2025-2026学年江苏省连云港市连云区海滨中学等校高二（下）期中数学试卷嘉定区育才中学

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年江苏省连云港市连云区海滨中学等校高二（下）期中数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。1.已知，，且，则实数x的值为（）A.-1 B.0 C.1 D.52.若，则n的值为（）A.6 B.7 C.8 D.93.在（2+x）5的展开式中，x2项的系数为（）A.1 B.10 C.40 D.804.唐老师有语文，数学等6本不同学科的练习册，平均分给3个同学，若甲同学不拿语文，则不同的分配方法数为（）A.360 B.180 C.90 D.605.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点.若，，，则下列向量中与相等的向量是（）A.

B.

C.-

D.6.已知点A（1，0，1），B（0，1，3），C（0，0，1），P（1，x,2）在平面ABC内，则x值为（）A. B. C.1 D.-17.某地的中学生中有60%的同学爱好滑冰，50%的同学爱好滑雪，70%的同学爱好滑冰或爱好滑雪.在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为（）A.0.8 B.0.6 C.0.5 D.0.48.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，则三棱锥A-B1CD1的体积为（）A. B. C.4 D.6二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。9.若向量，，则下列结论正确的为（）A. B.

C. D.10.已知，则（）A. B.a1+a2+⋯+a8=1

C.二项式系数和为256 D.a1+2a2+3a3+⋯+8a8=-811.已知正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为1，动点M满足.（x,y,z∈R），则（）A.当x=y=0，时，则三棱锥M-ABD的体积为

B.当x=y=1，时，直线AM⊥平面A1BD

C.当，z=1时，直线AM∥平面C1BD

D.当x+y+z=1且时，点M的轨迹长度为

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.用0，1，2，3，4，5这6个数字，可组成

个数字允许重复的三位数.13.随着社会经济的不断发展，电子商务平台使人们购物更加方便快捷，假设某电商平台的市场占有率和产品优质率的信息如表：电商平台甲乙其他市场占有率50%40%10%优质产品率90%90%80%用A1，A2，A3分别表示某网民使用甲、乙、其他电商平台购物，B表示买到优质产品，若该网民在市场中随机选择一个电商平台购物，则P（B）=

.14.在正三棱锥P-ABC中，O是△ABC的中心，，则=______.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

计算：（用数字作答）

（1）；

（2）.16.(本小题15分)

已知=（3，2，-1），=（2，1，2）.

（1）求（-）•（+2）；

（2）当（k-）⊥（+k）时，求实数k的值.17.(本小题15分)

如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=AA1=2，E是BC中点.

（1）求证：A1B平面AEC1；

（2）求平面AEC1与平面ABB1A1所成角的余弦值；

（3）求点A1到平面AEC1的距离.18.(本小题17分)

高考结束后，甲、乙两同学决定各购置一部手机，经了解，目前市场上销售的主流国产手机有：华为、小米、vivo、OPPO等；甲从华为、vivo、OPPO中挑选，乙从vivo,OPPO中挑选，甲、乙二人选择各类型手机的概率如下表：华为vivoOPPO甲pq乙0若甲、乙都选OPPO的概率为.

（1）求p,q的值；

（2）求甲、乙选择不同手机的概率；

（3）某手机市场举办购买手机进行打折活动，活动标准如下表：手机华为vivoOPPO补贴金额/（百元/部）354记甲、乙两人购手机所获得的补贴和为X元，求X的分布列.19.(本小题17分)

对于给定的正整数n,记集合，其中元素称为一个n维向量，特别地，称为零向量.设k∈R，，，定义加法和数乘：，.对一组向量，，…，，若存在一组不全为零的实数k1，k2，…，ks，使得，则称这组向量线性相关，否则称为线性无关.

（1）判断下列各组向量是线性相关还是线性无关，并说明理由.

①，；

②，，；

（2）已知，，线性无关，判断，，是线性相关还是线性无关，并说明理由.

（3）已知m（m≥2）个向量，，…，线性相关，但其中任意m-1个都线性无关，证明：

①如果存在等式，则这些系数k1，k2，…，km或者全为零，或者全不为零；

②如果两个等式，同时成立，其中l1≠0，则.

1.【答案】C

2.【答案】C

3.【答案】D

4.【答案】D

5.【答案】B

6.【答案】A

7.【答案】A

8.【答案】B

9.【答案】AB

10.【答案】ACD

11.【答案】ACD

12.【答案】180．

13.【答案】0.89

14.【答案】16

15.【答案】106；

70．

16.【答案】解：（1）∵=（3，2，-1），=（2，1，2），

∴=（1，1，-3），=（7，4，3），

∴（-）•（+2）=1×7+1×4+（-3）×3=2；

（2）∵=（3，2，-1），=（2，1，2），

∴k-=（3k-2，2k-1，-k-2），=（3+2k,2+k,-1+2k），

∵（k-）⊥（+k），

∴（k-）•（+k）=0，即（3k-2）（3+2k）+（2k-1）（2+k）+（-k-2）（-1+2k）=0，

解得k=-或．

17.【答案】解：（1）证明：如图所示，连接A1C交AC1于F点，连接EF，

由三棱柱的特征可知侧面ACC1A1是平行四边形，则F是A1C的中点，

又因为E是BC中点，所以EFA1B，

因为EF⊂平面AEC1，A1B⊄平面AEC1，

所以A1B平面AEC1；

（2）由已知可得AA1⊥底面ABC，AB⊥AC，

如图以A为原点，以AB、AC、AA1所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，

则A(0，0，0)，A1(0，0，2)，E(1，1，0)，C1(0，2，2)，C(0，2，0)，

故，，

设平面AEC1的一个法向量为，且在平面AEC1上，

则，

令y=-1，则x=1，z=1，

即，

易知是平面ABB1A1的一个法向量，

设平面AEC1与平面ABB1A1所成角为θ，

则，

由图可知，平面AEC1与平面ABB1A1所成角为锐二面角，

故平面AEC1与平面ABB1A1所成角的余弦值为；

（3）易知，

则点A1到平面AEC1的距离．

18.【答案】解：（1）由题表中数据及题意，得，

所以，

又因为，

所以；

（2）设甲、乙选择不同手机为事件M，

则；

（3）根据题意，X的可能取值为7，8，9，10，

则P（X=7）==，P（X=8）=+=，P（X=9）=+=，P（X=10）==，

所以X的分布列为：X78910P

19.【答案】①线性无关；②线性相关；

向量，，线性无关；