2026年中考考前模拟-数学（重庆卷）（全解全析）

2/322025年中考第一次模拟考试（重庆卷）（总分150分，答题时长120分钟）注意事项：1．在开始答题之前，请考生确保已将个人姓名及准考证号准确填写在答题卡相应位置。2．请注意，所有答案必须填写在答题卡中，写在试卷或草稿纸上的内容将不予计分。3．在考试圆满结束之后，请将答题卡上交。参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为．一、单项选择题：（本部分共10道小题，每题4分，总分40分）每道题在下方均设有A、B、C、D四个选项，其中仅有一个选项为正确答案。请在答题卡对应题号右侧的方框内将正确选项涂黑。1．在下列四个数中：，，，中，属于无理数的是（）A．B．C．D．【正确选项】D【分析】本题考查了无理数的定义，根据无理数的三种形式：开方开不尽的数，无限不循环小数，含有的有些数，结合所给数据进行判断即可，解题的关键是掌握无理数的几种形式．【详解】、是有理数，不符合题意；、是有理数，不符合题意；、是有理数，不符合题意；、是无理数，符合题意；故选：．2．年巴黎奥运会项目图标设计，不仅注重刻画运动员运动状态，更注重项目本身的展示．下列项目图标既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形．把一个图形绕某一个点旋转后，可以与原图形重合，这个图形就是中心对称图形；把一个图形沿某直线折叠，直线两旁的部分可以完全重合，这个图形就是轴对称图形．解决本题的关键是根据中心对称图形和轴对称图形的定义进行判断．【解析】解答：A项：该图形具有中心对称特性，但并不具备轴对称性质，因此A选项不满足题目要求；B项：该图形同时具备中心对称与轴对称的特性，因此B选项正确；C项：该图形既不具备中心对称特性，也不具备轴对称特性，因此C选项不满足条件；D项：该图形具备轴对称性，但并不满足中心对称的条件，因此D选项不正确。因此，正确选项为：B。3．若，则下列各式中一定成立的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】此题旨在考察不等式的基础性质。通过运用不等式的相关性质，对各选项进行逐一分析判定即可。【详解】由，根据不等式的基本性质1，两边都减去2，得，所以A不正确；由，根据不等式的基本性质3，两边都乘以，得，再根据不等式的基本性质1，两边都加上1，得，所以B正确；由，根据不等式的基本性质2，两边都乘以，得，所以C不正确；由，根据不等式的基本性质1，两边都加上5，得，所以D不正确．因此，正确选项为：B。4．若正比例函数与反比例函数的图象交于两点，则反比例函数的解析式为（）A．B．C．D．【正确选项】C【解析】本题旨在考察反比例函数的图像特征及其相关性质。解题的核心在于利用反比例函数图像关于原点对称的特性，从而推导出交点的具体坐标。根据题意得出，，再把代入即可得到答案．【详解】解：正比例函数与反比例函数的图象交于两点，两点关于原点对称，，，把代入得，，反比例函数的解析式为，故选：C．5．对于命题若，则，下面四组关于的值中，能说明这个命题是假命题的是（）A．，B．，C．，D．，【答案】B【解析】本题的核心在于考查如何判定命题的真伪。若要证明一个命题为假，只需提供一个反例，即寻找一个满足前提条件但得不到结论的特例。掌握反例法的运用是本题的突破口。通过对各选项进行逐一验证即可得出结论。【详解】解：A、，，且，满足若，则，故A选项不符合题意；B、，，且，此时虽然满足，但不成立，故B选项符合题意；C、，，且，满足若，则，故C选项不符合题意；D、，，此时不满足，故D选项不符合题意．因此，正确选项为：B。6．若的整数部分为，小数部分为，则代数式的值为（）A．2B．C．4D．【答案】A【解析】本道题目旨在测试对无理数估算方法的掌握程度。解题的核心在于能够灵活且熟练地运用无理数的估算技巧。先估算的大小，再根据不等式的基本性质判断的大小，从而求出，最后代入所求式子，利用平方差公式进行计算即可．【详解】解：，，，即，的整数部分为，小数部分为，，故选：A．7．如图，边长为2的正方形面积记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积记为，按照此规律继续下去，则的值为（）A．B．C．D．【答案】B【分析】本题考查了勾股定理、规律型以及等腰直角三角形等知识，熟练掌握勾股定理和等腰直角三角形的定义，找出规律是解题的关键．先根据题意求得前几个正方形的面积，再求出第．个正方形的边长为则即可解决问题．【详细解析】解答：根据题目给出的条件可以得出，首个正方形的边长数值为2，是等腰直角三角形，第二个正方形的边长为，同理：第三个正方形的边长为，第四个正方形的边长为，第个正方形的边长为因此，正确选项为：B。8．如图，在平行四边形中，，，以点为圆心、为半径画弧交于点，连接，若，则图中阴影部分的面积是（）A．B．C．D．【正确选项】B【分析】本题考查平行四边形性质、扇形面积公式、三角形面积公式、以及解直角三角形，过点作于点，根据解直角三角形求得，从而求得，最后根据列式求解，即可解题．【详解】解：过点作于点，，，，，，，，，，，故选：B．9．如图，在菱形中，对角线、交于点，，垂足为点，分别交、及的延长线于点、、，且，则的值为（）A．B．C．D．【答案】B【分析】本题主要考查了菱形的性质，相似三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判断，先由菱形的性质得到，，，再证明，进而证明四边形是平行四边形，得到，由，推出，得到，由，推出，即可解答．【详解】解：四边形是菱形，，，，，，四边形是平行四边形，，，，，，，，，，，因此，正确选项为：B。10．定义：已知是关于x的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为限根方程．如：一元二次方程的两根为，且，所以一元二次方程为限根方程．关于x的一元二次方程，有下列两个结论：当时，该方程是限根方程；若该方程是限根方程，则m有且只有一个整数解．对于这两个结论判断正确的是（）A．两者均正确

B．两者均错误

C．前者正确，后者错误

D．前者错误，后者正确【答案】C【解析】该题的核心在于考察对新定义限根方程的理解。解题的关键在于能够灵活运用新定义，熟练求解一元二次方程，并结合根的判别式进行分类讨论。当时，该方程是；得到方程的根为，，得到，该方程是限根方程，正确；解该一元二次方程，得出，，或，．再根据此方程为限根方程，即此方程有两个不相等的实数根，结合一元二次方程根的判别式即可得出，当，时，根据，得到，整数m不存在；当，时，得到，整数m不存在．错误．【详解】解：当时，原方程为：，解得，，，，此方程属于限根方程；正确；，，或，，，或，．该方程属于限根方程，该方程具有两个互不相同的实数根，，．当，时，，，解得：，已知$m$为一个整数，m的值不存在；当，时，，解得：，m的值不存在。由此可见，不存在满足条件的m值。错误．对，错．因此，正确选项为：C。二、填空题：（共6小题，每题4分，合计24分）请将每道题的最终结果直接填写在答题卡相应位置的横线上。11．计算：___________．【答案】【解析】本题旨在考察对零指数幂与负整数指数幂相关知识的掌握情况。解题步骤为：首先运用零指数幂及负整数指数幂的运算规则进行化简，随后依照有理数加法运算定律得出最终结果。【详解】解：，故答案为：．12．如图，随机闭合开关中的两个，则能让小灯泡同时发光的概率为___________．【答案】【分析】本题考查了列表法与树状图法，找出随机闭合开关中的两个的情况数以及能让两盏灯泡同时发光的情况数，即可求出所求概率，弄清题中的电路图是解本题的关键．【详细解析】解答：通过绘制如下所示的树状图进行分析：由图知，随机闭合开关中的两个有六种情况，能让两盏灯泡同时发光的有两种情况：闭合，闭合，则P（能让两盏灯泡同时发光）．故答案为：．13．如图，在中，，于点，为上一点，连结并延长，交边于点，且，过点作交的延长线于点．若，，则的长为___________．【答案】【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，等面积法，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先求出，运用等面积法求出，结合勾股定理得，，然后在中，，则在中，，即可作答．【详解】解：，，，，于点，，，在中，，则，解得，依题意，设，，在中，，解得，，在中，，，则在中，，，故答案为：．14．若关于x的一元一次不等式组有且仅有个偶数解，且关于的分式方程的解是正数，则所有满足条件的整数的值之和是___________．【答案】【分析】此题考查了分式方程的解，解分式方程，一元一次不等式组的整数解，不等式组整理后，根据恰有个偶数解，确定出的范围，再由分式方程的解为正数，确定出满足题意的整数的值，求出这些整数的和即可．熟练掌握各自的解法是解、题的关键．【详解】解：不等式组整理得，解得：，不等式组恰有个偶数解，，解得：，关于的分式方程的解是正数，且，解得：且，且，满足条件的整数的值有，,，，，，所有满足条件的整数的值之和是．故答案为：．15．如图，在中，，，点为边上一点且，点为边上的动点，过点作⊙O的两条切线，切点分别为，若的半径为，则四边形面积的最小值是___________．【答案】【分析】根据切线的性质可得，，则有，当的值最小时，四边形面积有最小值，由勾股定理可得，则有最小时，的值最小，根据时，的值最小，由含角的直角三角形的性质即可求解．【详解】解：如图所示，连接，是的切线，，，，，的半径为，，，，当的值最小时，四边形面积有最小值，在中，，，最小时，的值最小，当时，的值最小，，，，（负值舍去），，故答案为：．【点睛】本题考查了切线的性质，全等三角形的判定和性质，含角的直角三角形的性质，垂线段最短等知识的综合，掌握切线的性质得到，当的值最小时，四边形面积有最小值，最小时，的值最小是解题的关键．16．若一个五位数的百位数字和千位数字都不为0，且满足，，则称该五位数为差倍数．规定：，．例如：42152，满足，，且，所以42152是差倍数，，．若是一个差倍数，，则的最大值为_________；若差倍数（，，，，，均为整数），且能被11整除，则满足条件的的值的和为___________．【答案】8429363285【解析】此题重点考察整式的加法与减法运算、不定方程的求解以及数的整除性质。题目难度较高，准确把握题意是顺利解题的前提。由，结合条件得到，继而得到，，继而可求解；先将S表示为，由新定义得满足，则，表示出，，则，问题化为需要被11整除即可，再分类讨论枚举即可．【详解】解：，，，，，若一个五位数的百位数字和千位数字都不为0，且满足，最大为4，则最大为8，，，最大为9，则，的最大值为；，，，五位数的百位数字和千位数字都不为0，满足，，，，，，需要被11整除，，，，可取，当，则，，则；当，则，，则（舍）；当，则（舍）；当，则（舍）；当，则，，则，，当，则（舍），满足条件的的值的和为，故答案为：，．三、解答题：（本部分包含8道小题，其中第17题为16分，其余各题均为10分，总分86分）在作答时，每道小题均需提供完整的计算过程或逻辑推理步骤，并绘制必要的几何图形（含辅助线）。请将所有解答步骤准确填写在答题卡对应的区域内。17．（1）先化简，再求值：，其中，．【答案】，3【分析】本题主要考查了整式的混合运算-化简求值，平方差公式，完全平方公式等知识点，先利用平方差公式，完全平方公式计算括号里，再算括号外，然后把,的值代入化简后的式子进行计算，即可解答，准确熟练地进行计算是解答此题的关键．【详解】解：，=，当时，原式．（2）先化简，，然后从范围内选取一个合适的整数作为的值代入求值．【答案】，【分析】本题考查分式的化简求值，先把分子分母因式分解和除法运算转化为乘法运算，再约分，接着根据乘法的分配律计算得到原式，然后根据分式有意义的条件，把代入计算即可，解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0．【详解】解：，；，当时，原式．18．习近平总书记说：读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气，某校响应号召，鼓励师生利用课余时间广泛阅读，该校文学社为了解学生课外阅读情况，抽样调查了20名学生每天用于课外阅读的时间，以下是部分数据和不完整的统计图表：阅读时间在范围内的数据：40，50，45，50，40，55，45，40不完整的统计图表：课外阅读时间等级人数D3CB8A4请根据上述提供的资料，解答接下来的问题：(1)统计表中的________；统计图中B组对应扇形的圆心角为______度；(2)阅读时间在范围内的数据的众数是____________；根据调查结果，请你估计全校600名同学课外阅读时间不少于的人数有______人；(3)在A等级的学生群体中，包含2名男生和2名女生。现计划从该群体中随机抽取2名学生，向全校师生分享读书心得与体会。请利用列举法或树状图法，计算出所选学生恰好为一名男生和一名女生的概率。【答案】(1)5；144；(2)40；360；(3)【分析】本题考查了列表法与树状图法以及频数分布表和扇形统计图等知识，树状图法可以不重不漏的列举出所有可能发生的情况，适合于两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．（1）由调查的学生的总人数减去其他组的人数得出的值，再由乘以组所占的比例即可；（2）首先根据众数的定义确定其数值，随后利用样本量对总体进行估计，写出计算过程并得出结果。（3）通过绘制树状图可知，总共存在12种等概率的可能结果。其中，随机选出的一名男生和一名女生的组合共有8种。根据概率计算公式即可得出结果。【详解】（1）解：统计表中的，统计图中组对应扇形的圆心角为：，因此，最终结果为：5，144；（2）解：阅读时间在范围内的数据的众数是40，估计全校600名同学课外阅读时间不少于的人数为：（人，因此，最终结果为：40，360；（3）解答：通过绘制如下的树状图进行分析：在所有12种等概率的可能结果中，其中恰好选出一名男生且选出一名女生的情形共有8种。恰好选择一名男生和一名女生的概率为．19．【研究与论证】(1)【教材再探】下面是某教材的一道问题：如图1，在正方形中，，求证：．请完成解答过程：证明：设与交于点，四边形是正方形，__________，，，__________，，角CDF与角BCE相等（__________）填判定依据，用字母表示(2)【类比探究】如图2，在矩形中，，点分别在边上，且，请问（1）中的结论还成立吗？请说明理由；(3)【拓展探究】如图3，在中，，点为的三等分点，过点作交于，请直接写出的长．【答案】(1)，90，；(2)不成立，理由见解析；(3)或【分析】（1）利用正方形的性质，证明即可．（2）根据矩形的性质，证明即可．（3）可以通过运用三角形相似定理进行计算得出。【详解】（1）解：设与交于点四边形是正方形，，，，，，角CDF与角BCE相等，，．故答案为：，90，．（2）解：不成立，理由如下：设与交于点，证明：四边形是矩形，，，，，，，．（3）补齐矩形，由于线段的三等分点有两个，故分类解答：如图3-1，．同（2）得，且相似比为，△BCE中，中，，，，；如图3-2，同理可得．综上所述或．【解析】本题旨在考察正方形与矩形的特性、三角形相似的判定条件及其性质，以及勾股定理的应用。解题的核心在于能够熟练运用正方形的判定与性质，以及三角形相似的相关理论。20．某蔬菜基地有甲、乙两个用于灌溉的水池，它们的最大容量均为，原有水量分别为，，现向甲、乙同时注水，直至两个水池均注满为止．已知每分钟向甲、乙的注水量之和恒定为，若其中某一水池注满，则停止向该水池注水，改为向另一水池单独注水．(1)若每分钟向甲注水，则哪个水池先注满水？为什么？(2)若每分钟向甲注水，注水多少分钟时，两个水池里的水量成2倍关系？(3)若每分钟向甲注水，则甲比乙提前注满，直接写出a的值．【答案】(1)将两个水池同步注满水，具体请参考解析。(2)注水分钟或30分钟，两个水池里的水量成2倍关系(3)变量a的数值是40【解析】本题的核心考点在于通过列方程解决实际应用问题。解题的关键在于根据两个水池注水速度的比例关系，准确地写出两池中水量的表达式。（1）本题可以通过分别计算将甲、乙两个水池注满水所需要的时间来得出结果。（2）通过分析题意列出相应方程，并运用分类讨论的数学思想即可得出结论。（3）根据题意得出当甲注满时，乙池的水量为，据此建立分式方程即可解决问题．【详细解析】（1）解答：两管同时注满，具体原因分析如下：因为每分钟向甲注水，所以每分钟向乙注水．则（分钟），．因为，因此，两个水池同时向内注水直至填满。（2）解：因为每分钟向甲注水，所以每分钟向乙注水．假设在注水$x$分钟后，两个水池中所含的水量之比为$2:1$（或其中一个水池的水量是另一个的2倍），若甲的数值为乙的两倍，，解得．若乙的数量为甲的两倍，，解得，此时乙容器已注满，而甲容器恰好填充了一半。综上所述，注水分钟或30分钟，两个水池里的水量成2倍关系．（3）解：因为甲比乙提前注满，所以当甲注满水时，乙中的水量为．由题意可知，，解得，经检验，是原方程的解且符合题意，所以a的值为40．21．【阅读以下资料】：解方程：时，先两边同乘以x，得，解之得，，经检验无增根，所以原方程的解为，．【模拟训练】（1）解方程；【综合实践】（2）如图1，等腰直角的直角顶点的坐标为，B，C两点在反比例函数的图象上，点的坐标是，且，求的值；（3）如图2在双曲线有，两点，如果，，那么是否为定值，若存在请求出，不存在请说明理由．【答案】（1），；（2）；（3）是定值，【解析】本题旨在考查阅读理解能力，重点在于分析反比例函数图像中点的坐标特性，以及全等三角形的判定条件与相关性质。解题的核心在于能够灵活地将这些知识点结合并运用到具体问题中。（1）参照阅读材料中的相关内容，通过计算即可得出结果；（2）过点作轴于点，过点作轴于点，则，根据是等腰直角三角形，则，；根据，，等量代换，全等三角形的判定和性质，则，，，最后根据反比例函数的图象和性质，即可；（3）过点作轴的平行线交轴于点，作轴交直线于点，同理证明，得，；求得，根据点在函数图象上，则，在反比例函数图象上，，推出，解得，即可．【详解】（1）解：先两边同乘以，得，解得：，，经检验无增根，原方程的解为，；（2）过点作轴于点，过点作轴于点，，在等腰直角三角形$\triangle\text{ABC}$中，，；，，，，点坐标是，，，，，，，点在反比例函数图像上，，由（1）可知，，，．（3）其值为定值，具体证明如下：过点作轴的平行线交轴于点，作轴交直线于点，，，，，，，，，在反比例函数图象上，，，解得，．22．某数学小组在郊外的水平空地上对无人机进行测高实验，如图，两台测角仪分别放在A、B位置，且离地面高均为1米（即米），两台测角仪相距60米（即米），在某一时刻无人机位于点C（点C与点A、B在同一平面内），A处测得其仰角为，B处测得其仰角为．【参考数据：，，，，】(1)请计算此时无人机距离地面的高度。（结果取整数，单位：米）(2)无人机沿水平方向向左飞行2秒后到达点F（点F与点A、B、C在同一平面内），此时A处测得无人机的仰角为，求无人机水平飞行的平均速度．（单位：米/秒，结果保留整数）【结果】(1)23m；(2)6m/s【解析】本题旨在考察如何运用解直角三角形的相关知识。解题的核心在于通过合理地绘制辅助线，构建出直角三角形，从而将问题转化为可计算的形式。（1）连接，过点C作，垂足为G，根据题意可得：，设米，则米，然后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答；（2）过点F作，垂足为H，根据题意可得：米，，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再利用（1）的结论求出的长，从而利用线段的和差关系求出米，最后进行计算即可解答．【详解】（1）解：连接，过点C作，垂足为G，由题意得：，设米，米，米，在中，，（米），在中，，米，，解得：，米，米，（米），此时，无人机距离地面的高度大概为23米；（2）过点F作，垂足为H，由题意得：米，，在中，，（米），米，米，米，（米），（米/秒），一架无人机在水平方向上飞行的平均速度是6米/秒。23．如图，抛物线经过，，三点，连接．(1)请推导出该抛物线的方程：(2)作直线，l交抛物线于E、F两点（点E在点F的左侧），已知，请写出直线l的方程；点P是抛物线上的动点，作，垂足为点K，是否存在点P，使得以P、E、K为顶点的三角形与相似？若存在，请写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)；(2)；点的坐标为或或．【解析】（1）可以通过待定系数法来求得结果；（2）作于点，作于点，证明，求得，即，设直线的解析式为，联立得，利用根与系数的关系，列方程求解即可；需分三种情形进行分析，通过绘制相应的图像，并采用相同的方法求解即可。【详解】（1）解：抛物线经过，，设抛物线的解析式为，把代入得，解得，抛物线的解析式为；（2）解：，，，，，，，作于点，作于点，如图，直线，即，，，，，即，设直线的解析式为，，解得，直线的解析式为，直线，设直线的解析式为，联立得，整理得，，，，即，解得，直线的解析式为；，，，，，，，△ABC是直角三角形，且，，作轴交抛物线于点，，，，点符合题意，，即，整理得，解得或，当时，，，点的纵坐标为，解方程得或，点的坐标为；作点关于直线的对称点，连接交延长交抛物线于点，此时，，点符合题意，，直线，又，，同理，直线的解析式为，同理，直线的解析式为，联立得，解得，，即点的坐标为，点与点关于直线对称，点的坐标为，同理，直线的解析式为，联立，解得或，当时，，点的坐标为；过点作交轴于点，交抛物线于点，，，点符合题意，作轴于点，设直线交轴于点，令，，解得，点的坐标为，，，，，，即，，，点的坐标为，同理，直线的解析式为，联立得，解得或，当时，，点的坐标为；综上，点的坐标为或或．【解析】本题属于二次函数的综合应用题，重点考察了相似三角形的判定方法及其相关性质。解题的核心在于能够准确地构造辅助线。24．【提出问题】在唐代诗人李颀所作的《古从军行》中，开篇两句写道：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河。”这两句诗其实在潜意识中勾勒出了一个经典的数学模型，即著名的“将军饮马问题”：（1）如图1，△ABC中，，E是的中点，P是边上的一动点，则的最小值为___________；【课题研究】（2）如图2，已知△ABC和△DEF都是等腰直角三角形，．，在直线上运动时，求的最小值；【综合实践】（3）如图3，是某公园的示意图，是三处栅栏，是该公园附近的一条道路（宽度不计），半圆及其内部是一个带舞台的广场．已知，所对的圆心角为，与所在的圆相切于点C，点E、G在上，点F、H在上，点M在上，矩形是一条河流在该公园内的一段（），其中半圆的直径为，，河岸离的距离为，河宽为，为方便运输设备，现计划垂直于河岸造桥，使得与之和最短，求出此时的长．（结果保留根号）【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）如图所示，过点E作于D，作点A关于的对称点，连接，则，，故当三点共线时，最小，即此时最小，最小值为的长，证明，求出，则，，则由勾股定理可得，即的