甘肃省陇南市西和县部分学校2026届高三5月模拟测试数学试卷（含解析）

甘肃陇南市西和县第二中学、第三中学、第四中学、西和成名高级中学2025-2026学年高三5月考前模拟数学试卷一、单选题1．已知集合，，则集合的真子集的个数为（

）A．8 B．7 C．4 D．32．已知抛物线：（）的焦点到其准线的距离为3，是上一点，是坐标原点，则（

）A． B．6 C． D．33．已知函数的部分图象如图，则的解析式可能为：（

）A． B．C． D．4．已知无穷等比数列的公比为，则“且”是“数列为递增数列”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件5．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2=4，a4=2，则S6=（）A．0 B．10 C．15 D．306．在棱长均为2的正三棱柱中，是棱的中点，是侧面内任意一点(包含边界)，则直线与平面所成角的正弦值的取值范围是（

）A． B． C． D．7．正n边形有n条边,它们对应的向量依次为a1,a2,a3,…,an,则这n个向量()A．都相等 B．都共线 C．都不共线 D．模都相等8．已知函数在上无极值，则的取值范围是（

）A． B． C． D．二、多选题9．天道酬勤，主动学习方能追求卓越.高三年级的小艾同学决定对函数、三角、数列、立几这四个内容的复习效果进行一次自我检测，每个内容各准备了10道典型题目.做完后对照答案记录每道题的失分（均为非负整数）情况，若某内容每道题失分都不超过7分，则认定该内容为“复习效果达标内容”，已知四个内容失分情况的相关数据信息如下，则一定为“复习效果达标内容”的是（

）A．函数内容的10道题失分记录的中位数为3，极差为4B．三角内容的10道题失分记录的平均数为2，众数为2C．数列内容的10道题失分记录的平均数为3，方差为2.4D．立几内容的10道题失分记录的平均数为3，第65百分位数为610．已知双曲线：（）的上、下焦点分别为，，下顶点为，是双曲线上第一象限内的动点.当时，的面积为3，则下列说法正确的是（

）A．双曲线的离心率B．双曲线的渐近线方程为C．若过点作双曲线的切线与渐近线交于，两点，则1OM+3ON的最小值为4D．11．在《增删算法统宗》中有如下问题：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，六朝才得到其关”，其意思是：“某人到某地需走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天才到达目的地”，则（

）A．此人第二天走的路程占全程的B．此人第三天走走了48里路C．此人第一天走的路程比第四天走的路程多144里D．此人第五天和第六天共走了18里路三、填空题12．已知复数是纯虚数（其中为虚数单位，），则的虚部为__________．13．现有5名同学排成一排，其中甲不站最左边，则有________种站法（用数字作答）.14．已知是函数的一个零点，且，则的最小值为________．四、解答题15．在中，角所对的边分别为，且.(1)求；(2)若，求的面积.16．已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合.(1)若为，求抛物线方程；(2)若椭圆与抛物线的公共弦恰好经过焦点，求椭圆的离心率；(3)若椭圆方程为，过焦点作直线与椭圆、抛物线交于、和、四个点（如图），问：是否存在这样的直线，使得，若存在求出直线的方程，若不存在，说明理由.17．如图，三棱台中，侧面四边形为等腰梯形，底面三角形为正三角形，且，设为棱上的点.(1)若为棱的中点，求证；(2)若三棱台两底面间的距离为，且侧面底面，试探究是否存在点，使直线与平面所成角的正弦值为？若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由.18．某AI实验室有6个不同的团队，需要对ChatGPT、Sora、GPT-4、Deepseek方向的4个研发项目进行，每个团队只能承担一个项目，且每个项目至少交给一个团队．(1)若从中选出5个团队去，共有多少种不同的安排方案？(2)若6个团队都同时参与调研，且A、B两个团队同一个项目，共有多少种不同的安排方案？19．已知函数，直线与曲线相切.(1)求的值；(2)若对任意，存在，使得不等式成立，求的最大值；(3)若，求证：对任意，有.参考答案1．D【详解】由解得，即，故,则集合的真子集的个数为.2．A【详解】由抛物线：（）的焦点到其准线的距离为3，得，则由是上一点，得，点，所以.3．A【详解】由图可知，关于原点中心对称，且不是上的单调函数；对于B，是偶函数，不符合，排除B；对于C，的定义域不含，不符合，排除C；对于D，由复合函数的单调性知是单调递增函数，排除D；所以A正确.4．A【详解】由题意可得，且，则，且单调递增，则数列为递增数列，充分性成立；若数列为递增数列，，则或，必要性不成立；“且”是“数列为递增数列”的充分不必要条件.5．C【详解】数列{an}是等差数列，a2=4=a1+d，a4=2=a1+3d，所以a1=5，d=-1，则S6=6a1+=15．故选C．6．D【详解】如图，正三棱柱棱长均为2，取的中点为，则平面，当点是靠近点的四等分点时，，则平面，此时直线与平面所成角的正弦值最大为1；当点与重合时，此时最长，即，因为正三棱柱中，是棱的中点，所以点到平面的距离为，

此时直线(即)与平面所成角的正弦值最小，为，所以直线与平面所成角的正弦值取值范围是.故选：

D.7．D【详解】正n边形n条边相等,故这n个向量的模相等.故选：D.8．D【详解】由题意得，，故，因为函数在上无极值，所以在R上恒成立，当时，，设，则，当时，得，当时，得，则在上单调递减，在上单调递增，从而，故，当时，，则.综上，.故选：D.9．AC【详解】对于选项A，假设函数内容有一道题失分大于等于8分，则由极差为4可知，函数内容失分最少的题的失分数据大于等于4，则失分记录的中位数不可能为3，与题设中位数为3矛盾，故假设不成立，所以函数内容每一道题失分都不超过7分，故函数内容为“复习效果达标内容”，所以A正确；对于选项B，设三角内容这10道题失分记录为0，0，1，1，2，2，2，2，8，满足题设失分记录的平均数为2，众数为2的条件，由定义知三角内容不是“复习效果达标内容”，所以B错误；对于选项C，设数列内容这10道题失分记录从小到大依次为，则由平均数为3，方差为2.4可知，，从而，若，则，所以，故数列内容为“复习效果达标内容”，所以C正确；对于选项D，设立几内容这10道题失分记录为0，0，0，0，0，0，6，6，6，12，满足题设平均数为3，第65百分位数为6的条件，由定义知立几内容不是“复习效果达标内容”，所以D错误；故选：AC10．AD【详解】对于A：由双曲线定义得，平方得，在中由余弦定理得，，代入，整理得，即，的面积，得，即，又因为，所以，则离心率，A正确；对于选项B：焦点在轴的双曲线渐近线为，得，B错误；对于选项D：，设，满足，设，，则，代入，化简得，设，同理得，且，故，即，D正确；对于选项C：设点为双曲线C上任意一点，过点P的直线与双曲线C的两条渐近线分别交于M，N两点，设，因为，则.又可得双曲线渐近线方程为：，将渐近线方程与直线方程联立，可得或，则，.则，则的最小值不是4，C选项错误.11．BD【详解】设此人第n天走了里路，则数列是首项为，公比q为的等比数列，因为，解得，，所以此人第二天走了96里路，，A选项错误；，所以此人第三天走了48里路，B选项正确；，，此人第一天走的路程比第四天走的路程多168里，C选项错误；，此人第五天和第六天共走了18里路，所以D选项正确.故选：BD.12．【详解】由题意得．复数是纯虚数，，，的虚部为1．13．96【详解】先安排最左边的位置，有4种方法，然后剩余的4人在四个位置上排列，有种，故共有种.14．【详解】因为是的一个零点，，将看作直线上一个点的坐标，则原题就变为：求当时，点到原点的距离的平方的最小值，原点到直线的距离为，，令，，当时，,是增函数，在时，；故答案为：.15．(1)(2)（1）解：，利用正弦定理：，整理得：，由于，所以，因为，所以；（2），，，即，解得（负值已舍去），则，.16．(1)(2)(3)存在，及【详解】（1）由，得,解得：，所以抛物线方程为.（2）椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，所以，由椭圆及抛物线的对称性，得公共弦与轴垂直，所以公共弦的方程为，则公共弦与抛物线在第一象限交点，所以椭圆也过点，则，即，所以，解得(负值舍去.)（3）由椭圆方程得，故抛物线方程为，首先当的斜率不存在时，由曲线的对称性知适合题意，此时直线方程为；当斜率存在时，由，设为，联立椭圆得：+25k2联立抛物线方程得k2=0⇒解法一：一般弦长公式：，则，其中，所以，又，所以据，则，则方程为或.解法二：焦半径公式法：，下面与解法一相同.方法三：椭圆极坐标焦点弦长公式：，，由，则，则，则方程为或.17．(1)证明见解析(2)存在，与点重合【详解】（1）如图：取中点，连接，因为四边形为等腰梯形，且为中点，所以.又为正三角形，所以，平面，所以平面，又平面，所以.（2）解法1：延长三棱台侧棱交于点，补成三棱锥，取中点，中点，连接；侧面为等腰梯形，故；侧面底面，交线为，平面，因此平面；已知两底面距离为，即；由相似比，得；底面为正三角形，，则，；在中，；在中，；设点到平面（即平面）的距离，由，即，，，代入得：，解得；设点到平面的距离，由相似比KA1:设，点到平面的距离，由相似性：2-t2=d2得d2=15作于，则AG=1+t，，，由余弦定理：BGBD=设直线与平面所成角为，则sinθ=d2代入得：155(2-t解得或（舍去），即点与重合,所以存在点，当与点重合时，直线与平面所成角的正弦值为.解法2：设中点为，连接，则，又侧面底面，侧面底面侧面，所以底面，又底面，所以，又，所以两两垂直，故可以为原点，所在的直线分别为轴建立如图空间直角坐标系.因为三棱台两底面间的距离为，即，又三角形为正三角形，且，则，设，则，设平面的法向量为，则，可取设直线与平面所成的角为，则，由，所以，故或（因为，故舍去），此时与点重合，所以存在点，当与点重合时，直线与平面所成角的正弦值为.18．(1)1440(2)240（1）解：先从6个团队中选5个，有种选法，接下来将5个团队分配到4种项目，且每个项目至少1个团队负责，则5个团队分为：2，1，1，1四组，有种方法，再将这四组对应4种项目进行全排列，由分步计数原理，可得不同的安排方案有种.（2）解：先将A和B两个团队视为一个整体（一个元素），此时相当于5个元素分配到4种项目，每个项目至少有一个团队，即分成元素个数分别为“2，1，1，1”四组，则有种方法，再将这四组对应4种项目进行全排列，有种方法，所以共有种不同的安排方案.19．(1)(2)(3)证明见解析【详解】（1）设直线与