第2课时 异面直线-2026湘教版高中数学必修第二册章节练（含解析）

2026湘教版高中数学必修第二册

第2课时异面直线

基础过关练

题组一空间两条直线垂直

1.（2024广东东莞海逸外国语学校质检）直三棱柱ABC-AiBiCj中,ABJ_AC,则在三棱柱所

有的棱中，与AC垂直且异面的有（）

A.1条B.2条C.3条D.4条

2.如图，在三棱锥A-BCD中,E,F,G,H分别是棱AB,BC,CD,DA的中点，则当AC,BD满足条

件;时,四边形EFGH为菱形，当AC,BD满足条件;.时,四边形

EFGH是正方形.

3.如图，在空间四边形ABCD中,AC=8,BD=6,M,N分别为AB,CD的中点，且异面直线AC

与BD所成的角为90。,则MN=

题组二异面直线所成的角

4.如图，在正方体ABCD-ABCD中,E,F,G,H分别为AAI,AB,BBI,BC的中点，则异而直线

EF与GH所成的角等于（)

A.45°B.60u

C.90°D.120°

5.（2025北京H—学校月考）如图,已知正四棱锥P-ABCD的所有棱的长均为2,E为棱PA的

中点，则异面直线BE与PC所成角的余弦值为（）

AT

%

6.在正四面体ABCD中,E,F分别为AB,CD的中点，则下列命题不正确的是（）

A.EF1AB

B.EF±CD

C.EF与AC所成的角为:

D.EF与BD所成的角为^

7.（2024甘肃兰州第一中学期末）在四面体ABCD中,AB=CD,且异面直线AB与CD所成的

角为50°,M,N分别是边BC,AD的中点，则异面直线MN和AB所成的角为（）

A.25。或50°B.25。或65°

C.50°D.65°

能力提升练

题组一两直线的位置关系

1.（2024甘肃武威期末）某正方体的平面展开图如图所示，如果将它还原为正方体，那么在该

正方体中，下列结论正确的是（

A.AB与GH所在的直线异面

B.CD与EF所在的直线平行

C.CD与GH所在的直线所成的角为60°

D.AB与EF所在的直线相交

2.（2025北京交大附中期中）如图，在正方形ABCD中,E,F分别为边BC,AD的中点.将△ABF

沿BF所在直线进行翻折，将4CDE沿DE所在直线进行翻折，在翻折的过程中，下列说法正

确的是（）

A.点A与点C在某一位置可能重合

B.点A与点C之间的距离最大为6AB

C.AB与DE可能垂直

D.AF与CE可能垂直

题组二异面直线所成角及其应用

3.如图，某圆锥的轴截面ABC是等边三角形,D是线段AB的中点，点E在底面圆周上，且弧

^的长度等于弧&的长度，则异面直线DE与BC所成角的余弦值是（）

4.（2025云南红河检测）在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形,PA是四棱锥P-ABCD的

高,E为PC的中点,AB=PA=2,若四棱锥P-ABCD的外接球的半径为2,贝ijAE与BC所成角

的正弦值为（）

A.；B埼C.vD.手

2224

5.（2025安徽合肥肥东一中质检）已知两异面直线a,b所成的角为80。,过空间一点P作直线

1,使得1与a,b的夹角均为50。,则这样的直线1的条数为（）

A.lB.2C.3D.4

6.（2025河北邢台期末）在四棱柱ABCD-AiBiC.Di中，侧面都是矩形，底面ABCD是菱形日

AB=BC=2A/5,NABC=120。,若异面直线A）B和AD）所成的角为90。,求AA】的长度.

答案与分层梯度式解析

第2课时异面直线

基础过关练

l.B4.B5.B6.D7.B

1.B直三棱柱ABC-AiBiCi中,ABJ_AC,

则与AC垂直且异面的棱为AiBi和BBi,共2条.

2.答案AC=BD;AC=BDJIAC1BD

解析易知EH〃BD〃FG,且EH=FG=；BD,EF//AC〃HG,且EF=HG=；AC,所以四边形

EFGH为平行I四边形.要使平行四边形EFGH为菱形，需满足EF=EH,所以AC=BD;要使平

行四边形EFGH为正方形需满足EF=EH且EF_LEH,所以AC=BD且AC1BD.

3.答案5

解析取AD的中点P,连接PM,PN,则BD〃PM,AC〃PN,・・.NMPN（或其补角）为异面直线

AC与BD所成的角,，NMPN=90。,易知PN=1AC=4,PM=^BD=3,/.MN=5.

4.B取AiBi的中点M,连接MG,MH,则易知MG〃EF,所以EF与GH所成的角等于MG

与GH所成的角.

易知aMGH为等边三角形，所以NMGH=60。,所以异面直线EF与GH所成的角等于60°.

5.D连接AC,取AC的中点O,连接OEQB,则EO〃PC,EC>EPC=1,故异面直线DE与PC

所成的角为NBEO（或其补角），

在ABEO中,Eg,BO=V5,BE=VJ,则由余弦定理得cosNBEO-；荔-产

故异面直线BE与PC所成角的余弦值为

解题模板

求异面直线所成角的一般步骤：

(1)作:通过作平行线或平移其中一条直线，构造异面直线所成角或其补角;

(2)证:证明所作的角或其补角为异面直线所成角；

(3)计算:一般在三角形中求角.

6.D如图所示，

将止四面体ABCD放入止方体中，则止四面体的每一条棱都是止方体的面对角线,E,F分别

是上、下底面的中心,.・・EF与正方体中垂直于底面的棱平行，

・・・EF_LAB,EF_LCD,且EF与AC,BD所成的角都是:.

7.B取AC的中点G,连接GM,GN,

VM,N分别为边BC,AD的中点，

・・・GM〃AB,GN〃CD,

且GM=jAB,GN=|cD,

・••异面直线AB与CD所成的角是NMGN或其补角，

异面直线MN和AB所成的角是NGMN或其补角.

由GM=1AB,GN=«D,AB=CD,得GM=GN.

因为异而直线AB与CD所成的角为50。,所以NMGN为50。或130°,

若NMGN=50。,则NGMN=65。,所以异面直线MN和AB所成的角是65°;

若NMGN=130。,则NGMN=25。,所以异面直线MN和AB所成的角是25。.

综上，异面直线MN和AB所成的角为25。或65°.

M

B

能力提升练

l.C2.D3.A4.B5.C

1.C由正方体的平面展开图还原的正方体如图所示.

AB与GH所在的直线相交，故A错误；

CD与EF所在的直线异面，故B错误；

连接HM,GM,由正方体的性质可知HM/7CD,AHMG为等边三角形，

所以CD与GH所在的直线所成的角为NGHM=60。,故C正确；

AB与EF所在的直线异面，故D错误.

2.D由题意知，在翻折的过程中，点A与点C的运动轨迹均为圆,且两圆所在平血平行，所

以点A与点C不可能重合.故A错误；

点A与点C之间的距离最大为正方形ABCD的对角线AC的长，为近AB,故B错误；

易知BF与DE平行，所以AB所在直线与DE所在直线所成的角即为AB所在直线与BF

所在直线所成的角，显然AB与BF不垂直，故C错误；

当平面ABF_L平面BEDF,平面ECD_L平面BEDF时，由等角定理可知AF_LCE,所以AF与

CE可能垂直，故D正确.

3.A如图，过点A作AO1BC于点O,过点D作DG1BC于点G,取AO的中点F,连接

DF,GE,OE,EF,则DF〃BC,且DF=：BO,所以NFDE（或其补角）就是异面直线DE与BC所成

的角.

设圆锥的底面半径为2,则DF=GO=1,OE=2,AO=26,所以DG=0F=V3,

由题意知NBOE=90。，

在RtAGOE中,GE=V^声声=右，

则在RtAGDE中,DEf/QGHG我=2a,

在RtAFOE中,FEKW+O/S

因为DF2+FE2=DE2,所以NDFE=90。，

所以cosNFDE笔*

DE2V24

4.B如图，将四棱锥P-ABCD补成长方体ABCD-PBiGDi,则四棱锥P-ABCD的外接球的

半径等于长方体ABCD-PBCD的外接球的半径，即长方形ABCD-PBCD的体对角线长

的一半.

设AD=m,又AB=PA=2,所以叵亨=2,所以m=2遮，所以AD=2&.

因为BC〃AD,所以AE与BC所成的角即为AE与AD所成的角，即NEAD（或其补角）.

由题意及长方体的结构特征知APAC和4PDC均为直角三角形,NPAC=f,NPDCW，

又E为PC的中点，所以AE=ED=1PC=2.

23七04+8-4V2

在4ADE中，由余弦定理得,cos/EAD=

2AEAD2*2x2戊2,

所以AE与BC所成的角为去

所以AE与BC所成角的正弦值为当

5.C在空间取一点P,经过点P分别作a〃驾,b〃b；

设直线Tb确定平面a,

当直线PM满足它的射影PQ在"卜所成角的平分线上时,

PM与T所成的角等于PM与6所成的角.

因为直线a,b所成的角为80。,所以所成的角为80°.

当PM的射影PQ在"卜所成角的平分线上时，

PM与Tb所成角的范围是［40。,90。］,

此时，过点P有两条直线与黑6