2025-2026学年四川省成都市新都区第一中学北星中学高二（下）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年四川省成都市新都区第一中学北星中学高二（下）期中数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。1.数列{an}的前四项依次是9，99，999，9999，⋯则数列{an}的通项公式可以是（）A.an=9n B. C. D.2.已知函数，则的值为（）A.0 B. C. D.3.下列求导正确的是（）A. B.

C.（xex）′=（x+1）ex D.（sin2x）′=cos2x4.等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3+a7=18，a6+2a5=29，则S10=（）A.90 B.100 C.110 D.2005.已知函数，则函数f（x）（）A.既有极大值也有极小值 B.有极大值无极小值

C.有极小值无极大值 D.有2个零点6.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若Sm=7，S3m=33，则S2m=（）A.18 B.19 C.20 D.217.已知函数f（x）=x（x-a）2在x=1处取得极大值，则a的值是（）A.1 B.2 C.3 D.48.已知等比数列{an}，满足a1a2=1，则下面说法正确的是（）A.若a1＞1，则数列{an}是递增数列 B.若0＜a1＜1，则数列{an}是递减数列

C.若-1＜a1＜0，则数列{an}是递增数列 D.若a1＜-1，则数列{an}是递增数列二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。9.已知函数f（x）的定义域为R，f（x）的导函数f′（x）的图像大致如图所示，则下列结论中正确的是（）A.f（x）在（2，3）上单调递减

B.x=0是f（x）的极小值点

C.x=3是f（x）的极大值点

D.曲线y=f（x）在x=2处的切线斜率为210.如图的一系列三角形图案称为谢尔宾斯基三角形.在图中4个大三角形中，灰色三角形的个数依次构成一个数列{an}的前4项，设数列{an}的前n项和为Sn，则（）

A.a3=9 B.S4=36 C.a5=81 D.S6=36411.记Sn为数列{an}的前n项和，已知nSn+1=（n+1）Sn+n（n+1），S2=6，则（）A.a1=1 B.Sn-8n取最小值时n=3

C.是等差数列 D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.记Sn为等比数列{an}的前n项和，且a1+a3=1，a2+a4=2，则Sn=

.13.已知函数f（x）=mex-x-1有两个零点，则m的取值范围是

.14.高斯被认为是历史上最重要的数学家之一.在求1到100这100个自然数的和时，10岁的高斯是这样算的：1+100=101，2+99=101，…，50+51=101，共有50组，所以1+2+3+…+100=50×101=5050，这就是著名的高斯算法，教材中推导等差数列前n项和的方法正是借助了高斯算法.已知等比数列{an}的各项均为正数，且公比不等于1，a1a2024=1，试根据提示探究：若，则f（a1）+f（a2）+…+f（a2024）=

.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知函数f（x）=alnx+x2（a为实常数）.

（1）若a=-2，求证：f（x）在（1，+∞）上是增函数；

（2）当a=-4时，求函数f（x）在[1，e]上的最大值与最小值及相应的x值.16.(本小题15分)

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD是正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，.

（1）证明：AE⊥DF；

（2）求直线BC与平面AEF所成角的正弦值.17.(本小题15分)

已知数列{an}满足a1=1，an+1=2an+1，数列{bn}的前n项和Sn满足4Sn=（2n+1）bn+1.

（1）求{an}，{bn}的通项公式；

（2）设cn=（an+1）•（bn+2），求数列{cn}的前n项和Tn.18.(本小题17分)

设点A（-2，0），B（2，0），直线AP，BP相交于点P，且它们的斜率之积为.

（1）求点P的轨迹方程C；

（2）若F1（-1，0），F2（1，0）.

①当时，求△PF1F2的面积；

②求的取值范围.19.(本小题17分)

已知函数.

（1）当a=1时，讨论f（x）的图象与直线y=m的交点个数；

（2）对任意的x∈（0，+∞），恒成立，求a的值；

（3）证明：，n∈N*.

1.【答案】B

2.【答案】C

3.【答案】C

4.【答案】B

5.【答案】B

6.【答案】A

7.【答案】C

8.【答案】D

9.【答案】CD

10.【答案】ACD

11.【答案】CD

12.【答案】（2n-1）

13.【答案】（0，1）

14.【答案】1012

15.【答案】证明：由题可知函数的定义域（0，+∞），

因为a=-2，所以f（x）=-2lnx+x2，

所以，

x＞1，f′（x）＞0，

所以f（x）在（1，+∞）上是增函数

当时，函数f（x）有最小值为，当x=e时，函数f（x）有最大值为f（e）=e2-4

16.【答案】因为，所以E为PD中点，

因为侧面PAD是正三角形，所以AE⊥PD，

因为底面ABCD是正方形，所以CD⊥AD，

又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，CD⊂平面ABCD，

所以CD⊥平面PAD，

而AE⊂平面PAD，

所以CD⊥AE，

又AE⊥PD，PD∩CD=D，PD，CD⊂平面PCD，

所以AE⊥平面PCD，

因为DF⊂平面PCD，

所以AE⊥DF

17.【答案】解：（1）由an+1=2an+1，得an+1+1=2（an+1），

因为a1=1，所以an+1＞0，

所以，

所以{an+1}是首项为2，公比为2的等比数列，

所以，即；

由4Sn=（2n+1）bn+1①，

得4Sn-1=（2n-1）bn-1+1②，

①-②，得4bn=（2n+1）bn-（2n-1）bn-1（n≥2），

即（2n-3）bn=（2n-1）bn-1（n≥2），

即，

当n=1时，b1=1，b2=3，所以，

所以bn=2n-1（n≥2），

因为b1=1符合上式，所以；

（2）由（1）知，，

所以Tn=c1+c2+c3+⋯+cn

=3×21+5×22+7×23+⋯+（2n+1）×2n③，

所以2Tn=3×22+5×23+7×24+⋯+（2n-1）×2n+（2n+1）×2n+1④，

③-④，得-

=，

所以．

18.【答案】；

（i）；（ii）[2，3）．

19.【答案】当时，f（x）的图象与直线y=m的交点个数为0；当或m≤0时