2026年抽象代数测试题及答案

2026年抽象代数测试题及答案

一、单项选择题，(总共10题，每题2分)1.设G为有限群，|G|=p²，p为素数，则G的真子群个数为A.0B.1C.p+1D.p²+p+12.在环Z/6Z中，元素4的加法阶为A.2B.3C.6D.13.若R为整环，则下列必为整环的是A.R[x]B.R/I，I为任意理想C.M₂(R)D.R×R4.设F₄为4元有限域，其乘法群F₄的阶为A.2B.3C.4D.55.若群G满足∀a,b∈G，(ab)³=a³b³，则G必为A.交换群B.幂零群C.可解群D.单群6.设H,K≤G，且|H|=12，|K|=18，|G|=72，则|H∩K|可能为A.3B.4C.6D.97.在Z[i]中，元素3+4i的范数N(3+4i)为A.5B.7C.25D.18.设R为主理想整环，则下列R-模必为自由模的是A.任意投射模B.任意有限生成模C.任意扭模D.任意单模9.若域扩张E/F次数为6，且F特征为0，则E/F的中间域个数最多为A.3B.4C.6D.710.设S₅中元素σ=(123)(45)，则σ的共轭类大小为A.10B.15C.20D.30二、填空题，(总共10题，每题2分)11.若群G的导列长度为3，则G的________群为可解群。12.在环Z/15Z中，方程x²=1的解共有________个。13.设F₇为7元域，则多项式x³-2在F₇中________根。14.若M为Z-模，且Ann(M)=(12)，则M的初等因子个数为________。15.设G=⟨a⟩为12阶循环群，则G的自同构群Aut(G)的阶为________。16.若R为局部环，其极大理想为m，则R/m必为________。17.设E=ℚ(√2,√3)，则E/ℚ的伽罗瓦群同构于________。18.若H,K≤G且H◁G，则HK/H≅________。19.在Z[x]中，理想(2,x)的生成元个数为________。20.设V为F₂上3维向量空间，则GL₃(F₂)的阶为________。三、判断题，(总共10题，每题2分)21.任意有限整环必为域。22.若群G的所有真子群皆为循环群，则G必为循环群。23.设R为欧几里得整环，则R[x]亦然。24.若M为诺特模，则其任意子模亦诺特。25.域扩张ℂ/ℝ的伽罗瓦群为二阶循环群。26.若群G的中心Z(G)平凡，则G必非交换。27.任意自由模皆投射模。28.若R为布尔环，则R的特征必为2。29.设p为素数，则Z/pZ上不可约多项式次数必为1。30.若G为p-群，则G的任意子群亦为p-群。四、简答题，(总共4题，每题5分)31.证明：若群G的阶为pq，其中p<q为素数且p∤q-1，则G必为循环群。32.设R为主理想整环，证明：任意有限生成无扭R-模必为自由模。33.给出域扩张ℚ(∛2)/ℚ的伽罗瓦群并说明理由。34.设I,J为环R的理想，证明：若I+J=R，则I∩J=IJ。五、讨论题，(总共4题，每题5分)35.讨论：若群G的所有交换子皆为有限阶元，G是否必为扭群？给出例子或反例。36.讨论：是否存在非交换的有限环R，使得其加法群与乘法半群皆交换？说明构造思路。37.讨论：设F为有限域，证明F[x]中存在任意高次不可约多项式，并给出构造方法。38.讨论：若模M满足任意短正合列0→K→M→N→0皆分裂，则M是否必为半单模？证明或反驳。答案与解析一、单项选择题1.C2.B3.A4.B5.A6.C7.C8.A9.D10.C二、填空题11.导出12.413.014.315.416.域17.Klein四元群18.K/(H∩K)19.220.168三、判断题21.√22.×23.×24.√25.√26.√27.√28.√29.×30.√四、简答题31.由Sylow定理，q-Sylow子群唯一且正规，p-Sylow子群亦唯一，二者皆正规且交为1，故G≅Z_p×Z_q≅Z_{pq}，循环。32.无扭模可嵌入自由模，有限生成子模仍无扭，主理想整环上有限生成无扭模同构于自由模。33.伽罗瓦群为平凡群，因∛2的极小多项式x³-2在ℚ上仅一实根，分裂域非正规，扩张非伽罗瓦。34.取r∈I∩J，由I+J=R得1=i+j，则r=ri+rj∈IJ，故I∩J⊆IJ，反向显然，得证。五、讨论题35.否。取无限二面体群D∞，交换子为2阶元，但含无限阶元，故非扭群。36.存在。取p=2，构造上三角矩阵环R={(ab;0a)|a,b∈F₂}，加法交换，乘法非交换，但乘法半群交换