,1]D.[1,0）

【答案】A

【解题思路】解二次不等式和分式不等式，明确集合4氏再根据交集的概念进行计算.

【解答过程】由%即％（x-i）wo,解得所以4=[0」.

由1之1,移项得§一120,即?20,等价于{双11。，解得0<%W1,所以8=（0,1].

则4nB=（0,1].

故选：A.

2.（5分）（2025•福建泉州•模拟预测）若（l+i）z=2,则在复平面内z对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】D

【解题思路】利用复数的除法法则将更数z化简，再利用好数的几何意义进行判断即可.

【解答过程】♦.•（1+方=2一・.2=椅=湍言=1一，

・••在复平面内Z对应的点为位于第四象限.

故选：D.

3.（5分）（2025・广西•模拟预测）为落实“双碳”目标，某环保组织调研10个国家2024年度的人均碳排放

强度（单位：吨/人•年），得到数据如下：2,4,5,7,8,9,11,12,13,15.则该组数据的30%分位数

是（）

A.6B.7C.8D.9

【答案】A

【解题思路】将已知数据按从小到大的顺序排列，求10x30%,结合百分位数定义求结论即可.

【解答过程】数据从小到大为：2,4,5,7,8,9,11,12,13,15,

又10x30%=10x0.3=3,

所以该组数据的30%分位数是乎=6.

故选：A.

4.（5分）（2025•北京海淀•二模）设Q、b.cER,abc*0,且Q>h>c,则（）

A.^+->2B.-+^<2

bcab

C.2a>b+cD.a+b>c

【答案】C

【解题思路】利用特殊值法可判断ABD选项，利用不等式的性质可判断C选项.

【解答过程】对于A选项，不妨取Q=2,b=l,c=--,WlJ^+-=2-4=-2<2,A错；

4bc

对于B选项，不妨设Q=-l,b=-2,c=-6,贝壮+1=2+3=5>2,B错；

对于C选项，因为a>b>c,由不等式的基本性质可得2a>b+c,C对；

对于D选项，不妨设a=-l,b=—2,c=-2.5,则a+b=-3<-2.5=c,D错.

故选：C.

5.（5分）（2025•江西新余•模拟预测）在△48。中，角4,B,C的对边分别为。，儿c,若a=b,且笑=

sin2e

2（1+V3sinC）.WJ^=（）

A.2V3B.3V2C.>/3-1D.

【答案】D

【解题思路】由题干条件和正弦定理得c2=2b2（i+gsinC）,再由a=匕及余弦定理可得c2=2/（1一

cosC）,联立化简得tanC=-*结合角。的范围求得。=生飞入c?=2火1一cosC）求解即可.

【解答过程】由*=2（1+V5sinC）及正弦定理可得9=2（1+V5sinC），c2=2b2（l+V3sinC）,

由a=b及余弦定理可得c?=a2+b2-2abcosC=2b2（l—cost?）,

所以2b2（1+VJsinC）=2炉（1一cosC）,所以V5sinC=-cosC,故tanC=-苧，

又0<C<TC,故C=所以c?=2b2（1—cost1）=b2（2+x/3）,所以扁=2+V5,

所以：二在坡.

b2

故选：D.

6.（5分）（2025・广东•模拟预测）已知双曲线。:5一卷=1（。>0涉>0）的左，右焦点分别为尸1，尸24是双

曲线C上一点，B为线段4号的中点.若IF/2I=|力尸2|=2|8尸21则C的离心率为（）

A.V3+1B.2C.雪D.V2

【答案】C

【解题思路】根据题意设IF/2I==2|FF2|=2c,由几何关系得=2百c,再根据双曲线定义知

\AFi\=2c+2a,联立即可求出离心率e=2.

【解答过程】由题意设IF/ZI=\AF2\=2I8F2I=2c,

因为B为线段4&的中点，所以力用1BF2,

又|BF2|=C,所以|8R|=KC,则|AF1|=2百c,

根据双曲线定义知|月吊|=\AF2\+2a=2c+2a,所以2百c=2c+2a,

解得£=与1,故双曲线的离心率为竽.

a22

故选:C.

7.15分）（2025•辽宁鞍山•模拟预测）已知正项数列｛即｝为等比数列，且5a2是。4与3a3的等差中项，若。2=2,

则该数列的前5项和为（）

A.10B.15C.30D.31

【答案】D

【解题思路】由5a2是以与3a3的等差中项可得2x5a2=a44-3a3,再利用等比数列的通项公式代入求出％和

q,最后利用等比数列的前n项和公式求解即可.

【解答过程】因为数列｛册｝为正项等比数列，设公比为q(q>0)，

乂5a2是％与3a3的等差中项，所以2x5。2=Q4+3Q?=cbq?+3劭9，&IJ2Q2+6g=20,

解得q=2或q=-5(舍去)，

所以由。2=%q解得%=1,

所以该数列的前5项和S5=隼f=岑尹=31,

故选:D.

8.(5分)(2025•河北石家庄•三模)已知/'(%)是定义在R上的奇函数，当与、孙6(0,+8)且必工犯时，

都有>0成立,7(2025)=2025,则不等式/(%)-工>0的解集为()

A.(-8,-2025)U(2025,+8)B.(-2025,0)U(2025,+oo)

C.(-2025,2025)D.(一短，短)

【答案】B

【解题思路】对皿华华2>0进行变形，得出函数g(x)=改的单调性，再利用函数的单调性和奇偶性解

不等式.

/(<!)f(x2)

【解答过程】由>0可得小4>o,设函数g(%)=®,xe(0,+00),

xlx2\xl~x2)xl^x2X

则g(x)在(0,+8)上单调递增，

乂因为/(%)为定义在R上的奇函数，g(-x)=止2=g(x)，所以g(x)为偶函数，g(x)在(一口,0)上单调递减,

-X

而不等式向.x>o=em*,

又因为f(2025)=2025,所以为2025)=g(-2025)=1,

所以不等式的解集为(一2025,0)U(2025,+8).

故选:B.

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的

要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9.(6分)(2025•广东佛山•三模)生活经验告诉我们，儿子的身高与父亲的身高不仅线性相关，而且还是

正相关.有人调查了10名男大学生的身高y(单位：cm)及其父亲身高无(单位：cm)的数据

(肛％)(i=l,2,3,10),已知其中一组数据为(182,185),且£巴4=1750,求得经验回归方程为夕=0.65%+

63,并绘制了如下残差图(残差=观测值-预测值)，则

八残差/cm

4

2

0・17。，

165'•,175180185190.父亲身耨/cm

-2

-4

A.这10名男大学生的身高的平均值为176.75

B.由残差图可判定儿子身高与父亲身高的关系不符合上述回归模型

C.数据(182,185)对应的残差为3.7

D.去掉数据(182,185)后，重新求得的回归直线的决定系数R2变小

【答案】AC

【解题思路】由线性I可归分析的相关知识逐一判断各个选项即可求解.

【解答过程】(£9)满足经验回归方程，代入土二175,计算可得歹=176.75,故A正确；

从残差图中可以看到残差比较均匀地分布在以均值为0,横轴为对称轴的水平带状区域内，满足上述回归模

型，故B错误；

代人工=182,得夕=191.3.因此残差为185-19L3=37故C正确：

由残差图可知(182,185)是•个极端数据，去掉后重新求得的回归直线拟合程度会变好，决定系数”变大，

D错误.

故选：AC.

10.(6分)(2025.江西新余•模拟预测)已知函数/(%)=%(e"-1)一Qln%(QWR),则()

A.若Q=l,则/(幻之1B./(幻可以有2个极值点

C.若QW0,则/'(X)是增函数D.若/(无)=(Q-1)%有两个零点％1，无2，贝Ija>e

【答案】ACD

【解题思路】A由f(x)=xeX-ln(xe*),设£=>0=t>0,设g(t)=t-Int并应用导数研究不等式

判断；B对函数求导，构造力(%)=^(/+X)一%-a,应用导数研究其零点判断：C由函数单调递增，有

h(x)=x2ex+%(ex-1)-a>0恒成立，结合其单调性判断；D令£=无铲且x>0,问题化为牛=；有两个

解、，垃，利用导数求左侧的单调性和值域求参数范围判断.

xxx

［解答过程］由于Q=1,则f(%)=xe—(x+Inx)=xe—ln(xe),

设t=xex,x>0=>t>0,设gQ)=t—Int,则g'(£)=1-p

所以tw(0,1)时，g'Q)vO,此时g(t)单调递减；t£(1,+s)时，g，Q)>0,此时g(t)单调递增，

所以g(t)min=g(l)=1，即g(£)Nl,故A正确；

xx2

由于/(%)=e(x+1)-1—^=e"+；)-x-a,设九(%)=e(x4-x)—x—a,

则/i'(x)=ex(x2+3x4-1)-1=ex(x24-3x)+(ex-l),x>0,

所以"(外>0,h(x)在(0,+8)上单调递增，即九(幻=0不可能有2个解，

所以/(%)不可能有2个极值点，故B错误；

若/(%)是增函数，则/'(%)>0,即九(%)=x2ex+%(ex-1)-a>0恒成立，

由上知九(均是增函数，又%>0,只需aWO,故C正确；

f(x)=(a-1)%有两个零点,即%>-aln(xex)=0有两个不同的解.，不，

令£=戏”且X>0,则£'=(%+l)e*>0,故£=在(0,+8)上为增函数且t>0,

故原方程有两个解转化为"alnt=O有两个解5%易知Q，0,即竽=：有两个解5乙

设力(£)=则,则九'«)=粤，当t€(O,e)时九'(t)>0,t€(巳+8)时九'«)<0,

VV

所以九⑴在t6(0,e)上单调递增，在£6(e,+8)上单调递减，则九⑷<h(e)=\

由TC-»03,九⑷—8,L—»/i(i)-»0»所以即a>e,故D正确.

故选：ACD.

11.(6分)(2025•河北邯郸•一模)如图“四角花瓣”图形可以看作由抛物线C:/=2py(p>0)绕坐标原点

分别旋转》mg后所得三条曲线与C共同围成的区域(阴影区域)，48分别为C与另外两条曲线在第一

象限、第二象限的交点，若|川?|=8,阴影部分的面积为S,则()

A.p=1

B.a/lOB的面积为16

C.S的值比32小

D.直线y=x+匕截第二象限“花瓣”的弦长可能为L4

【答案】BCD

【解题思路】根据对称性，可求得各曲线的方程，进而求出交点上B,从而判断选项A和B；对于阴影部分

的面积，利用适当放大，可对选项C进行判断；最后通过求出弦长与力的函数关系进而求出弦长的取值范围,

可判断D.

【解答过程】设抛物线C绕原点顺时针旋转%n,当后得到的三条曲线分别为G，Q，c3.

抛物线c的焦点为(o,3故G的焦点为&o),。2的焦点为(0，-3,。3的焦点为(栏,0).

22

故Ci：/=2px,C2'x=-2py,C3:y=-2px,p>0.

对干A：/1为曲线C与G交点，联立方程解得C：或.即4(2,2p).

8为曲线。与C3交点，联立方程=2?',解得［:二看，即8(—2p,2p).

=-2px(y—，p

又因为|4B|=8=|2p-(-2p)|=4p,故p=2.故A错误.

对于B：由上述过程可得，71(4,4).5(-4,4),△4BO的面积为8x4xg=16.故B正确.

对于C：由于对称性，阴影部分在四个象限的图形全等，故只讨论第一象限部分.

第一象限部分依然根据对称性，可分为两份.以卜.只讨论曲线C与直线y=x围成的部分.

因此过A点的切线方程为y=2%-4.该切线与％轴交于M,故M(2,0).

S'<S^OM=1X2X4=4.故S<8sM08=32.故C正确•

对于D：第二象限的“花瓣”图形由曲线C和曲线C3围成，两者关于丫=-%对称.

直线y=x+b与曲线C相交，联立方程化简得/一4%-46=0,且交点在第二象限,

所以x<0,故％=2-2"”，所以交点坐标(2-2万市,2-2«^+8).

由于“花瓣”图形仅限阴影部分区域，故一4W2—2jIT万W0,即

由于C3与C关于直线y=-x对称，直线y=x+b亦关于直线y=一》对称，

所以直线y=x+b与C3的交点坐标为(2«TF-2-h,2VTTb-2).

故弦长，=V2|4+b-4万茂|

设、+匕=771,则1<Tn<3,故]=y[2\m2—4m+3|=V2|(m—2)2—1|.

因此当7九二1或3时，即6=0或8E寸，直线y=%+b与两曲线交于一点，弦长为0；

当n=2时，即b=3时，弦长最长，此时，=或>1.4.故弦长的取值可能为1.4.故D正确.

故选：BCD.

第n卷(非选择题)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.(5分)(2025•广西•模拟预测)已知向量落3满足同=1.\b\=2,且|2五-b\=2,则忖+b\=.

【答案】V7

【解题思路】由|2G-瓦=2两边平方，结合数量积的性质及条件可求鼠人再由|&+r=J(d+I)2结合数

累积性质求结论.

【解答过程】因为|2五一臼=2,所以(2五一私2=4益2-41不+中=4,

又同二1,\b\=2,所以2i=1,

所以|五+臼=J(d+B)2=>/a2^2ab+b2=V7.

故答案为：V7.

13.(5分)(2025•河北秦皇岛•模拟预测)设a工0,若曲线/(x)=Qln(x-1)在点(2J(2))处的切线也是

曲线g(x)=。。*一2的切线，则a=.

【答案】|

【解题思路】首先根据题意求出切线方程，然后对g(x)求导，根据斜率值和切点的函数值求出a的值.

【解答过程】因为尸(幻=—三，所以尸(2)=(2)=alnl=0.

所以曲线/(x)在点(2,f(2))的切线方程为：y=a(x-2).

因为"(%)=碇。"2,设曲线g(x)与该切线的切点为(X。,al。-2)).

所以g'(%o)=ae。，。-?=Q,所以。々-2二0,即=2.

ax2

又g(%o)=e°~=a(x0—2)=2—2a=e°,

所以Q=：.

故答案为:i

14.(5分)(2025•安徽合肥•模拟预测)如图，这是某零件的结构模型，中间大球为正四面体的内切球,

小球与大球、正四面体的三个面均相切.若人8=12,则该模型中一个小球的体积为.

【答案】V6n

【解题思路】根据题干信息画出示意图，根据正四面体的特征分别计算出大小球半径即可求出小球的体积.

【解答过程】如图所示，设。为大球的球心，大球的半径为R,大正四面体的底面中心为E,棱长为=12,

高为九，CD的中点为产,

连接04,0B,0C,0D,0E,BF,

则EE=2=百*12=473,h=AE=""BE^=x12=4瓜

333

<%四面体=

***^hABC-h=4X[SAABC,R,

.*./?=-h=V6，

4

设小球的半径为r，小球也可看作一个小的正四面体的内切球,

且小正四面体的高h小=h-2R=2后,

・」=*小=；乂2遍=手,

,小球的体积为：^Kr3="X(y)3=>/6TT,

故答案为：V6n.

四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。

15.(13分)(2025•四川绵阳•模拟预测)已知函数f(%)=V5sin2%+2cos2%-1.

(1)求函数/(无)的单调递增区间及在［0『］上的值域；

(2)若6为锐角且/⑹=一会求cos2。的值.

【答案】(1)单调递增区间为［-；+kw，+/nr］(/cWZ),值域为［-1,2］

⑵-嚓

【解题思路】(1)利用二倍角公式、辅助角公式化简函数，再利用正弦函数的性质求解.

(2)由(I)的信息，利用同角公式及差角余弦公式求解.

【解答过程】(1)依题意，函数/'(%)=V5sin2x+cos2x=2sin(2x+》

由-2+2kn<2x+-<-+2kn,kGZ,解得—巳+/cn<%<-+ku,kEZ,

26236

所以函数f(x)的单调递增区间为［-；++kn］(k6Z)：

36

得牌2x+三/,/'(x)min=2sin^=-lj(x)=2s吗=2,

rhow%三晟max

所以当为6［0,的值域为［-1,2］.

(2)由(1)知，/(x)=2sin(2x4--),由/'(。)=一3得sin(29+》=一！<。，

656S

由。€(04)，得所以2。+：€(■,])，cos(28+》=一一(一：)2=一咨

/oooooo□5

所以cos28=cos[(20+7)-7]=cos(26+“cos7+sin(264-》sin7

666666

2\/6g,/1、16匹+1

=----x—4-(--)x-=-------.

52v57210

16.(15分)(2025・四川广安•模拟预测)已知椭圆C《+\=l(a>匕>0)上任意一点P到C的两个焦点

&(-2短0),F2(2V2,0)的距离之和为

(1)求C的方程；

(2)已知直线上y=+TH与C相交于A,3两点，若历8|=5,求m的值.

【答案】(1)^+3=1

(2)±V2

【解题思路】(1)根据题意得到美于a,b,c的方程组，解出即可；

(2)先联立直线方程和椭圆方程，得出根与系数的关系，再结合弦长公式代入计算求解参数.

【解答过程】⑴由题意可得2a=46，解得｛%；孑，

d=b2+c2

故C的方程为"+[=1.

124

(至+廿=1

⑵联立《12J,得+2血无+3m2-12=0.

(y=/+m

△=4m2-4x^(3m2-12)>0,解得m?<蓝.

+工2=-警

设4(%1，%)，8(小，丫2)，则｛9m2.36，

"=-7"

历印=+%2)2-4/小

V1O、，37n、2-Z/10、，CT27m2

=—x/(--)-(97*-36、)=—xJ36----=5,

解得m=±y[2,即?n的值为士企.

17.(15分)(2025・四川绵阳•模拟预测)如图，平面S4C1平面4c8,△S4C是边长为48的等边三角形,

△4C8为直角三角形，乙4c8=90。，BC=4,

S

\CB

A

(1)当M为AB的中点时，求三棱锥M-80S的体积;

(2)求二面角A-SB-。的正弦值.

【答案】⑴86；

⑵等

【解题思路】(1)连接SM，MC,作AC的中点M连接SM根据面面垂直的性质定理得SN是三棱锥S-4BC

的高，再应用棱锥的体积公式求三棱锥M-.的体积；

(2)连接MM根据己知构建合适的空间直角坐标系，标注出相关点坐标，求相关平面的法向量，再应用向

最法求夹角余弦值，进而得到其正弦值.

【解答过程】(1)如图，连接SM,MC,作AC的中点M连接SM

△S力C是边长为的等边三角形，N是AC的中点，所以SN=6,SN1AC,

平面Si4c1平面ACB,平面S/Cn平面4cB=AC,SNu平面SAC,

根据面面垂直的性质定理知SN1平面ABC,所以SN是三棱锥S-ABC的高，

由题意知：VM-BCS=2^S-ABC=2X3X2X^X4\/^x6=8A/3,

故三棱锥M-8cs的体枳为8dl

(2)连接MM在△力C8中，ACIBC,MN//BC,所以MN14C,

结合(1)易知SN,MN,4c两两垂直，建立空间直角坐标系N-xyz,如图,

/.71(273,0,0),8(-2百,4,0),5(0,0,6),C(-2遮,0,0),

：.SB=(-273,4,-6),SC=(-273,0,-6),SA=(2>/3,0,-6),

设元=Qi，yi，Zi),诟=(%2，丫2,22)分别是面AS8、面CSB的法向量，

贝伊.日=2"+4%-6为=0,令…则汨=(“),

色丽:-262+4%-622=0,令Z2=L则荻=(-40,1),

nJ-SC=-2V3X2-6Z2=0

所以七•覆二-2,|n7|=V13,底|=2,

・•・山与而所成的角的余弦信为cos。=力叁=-唱，正弦值为sin。=警，

故二面角/!-SB-C的正弦值为等.

18.(17分)(2025•四川巴中•模拟预测)已知函数f(%)=Qx+ln%+l.

(1)当aV0时,求函数八%)的单调区间;

⑵讨论函数f(x)的零点的个数；

(3)对于任意的x>0J(x)<xe2x恒成立，求a的取值范围.

【答案】(1)单调递增区间是(0,-3,单调递减区间是(一:,+8)

(2)答案见解析

⑶S,2)

【解题思路】(1)先求定义域，求导，令/''a)：>0,/'(x)<(),求可得单调区间；

(2)参变分离，研究g(x)=-%，工>0的单调性，分类讨论进而可求解；

(3)参变分离，构造函数，求其单调性，最终求出极值，最值，求得实数。的取值范围.

【解答过程】(1)函数/'(》)的定义域为(o,+8),ra)=Q+：a>o),

由题意，a<0,

令/'(%)=Q+：>0，解得0VX<-5；令r(x)=Q+：V0,解得

所以，/(%)的单调递增区间是(0,-：)，单调递减区间是(一1+8).

(2)/(幻定义域为(0,+8),由/'(x)=ax+Inx+1分离参数，得a=-"二

令如)=_修

函数/(%)的零点的个数即为g(x)与直线y=a的交点个数即为原函数零点个数.

求导得，g'G)=罢，令g'a)=o,解得X=1.

当(VxVl时,g'M<0»所以g(外在(0,1)上单调递减;

当x>l时，g\x)>0,所以g(x)在(1,+8)上单调递增.

所以，gO)min=g(l)=-1-

又因为g(J=O,所以，当0VXV)寸,g(x)>0；当时，g(x)<0,

又xT+8时，g(x)T0.

当aV-l时，g(x)与直线y=a无交点，即函数f(x)无零点；

当a=-l或。二0时，g(x)与直线y=a有一个交点，则函数f(x)有一个零点;

当-1VQV0时，g(x)与直线y=Q有两个交点，则函数八幻有两个零点.

综上所述：当av-l时，函数fG)无零点；

当。=-1或aZO时，函数/(%)有一个零点：

当-1VQ<0时，函数/(%)有两个零点.

(3)设s(x)=Inx+2x,则s(x)在(0,+8)上为增函数，

而lvO,s(l)=1>0,故s(x)在(0,+8)有唯一解出.

而由题设可得任意的x>0,«<士也二恒成立.

X

令中(%)=ex-x—1>则，(x)=ex-1»

当％V0时,(p'(x)<0,函数3(刈=e"—x-1在(-8,0)上单调递减，

当%>0时，(p'(x)>0,函数。(%)=e*-)—1在(0,+8)上单调递增,

所以0(%)工姓0),所以eX-x-lNO,所以e'Nx+l,当且仅当％=0时取到等号，

所以当%>。时，有％e2”=elnxe2x=elnx+2x>(Inx+2x)+1,

当且仅当lnx+2x=0,也就是当x=/时取等号.

所以岩詈二之些及1二1=§=2,当且仅当％=%时取等号.

所以QV2,故Q的取值范围是(一%2).

19.(17分)(24-25高三上•浙江杭州•期末)阿尔法狗(AlphaGo)是谷歌公司开发的人工智能程序，它第一

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