总体离散程度的估计【课件】 2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

9.2.4总体离散程度的估计目标素养1.理解离散程度参数的统计含义,提升数学抽象素养.2.结合实例,能用样本估计总体的离散程度参数(标准差、方差、极差),提升数据分析和数学运算素养.3.结合具体实例,掌握分层随机抽样的样本均值和样本方差,提升数学运算素养.知识概览课前·基础认知1.极差(1)定义:一组数据中最大值与最小值的

差

.

(2)特征:极差是一种简单的度量数据

离散程度

的方法,极差在一定程度上刻画了数据的离散程度.但因为极差只使用了数据中最大、最小两个值的信息,对其他数据的取值情况没有涉及,所以极差所含的

信息量

很少.

(4)总体方差、总体标准差如果总体中所有个体的变量值分别为Y1,Y2,…,YN,总体平均数为,则

称总体方差为S2=.

如果总体的N个变量值中,不同的值共有k(k≤N)个,不妨记为Y1,Y2,…,Yk,其中Yi出现的频数为fi(i=1,2,…,k),则总体方差为S2=.

总体标准差S=.微思考1(1)对一组数据进行统计分析,应该从哪几个方面进行?提示：用平均数反映数据的平均水平,用众数反映数据的最大集中点,用中位数反映数据的集中趋势和一般水平,用标准差或方差反映数据的离散程度.(2)如何对比两组数据?提示：从众数、中位数、平均数和方差等几个方面进行对比.微拓展

关于方差的重要结论(1)数据x1,x2,…,xn与数据x1+a,x2+a,…,xn+a的方差相等.(2)若x1,x2,…,xn的方差为s2,则ax1,ax2,…,axn的方差为a2s2.3.标准差的意义标准差刻画了数据的

离散程度

或

波动幅度

,标准差越大,数据的离散程度越

大

;标准差越小,数据的离散程度越

小

.

4.分层随机抽样的方差课堂·重难突破一

方差和标准差的计算典例剖析1.甲、乙两机床同时加工直径为100cm的零件,为检验质量,各从中抽取6件进行测量,数据(单位:cm)如下:甲:99,100,98,100,100,103;乙:99,100,102,99,100,100.(1)分别计算两组数据的平均数及方差;(2)根据(1)中计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定.规律总结

标准差、方差的意义(1)标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小.标准差、方差越大,数据的离散程度越大;标准差、方差越小,数据的离散程度越小,标准差的大小不会超过极差.(2)标准差、方差的取值范围:[0,+∞).当标准差、方差为0时,样本各数据全相等.学以致用

答案:B二

分层随机抽样的方差典例剖析2.甲、乙两支田径队体检结果为:甲队队员的体重的平均数为60kg,方差为200,乙队队员的体重的平均数为70kg,方差为300,又已知甲、乙两队的队员人数之比为1∶4,试求甲、乙两队全部队员的平均体重和方差.规律总结计算分层随机抽样的方差s2的步骤

学以致用2.在一个文艺比赛中,8名专业人士和12名观众代表各组成一个评判小组,给参赛选手打分.在给某选手的打分中,专业人士打分的平均数和标准差分别为47.4和3.7,观众代表打分的平均数和标准差分别为56.2和11.8,试根据这些数据计算这名选手得分的平均数和标准差(精确到0.01).三

数字特征的综合应用典例剖析3.在一次科技知识竞赛中,某学校的两组学生的成绩如下表:

请根据你所学过的统计知识,判断这两个组在这次竞赛中的成绩谁优谁劣,并说明理由.解:(1)甲组成绩的众数为90,乙组成绩的众数为70,从成绩的众数比较看,甲组成绩好些.(3)甲、乙两组成绩的中位数、平均数都是80分.其中,甲组成绩在80分以上(包括80分)的有33人,乙组成绩在80分以上(包括80分)的有26人.从这一角度看,甲组的成绩较好.(4)从成绩统计表看,甲组成绩大于或等于90分的有20人,乙组成绩大于或等于90分的有24人,所以乙组成绩集中在高分段的人数多.同时,乙组得满分的人数比甲组得满分的人数多6人.从这一角度看,乙组的成绩较好.规律总结

数据分析的要点(1)要正确处理此类问题,首先要抓住问题中的关键词语,全方位地进行必要的计算、分析,而不能习惯性地仅从样本方差的大小去决定哪一组的成绩好,应从实际角度进行分析,如本例的“满分人数”;其次要在恰当评估后,组织清晰、简洁的语言给出结论.(2)在进行数据分析时,不同的标准没有对和错的问题,也不存在唯一解的问题,而是根据提出的标准选择最优决策.学以致用3.某校拟派一名跳高运动员参加一项校际比赛,对甲、乙两名跳高运动员进行了8次选拔比赛,他们的成绩(单位:m)如下:甲:1.70,1.65,1.68,1.69,1.72,1.73,1.68,1.67;乙:1.60,1.73,1.72,1.61,1.62,1.71,1.70,1.75.经预测,跳高成绩达到1.65m就很可能获得冠军.该校为了获取冠军,可能选哪位运动员参赛?若预测跳高成绩达到1.70m方可获得冠军,则选哪位运动员参赛?解:甲的平均成绩和方差如下:显然,甲的平均成绩高于乙的平均成绩,而且甲的方差小于乙的方差,说明甲的成绩比乙稳定.由于甲的平均成绩高于乙,且成绩稳定,所以若跳高成绩达到1.65

m就很可能获得冠军,应派甲参赛.在这8次选拔赛中乙有5次成绩在1.70

m以上,虽然乙的平均成绩不如甲,成绩的稳定性也不如甲,但成绩突破1.70

m的可能性大于甲,所以若跳高成绩达到1.70

m方可获得冠军,应派乙参赛.随堂训练1.若样本数据x1,x2,…,x10的标准差为8,则数据2x1-1,2x2-1,…,2x10-1的标准差为(

)A.8 B.15C.16 D.32答案:C解析:已知样本数据x1,x2,…,x10的标准差为s=8,则s2=64,数据2x1-1,2x2-1,…,2x10-1的方差为22s2=22×64,所以其标准差为2.在某次模拟考试中,甲、乙两个班级的数学成绩统计如下表:班级人数平均分数方差甲40705乙60808则两个班所有学生的数学成绩的方差为(

)A.6.5 B.13

C.30.8 D.31.8答案:C3.某学员在一次射击测试中射靶10次,命中环数如下:7,8,7,9,5,4,9,10,7,4,则:(1)平均命中环数为

;

(2)命中环数的标准差为

.

答案:(1)7

(2)24.某校医务室随机抽查了高一10名学生的体重(单位:kg