福建省泉州某校2025-2026学年高一（下）月考数学试卷（二）含答案

福建省泉州五中2025-2026学年高一（下）月考

数学试卷（二）

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题绐出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.复数z满足（z+l）-i=l—2i（i为虚数单位），贝版的共辗复数的虚部是（）

A.-3B.-3iC.1D.i

2.下列关于几何体特征的判断正确的是（）

A.一个斜棱柱的侧面不可能是矩形

B.底面是正多边形的棱锥一定是正棱锥

C.有一个面是71（n>3,71€N）边形的楂锥一定是71棱锥

D.平行六面体的三组对面中，必有一组是全等的矩形

3.航天器的轨道校准任务中，在二维定位平面内，控制中心需要将坐标是（0,0）的卫星进行三次平移（单位：

千米）：第一次沿向量访=（Q,1）补偿平移；第二次沿向量与=（一1,。）修正平移；第三次沿向量可=（2,1）

校准平移.若卫星最终精准到达坐标是（3,4）的同步轨道点，则实数Q=（）

A.4B.3C.2D.1

4.下列命题正确的是（）

A.若N=（-1,2）,b=（巾2,1）,且万_L/>,则m=O

B.若V/l£R,五W疝，则瓦方不共线

C.若丽,沆是平面内不共线的向量，且存在实数y使得而+y沆=、而+说，则4B,C三点共线

D.若N=（-1,1）5=（1,2）,贝廊W上的投影向量为点,一g）

5.在△力中，角力，B,C的对边分别为a,b,c,已知b=2,c=4,a=4sinAf若。为8c的中点，则

cosZ-BAD=（）

A5/7D2/7「Er、E

A-TFB-C-Dnr

6.已知定义在R上的函数/（%）满足f（3+x）=2-/（l-x）,函数y=log式三+2）与/（无）图象的交点为

P1，P2,…,P,n（m€N）设。为坐标原点，91+92+…+而m=（Xo，y（］），则（）

A.x0+2yo=0B.x0-2y0=0C.x0+3yo=0D.x0-3y0=0

7.在△48。中，4。为8。边上的高，垂足。在边BCh,Z.CAD=2/840=20（0V。<，），80=1,ABD

及△48的面枳分别为Si、S2，当Q4时，tern。的取值范围为（）

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A.彳VtanO<1B.0VtanOVC.JVtunO<1D."<tunO<

8.在锐角△力BC中，角4B,C所对的边分别为a,b,cjla2-a+1=（1-a）cos4F,则次+房的取值范

围（）

3

A.点,2)B.(号,2)C.(72,4)D.(2,4)

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.设z]、Z2为复数，则下列命题正确的是（）

A.若Z]+z2>0,则z2=Z]

B.若Z】Z2=0,则Z]=0或Z2=0

C.若区|=忆21,则Z彳=Z刍

D.若|z-zi|=|z-z2l»则z在复平面对应的点在一条直线上

10.在△A3C中，乙4=3,瓦5•前=9,且cosC=gP是△43C,听在平面内的一点，设而•历=n则以

下说法正确的是（）

A.S^ABC=12

B.若m=14,则|4P|的最小值为2

C.若m=9设而=%而+y近，则为+y的最大值为'

D.若P在△718。内部（不含边界），且SgAc=2,则TH的取值范围是（一6,-2]

11.点尸是半径为2的圆。内一定点，且|OP|=1,过点P作圆。的两条互相垂直的弦718,G9,则（）

A.PA•丽为定值B.OA•丽的取值范围是[-4,-2]

C.AC•丽为定值D.四边形4CBD面积的最大值为4c

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知同=2VT,\b\=<5,且（2五十七）1（a-3b）,贝限与加勺夹角为—.

13.在△力BC中，内角48,C的对边分别是a,b,c,且（cosB+1）。=（J3—cos4）b,则sinB的最大值是一

14.如图，已知18。=4,D,E为△48C边BC上的两点，且满足2840二A

"4E,联|则当2ACB取最大值时，△ABC的面积等于—.

BD

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

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15.(本小题13分)

在48c中，内角4B,C所对的边分别为a,b,c.已知acosC+ccosA=[.

(1)求b；

(2)若A=条cosB=与马求4才BC的面机

16.(本小题15分)

如图，在平行四边形ABCD中,M,N分别是线段48,BC的中点，记方=五，AD=bt且丽|=1,\DN\=2,

乙MDN=60°.

(1)试用向量五，b表示力历，DN；

(2)皿|矶丽的值；

②i殳0为△ACM的内心，若而=W+y1(x,yWR),求号的值.

17.(本小题15分)

如图，某城市有一条公路正西方A。通过市中心。后转向北偏东a角方向的08,位于该市的某大学M与市中心

0的距离0M=3Ekm,且乙10%=氏现要修筑一条铁路L,L在。力上设一站4在0B上设一站B,铁路

在部分为直线段，且经过大学M,其中tana=2,cosP=-r=,AO=15km.

(1)求大学M在站A的距离AM；

(2)求铁路AB段的长/W.

18.(本小题17分)

在平面四边形力BCD中，AB=2,AD=4.

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⑴若BC=2CD=2.

①若4B,C,D四点共圆M,求4C；

(ii)求四边形/BCD面积S的最大值.

(2)若申/.BCD=y,4c与BD交于点。,记〃力。=①求当。为何值时，S^A0D=2S^B0C-

19.(本小题17分)

如图，设Ox,0y是平面内相交成］(0＜。＜兀)的两条射线，耳，弓分别为Ox,Oy网向的单位向量，若向量

9=》可+y玩，则把有序数对(x,y)叫做向量在斜坐标系。-无Oy中的坐标，记为而二(%y).

⑴在斜坐标系尹xOy中，丽=(2,3),求|而|：

(2)在斜坐标系a-xOy中，而=(2,1),丽=(1,—1),且而与。0的夹角”去

@A,。分别在射线Ox,Oy上，\AB\=3,E,f为线段AS上两点，且怒=之前，AF=\AB,求历•司的

最小值.

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答案

\.c

2.C

3.6

4.C

5./

6.B

l.A

S.A

9.BD

10.BC

i\.ABC

13.苧

14.2/2

15.［解：（1）根据题意可知，QCOSC+ccosA=。，结合止弦定埋,

^sinAcosC+sinCcosA=^sinB,

即sinQ4+C)=5sEB,即sinB=Ss出B,

B6(0,nJ,二sinBHO,即匕=2；

(2)sinB=V1-cos2fi=号^,

利用正弦定理得a=刍-sinA=备x苧=

Sintiv八L

而smC=sin(/l+B)=smAcosB+cosAsmB=-—=—

故〉48c的面积S=^absinC=2xV_7x

16.解：（1）由题意，M,N分别是线段A8,BC的中点,

则两=AM-AD=:而一而=；五一了；

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DN=~DC+CN=AB-]-^DA=AB-^AD=a-^b.

(2)。由(1)知：DM=^a-b,DN=a-^b,

则M=白丽一,丽，b=1DN

又|两|=1,\DN\=2,4MON=60°,

所以两•丽=\DM\'\DN\cos^MDN=1,

22

则囱=J(g--1的-=^DN-^DM.DN+^DM=苧，

\b\=/1而—丽)2=J河智丽.而+1两2=4；

②；。为△40M的内心，

,.,而=嘘(+东)=能+制

则上=-L,L=®==逐

'x向同\b\2,

17.解：(1)在△40M中，40=15,乙AOM=0,且cos/?二言，0M=3/13,

由余弦定理可得：AM2=OA2+0M2-2OA•OM•CQSLAOM=(3/13)2+152-2x3/13x15x言

72.

所以可得：AM=6心,大学M在站4的距离AM为6，1碗....6分

(2)vcos/?=言，且0为锐角，

SEB=

在△/1OM中，由正弦定理可得：等二.%),即竽

sin/?s\m.MAO_£_sin乙M.4。

〃/I3

:.s.rxLMAO=—,

4

：,Z.ABO=a-7,

4

vtana=2,

21

•••s)na=-^=,cosa=同

•••s\nz.ABO=sin(a—^)=n==,

又，；乙AOB=Tt-a,

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:.s:nz.AOB=sin(7r-a)=网.

在△408中，4。=15,由正弦定理可得：金=焉而即婴=昱

G/To

解得力8=30/2,即铁路力B段的长AB为30yf2km....12分

18.解：(1)设4ABC=a,乙ADC=其中a,/?G(O,TT),

ABC^,由余弦定理可得4c2=AB2+BC2_2AB.BCcosa=8-8cosa；

1£△4CC中，由余弦定理可得4c2=AD2+CD2_2AD•CDCOSB=17-8cos0；

_Q

因此8-Scosa=17-8cosB,可得cosa-cosp

o

(i)若4B,C,。四点共圆M,因此0=7T-a,

可得cos/?=COS(TT—a)=—cosa,sinp=sin(7r-a)=sina,

9—/99

由cosa-cosB=-不可得2cosa=-因此cosa=-

oo16

因此力。2=8-8cosa=竽，因此4C=苧；

(it)因为四边形力8co面积S=S^A3C+SfCD=；x2x2xsina+|x4x1xsinp,

i9

因此sina+si”？=且cosa-cos/?=一三，

Lo

乂因为(s出a+sin/?)2+(cosa-cosp)2=2-2cos(a+0)W4,

当且仅当a+/?=7T时，等号成立

因此评+称W4,解得SW学，

4644

综上所述，四边形4BCD面积S的最大值为苧；

(2)在△48。中，由余弦定理可得BO?=AB2+AD2-2AB-ADCOSLBAD=4+16-2X2X4X1=12,

因此B。=2/3,

@J1E71D2=AB2+BD2,因此

因为NB4O+N8CO=7r,可知4B,C,。四点共圆，且圆的半径r==2,

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因此BC=4sin£BAC=4stn(j—9),

且Z力=可知乙40D〜/COB,

若S^AOD=2sABOC，因此8c=瑞=2yf2f

因此4si呜-8)=2/I,可得sin虑一。)=争

又因为V言，因此V授一。解得。=

0v6O0Dv5J1■4

因此当8=a时,-^△400=2s△B0-

X乙

19.解：（1）因为设。无,Oy是平面内相交成Q（0<a<"）的两条射线，可，五分别为Ox,Oy同向的单位向量,

若向量而=xej+>或，则把有序数对（％y）叫做向量在斜坐标系a-xOy中的坐标，记为而=（无,y）,

因为丽=（2,3）,所以丽=2药+3透，

所以而2=（2所+3eJ）2=4可2+12可-ej+9eJ2=13+6=19,

所以|丽|=/19.

(2)⑦S为而=(2,1)=2可+尻，而=(1,-1)=可一五，

所以|而|二J(2元+弱)2=J5+4可•石,|丽|二J(无一劭2=J2-2区•孩,

OP-OQ=(2瓦+初•(编一初=2-1-2可•瓦十可•配=1一百•反，

制小“)_丽丽_1-阡连_1

川夕一\OP\\OQ\~'kk—2，

1115/5+4ei-e2,j2-231^2

化简并整理得2面•五)2_耳怎_1=0,

解得就=cosa=-g或西•益=cosa=1(舍去，因为0<a<兀)，

则a=v-

②(衣题意设五？二m百，OB=nej,(m>0,n>0),

因为F为48中点，则赤=J函+■丽=寺m可+立而

乙乙乙乙

同理丽=OA+AE=OA+^AB=OA^^(AO+OB)=lme；+^底，

则m.