空间向量的运算及坐标表示10大重点题型归纳（必考50题专项训练）解析版-2025-2026学年高二数学（人教A版选择性必修第一册）

空间向量的运算及坐标表示（10大题型必考50题）

题型归纳

取空】空间向涉彖共仍向越

取和空间共线向总定原的推论及应用■咏空1间共面向量定理的虚论及应用

U25空间向星数星际沟合应用"6空阍向♦基本定理&同应用

题型「求空间点的生标&里、空间向■运酶坐标表示

用些标法求解平行、垂亶问聂也里10用生标法求空间向R魄回帜.英

希或悔长

题型1空间向量的线性运算

1.（24-25高二上•河南南阳•阶段练习）求（五+2B-3H+3X俘_3+京）-Q-2B+K为（）

A.2a+—2cB.2a+—2c

C.2a-^b-2cD.2a-^b-2c

【答案】B

【解题思路】根据向量的数乘运算以及加减运算的性质，求解即可得出答案.

【解答过程】原式=G+3x|a—a+2B_3xgB+2B—3m+3xM—E=2a+^b-2c.

故选：B.

2.（24-25高二上•广东•期末）如图，在四面体。48c中，。为方C的中点，3布=2而，且P为OG的中点,

A.那+那+猊B.-*+河+汶

C.^OA+^OB-^OCD.^OA-^OB+^OC

【答案】A

【解题思路】根据空间向量的线性运算求解即可.

【解答过程】由题意，OP=^OG=^(0A+AG)=^OA+'^AD)=x^AC+AB)

=1fiA+^(0C-OA+OB-OA^^A+^B+^0C,

故选：A.

3.(24-25高二•全国•课后作业)化简如+2b-3c)+5(|a-|S+|c)-3(a-2b+c)=.

【答案仔+我-会

【解题思路】利用空间向量的数乘运算法则即可得解.

【解答过程】(+2b-3c)+5窗一物+1c)-3(a-2b+c)

=yj+h-^c+学i一级+笠一?不+6加一戒=酎+?石一次

故答案为：立+夕-徭

OZO

4.(24-25高二上•上海•课后作业)化简下列算式：

(1)3(2元-b-4c)-4(a-2b+3c);

(2)0A-[0B-(JB-AC)].

【答案】(1)2a+5^-242

⑵刀

【解题思路】(1)根据向量数乘运算即可求得答案；

(2)根据向量的线性运算，即可求得答案.

【解答过程】(1)3(2a-2-4c)-4(a-2b+3c)=6a-3b-12c-4a+8^-12c

=2a+5b-24c.

(2)OA-[OB-(AB-^c)]=CA-OB+AB-AC

=OA-OB+AB-AC

=BA+AB+CA=CA.

5.(24-25高二・江苏•课后作业)如图，在空间四边形4BCD中，已知G为△BCD的重心，E,F,H分别为边CD/D

和8c的中点，化简下列各式：

(\)AG+^BE-^AC：

(2)^AB+AC-AD^：

(3)^AB+^AC+^AD.

【答案】(1)薪

⑵滴

⑶京

【解题思路】(I)根据向量共线，加法与减法运算求解即可；

(2)根据向量加法的平行四边形法则和减法的三角形法则求解即可；

(3)根据上6+/?+池=6+氐品•-6)+茅方一成)化简求值即可.

【解答过程】(1)解：因为G为△BCD的重心，E,F为边CD/D的中点,

所以R命-^AC=AB+BGi-^BE-^AC=AB+1BE+^BE-^AC

=AB+BE-^AC=AE-^AC=AE-FE=AE+EF=AF,

所以薪-荻?=6

(2)解：因为E,F,H分别为边CD,AD和BC的中点,

所以义n+AC-AD)=^(2AH-AD^=AH-^AD=AH-AF=FH

(3)解：^AB+^AC+^AD=^AB+AC+AD^=AB+^AC-AB^+^AD-AB^

=AB+^BC+BD^=AB+^x2BE=AB+1BE=AB+BG=AG.

题型2帽

6.（24-25高二上•北京•期中）已知加，而是空间两个不共线的向量，MC=5MA-3MB,那么必有（）

A.而，就共线B.丽,标共线

C.拓?，丽,而共面D.苏，丽，而不共面

【答案】C

【解题思路】利用空间向量的共线定理与共面定理.

［解答过程】若雨，流共线，则祝=GR）,

又枇=5MA-3而=2为？=5加=丽，则瓦?，雨共线，

与条件矛盾，故A错误；

同理若丽，而共线，则前=AMB（AeR）,

乂祝=5MA-3MB=>AMB=5MA-3丽言丽=MA,则就?，丽共线，

与条件矛盾，故B错误；

根据空间向量的共面定理可知前?而，而共面，即C正确，D错误.

故选：C.

7.（24-25高二上•浙江杭州•期末）对于空间一点。和不共线三点48,。，且有2而=-OA+OB+20C,则

（）

A.。,48,C四点共面B.P,4B,C四点共面

C.O,PRC四点共面D.O,P,/RC五点共面

【答案】B

【解题思路】根据题意，化简得到丽=2正+而，得到而，而国共面，进而得到P/AC四点共面，即可

求解.

【解答过程】由2方二-6?+就+2反，可得而一方=2（而一而）+而一5Z

即加=2正+而，根据平面向量的基本定理，可得而，而，正共面，

乂因为三个向量有公共点P,所以P/,8,C四点共面.

故选：B.

8.（24-25高二下•全国•课后作业）设雨，正是空间两个不共线的向量，已知而=2n+4茹而=药+3

无，而=2瓦一而，且4B,力三点共线，则忆=.

【答案】-8

【解题思路】根据/B,。三点共线可得而=A而，即可得到关于九上的方程组，即可解出A.

【解答过程】因为而=可+3互，而=2久-药，

则丽=而一而=就一照2，

又万=2无+k互，而力，8,。三点共线，

所以存在4WR,使得丽=2前，

g|J2e1+/ce2=/le1-4Ae2,所以解得&=一8.

故答案为：-8.

9.（24-25高二下•江苏•课后作业）设耳方是空间两个不共线的非零向量，已知所=2可+A瓯丽二可+3

百，反=2久-而，且力，B,D三点共线，求实数Z的值.

【答案】-8

【解题思路】利用空间向量的线性运算，结合共线向量定理，列式计算作答.

【解答过程】因为证=无+3近，反=2无一匹，则有而=就+而=（无+3无）一（2百一/）=一无+4

*，

又4B,。三点共线，于是屈=2而，即2无+k药=2（-药+4通），而万，无不共线，

因此｛忆”，解得k=-8,

所以实数k的值是-8.

10.（24-25高二上•全国•课后作业）图①是由三个相同的直角一：角形组合而成的一个平面图形,将其沿OB,OC

折起使得/与4重合，如图②，其中。E,F,G分别为力昆O&OC/C的中点.

（1）用。408,。。表示。瓦。F；

（2）证明：D,EF,G四点共面.

【答案】（1）反=一9，DF=^-OA-OB+OCY

（2）证明见解析

【解题思路】（1）根据空间向量的基本运算求解即可；

（2）根据空间向量的基本运算，证明赤=反I族即可.

【解答过程】（I）因为D,E,F,G分别为AB,08,0CHC的中点，

所以无=^A0=-1O4,DF=DG+GF=^BC+^AO=^OC-OB）-^A=^-OA-OB^OC）.

（2）因为而=^-OA-OB+OC）^DG=^BC=*5?-砺），瓦=-9，

DG+DE=1（0C-OB）-^A=^-OA-OB+OC\

所以而=而+而，故DEF,G四点共面.

题型3空间共线向量定理的推论及应用。|

11.（24-25高二上•辽宁大连•期末）在四面体A8CD中，石为”的中点，G为平面BCD的重心.若AG与平

面BCE交于点F、则鬻=（）

A.5B.-C.-0.-

【答案】C

【解题思路】根据共线定理及空间向量线性运算可得结果.

【解答过程】如图：连接。G交3c于〃，则，为BC中点，连接4",EH/G,

因为AGu平面AHD,EHu平面/HD,设AGnEH=K,则KwEH,KwAG,

又EHu平面8CE,所以K6平面BCE,故K为力G与平面BCE的交点，

又因为4G与平面8CE交于点R所以尸与K重合，

又E为4D的中点，G为平面BCD的重心，

因为点4,F,G三点共线，则而二相而=加（而+而）=相（而丽）

/_2~DB+DC\［一1,一一一一、］

=m\AD+-x——-——）=m\AD+-x（AB-AD+AC-AD）\

=＜血（而+而+前）

J

又因为点E，F,"三点共线，则标=%而+丫荏,（x+y=1）,

AF=xAH+yAE=^AB+标）+%仄

/x

nl---

n323

故

所以+

iXy=-I11-

myH臼4

l-=-

32

故选:C.

12.（24-25高二下•全国•课后作业）已知力，B,。二点共线，。为空间任一点，则①函=2诟+〃瓦：②

存在三个不为0的实数九〃?，〃，使入刀+m而+/沆=6,那么使①②成立的〃与;l+m+几的值分别为

（）

A.1,-1B.-1,0C.0,1D.0,0

【答案】B

【解题思路】根据三点共线的推理即可求得〃=-1,A+m+n=0.

【解答过程】•••4B,。三点共线，OA=2OB+^OC,.••2+〃=1,解得〃二一1,

又由彳+m赤+n沅=6,得而=一宁而一河，

由,4,B,C三点共线知，一3一方=1,则a+m+〃=0.

AA

故选：B.

13.（24-25高二•全国•课后作业）在正方体/1"。-4同的。1中，点E在对角线上，且山闺二义阳,

点F在棱D©上，若/、E、尸三点共线，则|D/|=\FCi\，

【答案以

【蟀题思路】设|。1f|=/1尸。］|,可得而：=:布+黑。了，根据/、E、/三点共线即可求得.

【解答过程】因为正方体中，万了=万工+而=万工+万方，

设|D/|=MFC/,又|DIE|=4|EB|,

所以4斗：=而+"万了，即靛=柄了+答而

因为小E、尸三点共线，所以3+*=1,解得a=今即|。/|二如卬.

«T,A44

故答案为：g.

14.（24-25高二上•全国•课前预习）已知4B,P三点共线，。为直线外空间任意一点，^OP=aOA+pOBf

求证：«+/?=1.

【答案】证明见解析

【解题思路】利用共线向量定理，可设而=£而，结合向量的减法运算，求得而=(1-£)雨+£丽，利用

平面向量分解的唯一性，得到。=1-亡,/?=亡，进而证得.

【解答过程】由48,P三点共线，得而=t而，

即而一万？=t(OB-OA).

整理得而=(1-t)OA+tOB.

又因为而=口刀+颐,

所以a=1-t,p=t.

所以a+6=1.

15.(24-25高二•湖南•课后作业)已知向量方，b,5不共面，AB=4a+5b+3c,AC=2a+3b+c,AD=6

a+76+5c.求证：B,C＞。三点共线.

【答案】证明见解析

【解题思路】将三点共线问题转化为求证向量共线问题求证即可.

【解答过程】因为而=4五+5右+33AC=2a+3b+c,AD=6a+7b+5c,

所以玩=尼一通=2G+3B+2-(4a+5^4-3c)=-2a-2b-2c,

BD=AD-AB=6a+7b+5c-(4a+5加+3c)=2a+2b+2c,

所以丽=-前，

所以丽〃丽，又B为公共点，

所以8,C,。三点共线.

题型4空间共面向量定理的推论及应用

16.(25-26高二上•全国•课后作业)在下列条件中，使M与4B,C一定共面的是(其中。为坐标原点)

()

A.OM=OA-OB-OCB.丽=那+迦+赳

C.OM+OA+OB+OC=QD.AM+MS4-MC=6

【答案】D

［解题思路】根据四点共面的条件逐项判断即可求得结论.

【解答过程】空间向量共面定理：OM=xOA+yOB+zOC,

若4B,C不共线，且A8,C,M共而，其充要条件是％+y+z=1.

对A,因为1一1一1H1,所以4BCM四点不共面；

对B,因为|+泊=*1,所以4B,C,M四点不共面;

对3由曲+工？+砺+瓦=6可得而二一砺一沅，

因为-1-1-1=-3。1,所以48,&M四点不共面；

对D,由近5+而5+祝=6可得55-丽+宓一丽+瓦一两=6,

即而二3力？+癖+初，因为|+}+9=1,所以48cM四点共面.

故选：D.

17.(25-26高三上•江苏镇江•开学考试)已知M,A,B,C为空间中四点，任意三点不共线，ROM=xOA+yOB

------4-1

-OC(x>0,y>0),若四点共面，。不在该平面上，贝归+：的最小值为()

Ay

A.4B.5C.1D.9

【答案】C

【解题思路】利用空间向量四点共面定理和基本不等式“1”的妙用求解即可.

【解答过程】因为M/,8。四点共面，OM=xOA+yOB-OC(x>0,y>0)

所以由共面定理可得，x+y-l=l,即x+y=2,

所呢+*蛆+》a+y)=*5+§+%

因好+12后1=4,

当且仅当y=泉即％=2y,即％=.=求寸，等号成立，

所%+；=*5+?+》*(5+4)=今

故选：C.

18.(24-25高一上•上海•阶段练习)已知CER,A,B,C三点不共线，。为平面力BC外任意一点.若和二一

那+碎+£沅.且4B,C,P四点共面，则实数t=.

【答案】今

【解题思路】根据空间向量基本定理判断向量共面，可得解.

【解答过程】由题知所=而一石？=一那+赳+t击，

即而=河+3而+t而，

又4B,C,P四点共面，

所呜+9+t=l，解得［=*.

故答案为：卷.

19.（2025高二上•全国•专题练习）已知4SM三点不共线，对于平面48M外的任意一点0,判断在下列各

条件下的点P与点48,M是否共面.

⑴而+而=3OP-OA；

⑵丽=404-OB-0M.

【答案】（1）共面

（2）不共面

【解题思路】（1）根据空间向量的共面定理及推论，即可求解；

（2）根据空间向量的共面定理及推论，即可求解；

【解答过程】（1）解：因为48,M三点不共线，可得ASM三点共面，

对于平面外的任意一点。，若赤+而=3而

即而=那+唧+^0M,

又因温+《+”=1,根据空间向量的共面定理，可得点P与48.M共面：

（2）解：因为48,M三点不共线，可得M三点共面，

对干平面力8M外的任意一点。，若而=4次一丽一丽，此时4一1-1=2工1,

根据空间向量的共面定理，可得点P与48,M不共面.

20.（24-25高二上•安徽•阶段练习）已知向量乙是空间中不共面的三个向量，0A=a-2b+c^B=pa+

b+qc^0C=2a+b-2c.

（1）若宿=mACtmeR,求p,q的值；

（2）若。,4B,C四点共面，求3P+5q的值.

【答案】（1）2,-2

⑵-4

【解题思路】（1）根据向量的运算得到方以及前，再根据而与前的关系列得方程组，即可求得结果；

（2）根据四点共面得到丽=4而+〃反，可用入和〃表示出p和q,即可求出结果.

【解答过程】(1)由题可得：

AB=0B-0A=pa.+b+qc—(G—2b4-c)=(p—1)5+3b+(q—l)c»

AC=0C-OA=2a+b-2c-(a-2b-^-c)=a+3b-3c,

因为屈=mAC,所以(p-1)5+3b+(q-l)c=m(a+3b-3c)»

(p-1=m,(m=1,

即3=3m,解得P=2,

\q-1=—3m,=-2,

所以p,q的值分别为2,-2；

(2)因为0,48。四点共面，所以存在尢〃WR,使得砺=入刀+〃无，

即pa+b+qc=A(a-2b+c)+〃(2a+b-2c)=Q+2p)a+(u-2A)b4-(A-2〃)c,

p=A4-2〃,

于是有1=M-2A,

.(?=A-2〃,

所以3P十5q=3(A十2〃)+5(A-2〃)=0A-4^=0A-4(1+2,1)=-4,

即3P+5q的值为-4.

题型5间向量数量积的综合应用

21.（25-26高二上•全国•单元测试）正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，数学家已经

证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体.已知

一个正八面体488所的棱长都是2（如图），P,。分别为棱4。的中点，则而♦而二（）

A.4B.3C.2D.I

【答案】D

【解题思路】根据向量的线性运算可得而.FQ=*而+石?）♦（-；而-而），结合八面体的特性计算数最

积即可.

【解答过程】由正八面体的性质可得B尸=40,BFWAD,则丽二万彳,

CP^'FQ=^（CB+CA）（fB+BA+AQ）=^（CB+CA）-（^-AD-AB+^AD^

=1（CS+CX）.（-1^D-4F）

=~~rCB•AD—~CB,AB—~CA-AD—~CA-AB

4242

=yBC­~BF-^BC•BA+^-AC-AD+^-AC-AB

4242

1111

=-x2x2cos60°--x2x2cos600+-x2x2cos60°+；x2x2cos60°

4242

=y-1+^+l=1.

故选：D.

22.（25-26高二上•全国•单元测试）如图，在三棱柱48。一/1那1。1中，M,N分别是4/,81G上的点，且

8M=24M,C1N=2BiN.设而=2,AC=bf力4=入若L=90°,/,BAAX=^CAAL=60°,

AB=AC=44i=1,则下列结论中正确的是（）

B

A.MN=+jcB.\MN\=I

C.ABiIBC]D.COSQ/IBI,8cl0=J

【答案】D

【解题思路】对于A,根据向量的线性运算法则利用基底乙b,1表示而即可判断，对于B,曰而二3+

3加+生，结合模的性质及数量枳的运算律求|而即可判断，对于C,由基底优b,3表示有，而?，计算

布・范，即可判断，对于D,计算|丽|成不，利用向量夹角公式求cosO布瓦7D即可判断.

【解答过程】对于A,而二丽+而7+*=扳］+而+每=-AB）+AC+^AB-AC）=

~^AB+^AAi+j/lC=ja+jb4-jc.A错误；

对于B,由题可知同=|同=©=1,a-b=Ota-c=b'c=I，

所以|MN『="(G+B+工)2=孑侬+224-c2+2a-b4-2a-c+22-c)=I，

所以|MN|=孚,B错误；

对于C,因为苑=而+而'=二+乙^c[=¥Bl+BC=AA[+AC-AB=c+b-at

所以福.苑=G+2).G+B-a)=g+o-1+1+;齐最所以有，苑不垂直，c错误，

对于D,由选项C的解析可得，

AB{=a+c,BCi=c+b-a,AB}•BC1=

所以%81=J(a+c)2=J苍2+滔+2五・2=6,

18cli=+b-a)2=Jc2+b"+a2+2c-6-2c•a-2h-a=V3»

所以cos嗝，嬴0=曲饴=熹=5，D正确，

故选：D.

23.(24-25高二上•内蒙古呼和浩特•期中)如图，平行六面体HBCD-4/CiOi的所有棱长均为2,

AB/0,44i两两所成夹角均为60°,点及F分别在棱上，^BE=2B}E,0/=2DF,^AC-EF

【解题思路】设荏=乙而=百441=六连接力E,4F/C,根据向量的线性运算法则，化简得到丽=-己+

b-^c,AC=a+b,结合向量的数量积的运算公式，即可求解.

【解答过程】由平行六面体4BCD-Ai/CiDi的所有棱长均为2,且AB/Z),441两两所成夹角均为60。,

0

设4B=a,AD=b,AA1=c,则同=囚=|c|=2且国，加=60°,Da,c0=60,®,cO=60°,

如图所示，连接4E,力5卅C,由BE=2BiE,D1F=2DF,

可得而=而-荏=而+/丽-而号丽=-AB+AD-^AZ=-a+b-1c,

AC—ABIAD=a\b,

所以前♦EF=(a+S)(-a+b-1c)=-a2+b-•c-•c=-4+4-|x2x2cos60°-1x2x2

4

cos60°=--J

24.（24-25高二上•全国•课后作业）已知正四面体O4BC的楂长为1,如图所示.求:

(iyOAOB-

(2)(04+而)•画+CB).

【答案】(18

(2)1

【解题思路】(1)根据题意易得|刀|=|^|=\0C\=1,廊，而1二廊为而二前，硒=60。，进而根据

空间向量的数量积计算即可：

(2)根据空间向量的数量积的运算性质求解即可.

【解答过程】(1)在正四面体。/BC中，|^|=\0B\=|0C|=1,

廊砌=昉，血=瓯而=60°,

则而•OB=\OA\\OB\cos^AOB=1X1xcos60°=最

(2)画+函•画+函=(0A+0By(0A-0C+0B-0C)

.।.»2».■»»2.'>

=[OA+OB')•(0A+OB-20C)=0A+20AOB-20A0C-VOB-20B•0C

22

=l+2xlxlxCOS600-2X1X1XCOS6004-l-2xlxlxCOS60°

=14-1-1+1-1=1.

25.（24-25高二上•湖北宜昌•期中）如图，在三棱柱ABC-481cl中，AB=a,AC=b,441二M点。满

⑴用G而表示々0；

（2）若三棱锥4-48c的所有棱长均为2,求|丽|及布•R5.

【答案】⑴一日+石一段

（2呼,T

【解题思路】（1）根据而=缸，布=肃+而可表示出R5：

（2）先确定五万，前勺模长以及两两之间的夹角，然后根据|而|二J（一H+B—靛丫计算出|万何,

再根据菽iiD=（b-c）.（-a+b-%）展开计算求得结果.

【解答过程】（1）因为而=2正，所以而二经工，

所以章，=^7+茄=丽+|^=-AB^-AC-^AA[=-a+b-|C.

（2）因为三棱锥4-/18。的所有棱长均为2,

所以同=\b\=\c\=2,所以国加=06,cD=Da,c0=3

所以G-b=bc=a-c=2x2x^=2,

所以-a4-b=Ja2+b2-I-^c2-2a-b-jb•c+•c=^4+4+^-4-1+|=

2m

所以41c•=（%-工）•（一G+b-[工）=b+-|c2—a-b—^b-c+a-c=4+?-2—与+2=学

题型6空间向量基本定理及其应用

26.（25-26高二上•全国•课后作业）已知蜃b,2是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向

量是（）

A.a,2b,b-cB.2b,b-2a,b+2a

C.3a,a-b,a+2bD.c,a+c,a-c

【答案】A

【解题思路】利用空间向量的基底的定义，逐项判断作答.

【解答过程】假定向量2，2b,3-工共面，则存在不全为0的实数尢〃，

使得1一不=启+2血,显然不成立,

所以向量不共面，能构成空间的一个基底，故A正确；

由于％=①一2苍）+巧+2苍），则%,b-2a,B+2G共面，故B错误;

由于32二2（五一励+（五+2办则3d,a-b,乙+2坂共面，故C错误；

由干e=*五+8）一天@-0，则工五+二五一己共面，故D错误：

故选：A.

27.（24-25高一下•浙江宁波•期末）在平行六面体A8CD-力向的小中，点E为棱的中点，点F为棱CQ

上靠近C的三等分点.若加=x4B'+”10+z/Ui，x,y,zeR,则为+y+z的值为（）

7

'•6B-TD•-9

【答案】B

【解题思路】选一组基底｛屈，而,诏｝,利用空间向量基本定理即可求解.

【脩答过程】由题意有荏=3就,而=氐*,所以而=而一通=而+丽+而-狐

+AD+^Cc[-^AAi=AB+AD-^AA[t

所以x=y=l,z=-3所以％+y+z=1+1—看=?

故选：B.

a

R

28.(24-25高二上•重庆长寿•期末)如图，在三棱锥P-ABC中，N为8c的中点，M为4的中点，设

【答案】^(b+c-a)

【解题思路】运用向量的运算法则，结合几何图形表示即可.

【解答过程】加=诂+能+而，N为8c的中点，M为21的中点，继续运算，

MN=MP+PC+CN=-^PA+PC+^CB=-^PA+PC+^CP+丽，

整理得到加=+=1(b+c-a).

故答案为：+c-a).

29.(24-25高二上•四川绵阳•阶段练习)如图所示，四棱柱A8CD-二%C1D1中,底面为平行四边形,以

(1)用位标｝为基底表示向量BO1，并求的长：

(2)求cos但鼠加的值.

【答案】(1)苑二石+工一G,V2

(2浮

【解题思路】(1)先求出=-而+而+441=B+E-旭两边平方得到=(S+c-a)=2,

求出BDi的长；

(2)AC=a+bt平方，进而求出|而|=6，而•尼=1,利用空间向量夹角公式得到cosO丽，而Q

【脩答过程】(I)记48=鼠AD=b,AAr=c,

则同=|^|=|c|=1,右,加=[E,cO=Dc.aO=60°,

：.a-b=bc=c-a=^,BDi=BA+BC+BBi=-AB+AD+AA1=b+c-a,

22

BD1=(b+c-a)=a+b+c+2b•c-2c•a-2ab=l+14-l+l-l-l=2,

“丽|=V2,即的长为VI；

(2)AC=a+b,故4c2=a2+2a-S+ft2=1+1+1=3,

故国|=6,

由(1)知丽=b+c-af\BD^\=V2,

故B。1•AC=(b+c-a)'(a+b)=b-a+b+a-c+b-c-a2-a-b

=52+a-c+b-c-a2=1+g+g-l=1,

"C啊，祈==蒜=f-

30.(24-25高二上•海南海口•阶段练习)如图所示，平行六面体4BCD-4iBiCiDi中，E,“分别在和

小。上，BE=^BBi，DF=池1.

(1)求证：力，E,Q,F四点共面；

(2)若而=xAB+y而+z嬴，求x+y+z的值.

【答案】(1)证明见解析

(2月

【解题思路】(1)根据空间向量基本定理即可证明:

(2)把｛彳B：加丽)作为一组基底，结合向量的线性运算即可求解.

【解答过程】(I)证明：-ACI=AS+AD+AA[=AS+AD+^AZ+^AA[

一1—•—,2--一1—«—►2——>

=AB+-AA+AD+-AA=AB+QBB】+AD+-DD1

OXOXt3O

=(AB+BE)+(AD+DF)=AE+AFf

・•”,E,A,F四点共面.

(2)-~EF=AF-AE=AD+~DF-(AB+~BE)

=AD+-AB-薄7=-AB+AD+,嬴,

•*.x=-1,y=1,z=I，

«5

•••x+y+z=J.

o

31.(24-25高二上•广东广州•阶段练习)在空间直角坐标系。xyz中，点M(23-1)关于平面yOz对称的点

的坐标是()

A.(2,3,1)B.(2,-3,-1)C.(-2,3,-1)D.(2,-3,1)

【答案】C

【解题思路】根据空间直角坐标系的对称性，即可求解.

【解答过程】由空间直角坐标系，可得点M(23-1)关于平面yOz对称的点的坐标为M<-2,3,-1).

故选：C.

32.(24-25高二上•福建三明,阶段练习)如图，在长方体04BC-014B1G中，0A=4,0C=6,001

=2,点2是81cl的中点，则点尸的坐标为()

A.(2,6,2)B.(3,4,2)C.(4,6,2)D.(6,2,1)

【答案】A

【解题思路】根据题意，结合空间直角坐标系的坐标的写法，结合中点公式，即可求解.

【解答过程】由题意，长方体。ABC-0p4iBiCi中，04=4,0C=6,00v=2,

可得小(4,6,2),加(0,6,2),

因为点尸为81cl的中点，由中点公式可得，点P的坐标为P(2,6,2).

故选：A.

33.(25-26高二上•黑龙江黑河•开学考试)在空间直角坐标系Oxyz中，点M(-1,4,2)关于平面无。z对称的点

的坐标是.

【答案】(-1,-4,2)

【解题思路】根据空间直角坐标系点关于平面的对称点的坐标变换特征求解即可.

【解答过程】在空间宜角坐标系。到z中，点M(-1,4,2)关于平面%Oz对称的点的坐标为(-1,-4,2),

故答案为：(一1,一4,2).

34.(24-25高二上•全国•课后作业)已知点P(2,3,-l),求:

(1)点P关于各坐标平面对称的点的坐标；

⑵点P关于各坐标轴对称的点的坐标；

(3)点P关于坐标原点对称的点的坐标.

【答案】(1)(-23-1),(2,-3,-1)

(2)(-2,3,1),(—2,-3,-1)

(3)(-2,-3,1)

【解题思路】(1)根据点关于面对称性质求解：

(2)根据点关于线对称性质求解；

(3)根据点关于点对称性质求解；

【解答过程】(1)设点P关于%Oy坐标平面的对称点为P,

则点P'在x轴上的坐标及在y轴上的坐标与点P的坐标相同，而点P'在z轴上的坐标与点尸在z轴上的坐标互为

相反数.

所以，点P关于%Oy坐标平面的对称点P'的坐标为(2,3,1).

同理，点P关于yOz,z。%坐标平面的对称点的坐标分别为(-23-1),(2,-3,-1).

(2)设点P关于％轴的对称点为Q,

则点、在不轴上的坐标与点P的坐标相同，而，点:Q在y轴上的坐标及在z轴上的坐标与点P在y轴上的坐标及在z

轴上的坐标互为相反数.

所以，点P关于%轴的对称点Q的坐标为(2,-3,1).

同理，点P关于y轴、z轴的对称点的坐标分别为(-2,3,1),(-2,-3,-1).

(3)点P(2,3,-1)关于坐标原点的对称点的坐标为(-2,-3,1).

35.(24-25高二下•江苏•课后作业)在平行六面体48。0-力181。山1中，底面4BC0是矩形，AB=4,

AD=2,平行六面体高为2b，顶点。在底面A/CiDi的射影。是的。1中点，设△ABiDi的重心G,建立适

当空间直角坐标系并写出点4,当0,0]的坐标.

【答案】答案见解析

【解题思路】取公”的中点E,连接OE,由题意可证。。，OE,OCi两两垂直，则以。为坐标原点，0E,

OC[,而方向为x,y,z轴正方向，建立空间直角坐标系。uz,即可写出各点坐标.

【解答过程】解：取必当的中点E,连接OE,

在矩形4$1的。1中,。是Ci%中点,所以。Z7/4D1，则0cQDi，

由题可知。。1平面ABiCWi，麻以O。，OE,。的两两垂直，

如图，以。为坐标原点，0E，。的，砺方向为x，y,z轴正方向，建立空间直角坐标系Oqz,

因为0。/%01，且力。//人1。1，所以0〃/A。,

贝lj。，E,力,。四点共面，力£平面xOz,

4E_Lx轴，4D_Lz轴，力£=。0=2四,

•••&(2,-2,0),81(2,2,0),71(2,0,273),Di(0,-2,0).

题型8\空间向量运算的坐标表示

36.(24-25高二下•江苏扬州期中)若苍=(2,0,-1),加=(0,1,-2),则苍+加=()

A.(2,0,-3)B.(2,-1,1)

C.(-2,1,-1)D.(2,1,-3)

【答案】D

【解题思路】根据空间向量的坐标运算求得正确答案.

【解答过程】若五=(2,0,-1),5=(0,1,—2),则:+1=(2,1,-3).

故选：D.

37.(24-25高二上・贵州贵阳•期末)已知空间向量d=(2,0,2)%=(0,1,1),则百一2刃=()

A.(2,0,0)B.(2,2,0)C.(2,0,-2)D.(2,-2,0)

【答案】D

【解题思路】利用空间向量的坐标运算计算即可.

【解答过程】空间向量苍=(2,0,2)%=(0,1,1)，则2-2石=(2,0,2)-2(04,1)=(2,-2,0).

故选：D.

38.(23・24高二上•北京延庆•期申)已知d=(1,0,-1)3=(2,1,1),则3五+石=.

【答案】(5,1,-2)

【解题思路】应用空间向量坐标表示的线性运算律计算即可.

【解答过程】因为五=(1,0,-1)J=(2,1,1),

所以3元+b=3(1,0,-1)+(2,1,1)=(5,1,-2).

故答案为：(5,1,-2).

39.(24-25高二•全国•课后作业)已知向量3=(1,2,-1),3=(2,0,1),求：

(l)a+b；

(2)3a-2fe；

(3位・(2G—励.

【答案】⑴(3,2,0)

(2)(-1,6,-5)

⑶11

【解题思路】(1)(2)利用空间向最坐标的线性运算可得结果；

(3)利用空间向量数量积的坐标运算可求得结果.

【解答过程】(1)a+b=(1,2,-1)+(2,0,1)=(3,2,0).

(2)3a2b=(3,6,-3)(4,0,2)=(-1,6,-5).

(3)2a-b=(2,4,-2)-(2,0,1)=(0,4,-3),

所以d•(2d-b)=(1,2,-1)-(0,4,-3)=8+3=11.

40.(24-25高二上•湖南娄底•阶段练习)已知向量己=(2,-1,2)3=(1,4,1).

(1)求G+b,a-b,\2a\

(2)求向量G+2石与芯-石夹角的余弦值.

【答案】(1)五+b=(333)1=5,1),［2由=6

⑵-日

【解题思路】(1)根据向最坐标运算和模的公式计算；

(2)利用数量税的公式计算.

［解答过程］(1)va=(2,-1,2),b=(1,4,1),

.-.a4-b=(3,3,3),a-d=(l,-5,l),|2五|=2"+(-1)2+22=6.

——(a+2b・(a-b)

(2)设G+2b与五-b的夹角为氏则cos。=卜彳卜•/，

a+2b-a-b

五+29=(4,7,4),I五+2石I=9a-b=(1,-5,1),\a-b\=3\/J,

c4xl+7x(-5)+4xl-27Q

.'•CCSa=-------------=---Z：=---

9x3>/327x/33

二向量五+2石与2—石夹角的余弦值为-学

题型9用坐标法求解平行、垂直问题

41.(24-25高二上•广东潮州•阶段练习)己知非零向量G=(2,3,-1)和石=(4,儿-2)互相垂直,则久的值是

A.-6B.6C.-D.当

【答案】C

【解题思路】利用dib=o代入坐标计算即得.

【解答过程】由可得后i=2x4+34+2=0,

解得2=-v

故选:C.

42.(25-26高二上•黑龙江•开学考试)已知向量五=(1,%2),b=(-4,4,y),若五与3共线,贝次+y=

)

A.12B.9C.-9D.-12

【答案】C

【解题思路】由空间向量共线的充要条件列式求得％=-1,y=-8,即得.

【解答过程】由向量G=(L%2),石二(一4,4,用共线，

—>T一4=£

故存在£eR,使得b=ta,即4=垃，

.y=2t

解得％=-1,y=-8,所以x+y=-9.

故选：C.

43.(24-25高二下•上海•阶段练习)向量a=(1,1,0)5=(-1,0,2)且(a+/cb)//(2a+b)，则实数

k=.

【答案】义

【解题思路】利用向量的坐标运算，再结合向量平行列式计算，即可求解.

【解答过程】a+kb=(1-k,l,2k),2a+b=(1,2,2),

因为0+口)〃(2己+励，所以(五+对)=/1(2元+B),

即(l-k』,2k)=2(1,2,2),

A-k=X

有1=2Ank=A=-,

12k=2/1'

故实数J.

故答案为：

44.(24-25高二上•广东深圳期中)若值二(1,2,-1),?=(-2,3,4).

⑴若(底+3)〃(五-2冷，求实数£的值.

⑵若(由4-b)l(a-2b),求实数k的值.

【答案】(l)k=一/

(2)k=y

【解题思路】(1)直接利用向量的坐标运算和向量共线的充要条件求出〃的值；

(2)直接利用向量的坐标运算和向量垂直的充要条件求出k的值.

【解容过程】(1)va=(1,2,-1),b=(-2,3,4)，

•,•ka+b=(k-2,2k+3,—k+4)

Q—2b=(5,—4,—9)»