初中数学专项练习-专项19-一次函数与正比例函数-重难点题型

一次函数与正比例函数-重难点题型

【知识点1一次函数和正比例函数的概念】

一般地，若两个变量X,y间的关系可以表示成y=（k,b为常数，kwo）的形式，则称y是

x的一次函数（x为自变量，y为因变量）。

特别地，当一次函数y=Zx+〃中的b=0时（即y=（k为常数，kwO）,称y是x的正比例函

数，

【题型1一次函数的概念】

［例1］（娄星区期末）在下列函数中：①y=・8x；②,=会+1：③y=V?+l：④y=-8』+5；⑤y

=・0.5x7,一次函数有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【变式II】（肥西县校级月考）下列函数：（l）y=3x；（2）y=2.v-l;（3）y=$⑷y=/-1；

（5）y=-*中，是一次函数的有（）个

A.4B.3C.2D.I

【变式1-2】（汉阴县期末）在①y=-8x：©y=-^：③尸石+1；@y=-5^+\：⑤y=O.5x-3中，一

次函数有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【变式1-3］下列语句中，y与x是一次函数关系的有（）个

（1）汽车以60千米/时的速度匀速行驶，行驶路程y（千米）与行驶时间x（时）之间的关系

（2）圆的面积），（厘米2）与它的半径上（厘米）之间的关系：

（3）一棵树现在高50厘米，每个月长高2厘米，x月后这个棵树的高度为），厘米，y与x的关系；

（4）某种大米的单价是2.2元/千克，当购买大米x千克大米时，花费），元，y与x的关系.

A.1B.4C.3D.2

【题型2利用一次函数的概念求值】

【例2】（昭通期末）若y=（八2）.世F+1表示一次函数，则左等于（）

A.0B.2C.0或2D.-2或0

【变式2-1］（雨花区期中）若函数），=（〃?+2）・5是一次函数，则〃?的值为（）

A.±2B.2C.-2D.±1

【变式2-2］（杨浦区期末）如果），=心+x+k是一次函数，那么火的取值范围是.

【变式2-3］已知y=(A-1)#】+(Ar-4)是一次函数.

(1)求人的值；

(2)求x=3时，y的值；

(3)当)，=0时，4的值.

【题型3正比例函数的概念】

【例3】(萝北县期末)若产(加+2)%+/・4是关于x的正比例函数，则常数〃尸.

【变式3-1］函数y=(Jt+I)/2是正比例函数，则常数女的值为.

【变式3-2】已知函数丁=〃a+25-相是正比例函数，则该函数的表达式为.

【变式3-3】已知函数)，=2口+〃+a+2h是正比例函数，则〃=.

【知识点2正比例函数和一次函数解析式的确定】

确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式)，="(kwO)中的常数k。确定一个一次函数，

需要确定一次函数定义式)，=h+/，(k*0)中的常数k和b。解这类问题的一般方法是待定系数法。

【题型4用待定系数法求一次函数解析式】

【例4】已知)，+2与x-I成正比例，且当x=3时，y=4.

(1)求)，与x之间的函数表达式；

(2)当y=l时，求x的值.

【变式4-1】己知y-1与x+2成王比例，且x=-1时，y=3.

(1)求)，与x之间的关系式；

(2)它的图象经过点〃?+1),求刑的值.

【变式4-2】直线A8与x轴交于点A(2,0),与丁轴交于点B(0,-4).

(1)求直线AB的解析式.

(2)若直线CD与AB平行,且直线CD与y轴的交点与B点相距2个单位,则直线CD的解析式为.

［变式4-3］已知一次函数产依+力，当x=2时y的值是-I,当x=-1时)，的值是5.

(1)求此一次函数的解析式：

(2)若点2(〃?，〃)是此函数图象上的一点，-3W〃忘2,求■的最大值.

【题型5用待定系数法求正比例函数解析式】

【例5】(青山区期中)已知正比例函数过点4(2,-4),点P在此正比例函数的图象上，若坐标轴上

有一点8(0,4)且三角形ABP的面积为8.

求：(1)过点A的正比例函数关系式；

(2)点尸的坐标.

环

6-

5-

4-

3

2

1111、

3456々

【变式5-1】已知函数y=〃a+25-〃?是正比例函数，则该函数的表达式为.

【变式5-2］若y=y\+y2且y\与工成正比例，”与(x-3)成正比例，当,v=1时y=3,当x=-1时y=9,

当x=3时y的值.

【变式5-3］已知一个正比例函数和一个一次函数的图象交于点P(-2,2)，且一次函数的图象与y轴相

交于点Q(0,4).

(1)求这两个函数的解析式.

(2)在同一坐标系内，分别画出这两个函数的图象.

(3)求出△POQ的面积.

【题型6一次函数解析式与三角形面积问题】

【例6】(赣州期末)如图，在平面直角坐标系中，直线AC与直线43交)，轴于点A,直线AC与x轴交

于点。，直线八8与％轴交于点8,已知人(0,4),B(2,0).

(1)求直线的解析式；

(2)若&A8C=12,求点C的坐标.

【变式6-1］(阿荣旗期末)已知：一次函数的图象与x轴交于点A(1,0),与)，轴交于点8(0,-2).

(1)求一次函数的解析式:

(2)若直线A8上的有一点C,且S“OC=2,求点C的坐标.

【变式6-2](泰兴市期末)如图，已知一次函数)，=履+。的图象经过A(-2,-1),B(L3)两点,

并且交x轴于点C,交y轴于点D.

(1)求该一次函数的表达式；

【变式6-3】(雄县期末)如图，直线经过点A(0,2)和C(6,・2),点8的坐标为(4,2),点尸

是线段AB上的动点(点P不与点A重合).直线/2：y=kx+2k经过点P,并与1\交于点M,过点P

作PALL/2,交人于点N.

(1)求人的函数表达式；

4

(2)当火得时，

①求点M的坐标；

一次函数与正比例函数-重难点题型（解析版）

【知识点1一次函数和正比例函数的概念】

一般地，若两个变量x,y间的关系可以表示成y=Lx+Z?（k,b为常数，kwO）的形式，则称y是

x的一次函数（x为自变量，y为因变量）。

特别地，当一次函数y=Zx+Z?中的b=0时（即y=（k为常数，kwO）,称y是x的正比例函

数，

【题型1一次函数的概念】

［例1］（娄星区期末）在下列函数中：®y=-8A-；②y

=-0.5x-1,一次函数有（）

A.1个B.2个C.3个D.4T

【解题思路】根据一次函数的解析式），=依+。awo）判定一次函数即可.

【解答过程】解：•••一次函数的解析式为）=履+方awo）,

>'=-8x,y=1x+1,y=-0.5A-1符合一次函数解析式形式，

・•・一次函数有①②⑤，

故选：C.

【变式1-1】（肥西县校级月考）下列函数：（l）），=3x：⑵），=211；（3）y=i；⑷尸/7；

（5）丫=弋中，是一次函数的有（）个

A.4B.3C.2D.1

【解题思路】直接利用一次函数的定义分析得出答案.

【解答过程】解：（1）），=3不是正比例函数，也是一次函数；

（2）y=2x-I是一次函数；

⑶尸为勺分母含有自变量】，不是-一次函数；

（4）1是二次函数，不是一次函数；

（5）），二一今是正比例函数，也是一次函数.

是一次函数的有3个，

故选：B.

【变式1-2】（汉阴县期末）在①y=-8x：②尸一*③产五+1;®y=-5/+I：@y=O.5x-3中，

次函数有（)

A.1个B.2个C.3个D.4个

【解题思路】根据一次函数的定义解答即可.

【解答过程】解：在①y=-8x：②尸一*③尸五+1；@y=~5^+1：⑤y=0.5x-3中，一次函数

有①y=-8x；⑤），=O.5x-3.

故选：B.

【变式1-31下列语句中，y与x是一次函数关系的有（）个

（1）汽车以60千米/时的速度匀速行驶，行驶路程），（千米）与行驶时间x（时）之间的关系

（2）圆的面积y（厘米2）与它的半径x（厘米）之间的关系；

（3）一棵树现在高50厘米，每个月长高2厘米，x月后这个棵树的高度为），厘米，y与x的关系；

（4）某种大米的单价是2.2元/千克，当购买大米x千克大米时，花费），元，y与4的关系.

A.1B.4C.3D.2

【解题思路】根据一次函数的定义逐个判断即可.

【解答过程】解：汽车以60千米/时的速度匀速行驶，行驶路程y（千米）与行驶时间k（时）之间的

关系，是一次函数；

圆的面积），（厘米2）与它的半径x（厘米）之间的关系，不是一次函数：

一棵树现在高50厘米，每个月长高2厘米，工月后这个棵树的高度为y厘米，y与X的关系，是一次函

数；

某种大米的单价是2.2元/千克，当购买大米x千克大米时，花费y元，与x的关系，是一次函数，

所以共3个一次函数，

故选：C.

【题型2利用一次函数的概念求值】

【例2】（昭通期末）若），=（h2）#"+I表示一次函数，则左等于（）

A.0B.2C.0或2D.-2或0

【解题思路】依据一次函数的定义可知k-1|=1且A-2N0,从而可求得女的值.

【解答过程】解：•・•函数产（h2）,"+3是一次函数,

：.\k-1|=1且（Z・2）W0,

解得：k=0.

故选：A.

【变式2-1］（雨花区期中）若函数y=（〃?+2）-5是一次函数，则〃?的值为（）

A.±2B.2C.-2D.±1

【解题思路】根据一次函数），=履+力（4W0）求解.

【解答过程】解：・・・|〃?|7=1,

.*./?/=±2,

又又，+2W0,

"W-2,

in=2t

故选:B.

【变式2-2］（杨浦区期末）如果尸立“+攵是一次函数，那么t的取徜范围是4#7.

［解题思路】根据一次函数的定义条件直接解答即可.

【解答过程】解：・・j=K+x+k是一次函数，

・・・k+lWO.

故答案为：AW-1.

【变式2-3］已知y=（k-1）W-4）是一次函数.

（I）求女的值；

（2）求尸3时，y的值;

（3）当y=0时，工的值.

【解题思路】（1）直接利用一次函数的定义得出k的值即可；

（2）利用（1）中所求，再利用x=3时，求出y的值即可；

（3）利用（1）中所求，再利用y=0时，求出x的值即可.

【解答过程】解：（1）由题意可得：伙1=1,k-1^0,

解得：k=-1；

（2）当x=3时，y=-2x-3=-9；

（3）当y=0时.（）=-2x-3,

解得：x=

【题型3正比例函数的概念】

【例3】（萝北县期末）若尸（m+2）广毋-4是关于x的正比例函数，则常数2.

【解题思路】依据正比例函数的定义求解即可.

【解答过程】解：•••），=（〃计2）x+病-4是关于x的正比例函数，

in+2^0,nr-4=0,

解得；〃?=2.

故答案为：2.

【变式3-1】函数），=（A+1）”『是正比例函数，则常数3的值为1.

【解题思路】根据正比例函数的定义可得出关于A的方程，即可得出Z的值.

【解答过程】解：&+1H0,9=1,

：.k=\.

故填1.

【变式3-2】已知函数y=〃a+25-〃?是正比例函数，则该式数的表达式为\=25x.

［解题思路】根据正比例函数的定义求解即可二

【解答过程】解：由题意，得

25-m=0,

解得77?=25,

该函数的表达式为）=25彳，

故答案为：y=25x.

2

【变式3-3】已知函数y=2一+紧"2。是正比例函数，则〃=-.

,-3—

【解题思路】根据正比例函数的定义进行选择即可.

【解答过程】解：•・•函数方+。+2〃是正比例函数，

2a+b—1,a+2b—0,

解得a=

故答案为|.

【知识点2正比例函数和一次函数解析式的确定】

确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式y=Ax（kHO）中的常数k。确定一个一次函数,

需要确定一次函数定义式），=kr+〃（kwO）中的常数k和b。解这类问题的一般方法是待定系数法。

【题型4用待定系数法求一次函数解析式】

【例4】已知尸^2与x・1成正比例，且当x=3时，y=4.

（1）求），与x之间的函数表达式；

（2）当y=l时，求x的值.

【解题思路】⑴已知y+2与x-1成正比例，即可以设），+2=k（x-1）,把x=3,尸4代入即可求

得大的值，从而求得函数解析式；

(2)在解析式中令)，=1即可求得入•的值.

【解答过程】解：(1)设尹2=&(x-1),把x=3,y=4代入得：4+2=2(37)

解得：k=3,

则函数的解析式是：＞2=3(A--1)

即y=3x-5；

(2)当)=1时，3「5=1.解得4=2.

【变式4-1］已知y-1与A+2成王比例，且A=-I时，y=3.

(1)求)，与x之间的关系式；

(2)它的图象经过点(m-1,m+l),求m的值.

【解题思路】(1)根据y-1与x+2成正比例，设y-l=k(x+2),把x与)，的值代入求出％的值，即

可确定出关系式：

(2)把点(加・1,，〃+1)代入一次函数解析式求出机的值即可.

【解答过程】解：⑴根据题意：设)，-1=女(x+2),

把彳=-1,y=3代入得：3-l=Jt(-1+2),

解得：&=2.

则1y与x函数关系式为1y=2(.r+2)+l=2x+5；

(2)把点(m-I,m+1)代入1y=2x+5得：5+1=2(w-I)+5

解得tn—~2.

【变式4-2】直线A8与x轴交于点A(2,0),与)，轴交于点B(0,-4).

(1)求直线A8的解析式.

(2)若直线CD与AB平行，且直线CD与y轴的交点与B点相距2个单位，则直线CD的解析式为q

=2x-2或y=2x-6.

【解题思路】(I)由点4、B的坐标，利用待定系数法即可求出直线的解析式；

(2)找出在)，轴上与B点相距2个单位的点的坐标，再结合直线CD与4/3平行，即可得出直线CD的

解析式.

【解答过程】解：(1)设直线A3的解析式为)，=履+〃(^0),

将点A(2,0)、B(0,-4)代入)，=近+人中，

优+)=0,解得：｛”2

3=-4S=-4

・•・直线AB的解析式为y=2x-4.

(2)在y轴上与B点相距2个单位的点的坐标为(0,-2)或(0,-6).

又•・•直线8与平行,

・•・直线CD的解析式为y=2x-2或y=2x-6.

故答案为：y=2r-2或y=2x・6.

【变式4-3】已知一次函数），=依+。，当x=2时），的值是-1,当x=-l时y的值是5.

（1）求此一次函数的解析式；

（2）若点尸（〃?，〃）是此函数图象上的一点，-3W机W2,求〃的最大值.

【解题思路】（1）把x=2,），=-1代入函数）=去+4得出方程组，求出方程组的解即可；

（2）根据函数的性质得出机=-3时〃最大，代入求出即可.

【解答过程】解：（1）依题意得：

解得：仁；2,

3=3.

所以一次函数的解析式是），=・"+3：

（2）,・•由（1）可得，y=-2T+3,

：,k=-2<0,y随x的增大而减小，

又•・•点P（〃?，〃）是此函数图象上的一点，-3WmW2,

，把m=-3代入得出n的最大值是-2X（-3）+3=9,

即〃的最大值是9.

【题型5用待定系数法求正比例函数解析式】

【例5】（青山区期中）已知正比例函数过点A（2,・4）,点P在此正比例函数的图象上，若坐标轴上

有一点8（0,4）且三角形ABP的面积为8.

求：（1）过点A的正比例函数关系式；

（2）点P的坐标.

6

5

4

3

2

1

-6-5-4-3-2-1(?123456X

-2

-3

-4

-5

-6

【解题思路】(1)设正比例函数的解析式为)=丘(AKO),再把A(2,-4)代入即可求出A的值;

(2)设出P点坐标，再分xVO与x>0两种情况进行讨论.

【解答过程】解：(1)设正比例函数为)，=依awo),

VA(2,-4),

・•・・4=2k,解得左=-2,

工正比例函数的解析式为：y=-2v.

(2)设尸(x,-2A)

如图1所示，当x〈O时，SdBP=SMBO+S“BO=-4x-?2+4X24-2=8,

解得x=-2,

:・P(・2,4)；

②如图2所示，

当x>0时SfABP=S»BO-SMBO=4X^2-4X24-2=8,

解得x=6.

:.P(6,-12).

综上所述，P点坐标为(-2,4),(6,-12).

【变式5-1］已知函数y=〃a+25-〃?是正比例函数，则该函数的表达式为y=25x.

【解题思路】根据正比例函数的定义求解即可.

【解过程答】解:由颗竟，得

25-/〃=(),

解得机=25,

该函数的表达式为y=25x,

故答案为：y=25x.

【变式5-2］若)，=尸+”且)，1与x成正比例，”与(x-3)成正比例，当x=l时y=3,当x=-I时y=9,

当x-3时y的值.

【解题思路】设yi=av,y2=k（x3）,由当K=1时y=3,当,v1时），=9可得美于（7、A-的两个

等式，联立方程组即可求出小女，得出），关于x的函数关系式，再把％=3代入，求解即可.

【解答过程】解：设）2=女（x-3）,

»\y=ax+k(x-3).

由当x=1时y=3,当x=-1时y=9可得,

3=a+k(l—3)

9=一。+软一1-3)'

解得:a=-1

k=-2

与x之间的关系式为：y=-x-2（x-3）,即y=-3户6；

・••当x=3时,y=-3X3+6=-3.

【变式5-3】已知一个正比例函数和一个一次函数的图象交于点P（・2,2）,且一次函数的图象与y轴相

交于点Q(0,4).

（1）求这两个函数的解析式.

（2）在同一坐标系内，分别画出这两个函数的图象.

（3）求出△POQ的面积.

【解题思路】（I）设正比例函数解析式为y=〃a,一次函数解析式为），=依+4,将（-2,2）代入可得

出两个解析式.

（2）运用两点法确定直线所在的位置.

（3）面积=4。。|・|尸根驻标］,由此可得出面积.

【解答过程】解：设正比例函数解析式为），=，内，一次函数解析式为,，=公+4,

将(-2,2)代入可得2=-2w,2=-2/7+4,

解得:m=-1,n=1，

，函数解析式为：y=-X；y=x+4.

（2）根据过点（-2.2）及（0,4）可画出一次函数图象，根据（0,（））及（-2,2）可画出正比例函

数图象.

【题型6一次函数解析式与三角形面积问题】

【例6】(赣州期末)如图，在平面直角坐标系中，直线AC与直线A8交)，轴于点A,直线AC与x轴交

于点C,直线与工轴交于点8,已知A(0,4),B(2,0).

(1)求直线4B的解析式；

(2)若S/,ABC=l2f求点C的坐标.

【解题思路】(1)利用待定系数法求直线A8的关系式;

(2)根据S”8c=12,可求出OC,进而确定点C坐标.

【解答过程】解：(1)设直线4B的关系式为＞，=依+。，

将A(0,4),B(2,0)代入得，

b=4,2"8=0,

即k=-2,b=4,

，直线AB的关系式为)，=-2r+4；

(2)VSA4FC=12,

1

：-BC*OA=\2,

2

又•・Q=4,OB=2,

，8C=6,

/.OC-BC-OB-6-2-4,

・••点C(-4,0).

【变式6-1］（阿荣旗期末）已知：一次函数的图象与x轴交于点A（1,0）,与），轴交于点6（0,-2）.

（1）求一次函数的解析式：

（2）若直线4B上的有一点C,且SABOC=2,求点C的坐标.

【解题思路】（1）设直线A6的解析式为、=履+4将点A（1,0）、点8（0,-2）分别代入解析式

即可组成方程组，从而得到AB的解析式；

（2）设点。的坐标为（x,,根据三角形面积公式以及治3℃=2求出。的横坐标，再代入直线即

可求出），的值，从而得到其坐标.

【解答过程】解：（1）设直线4B的解析式为）（ZW0）,

•・,直线AE过点A（I,0）、点、B（0,-2）,

k+b=0

b=-2

・•・直线AB的解析式为y=2x-2.

（2）设点。的坐标为（x,y）,

'：S&BOC=2,

1

•••一・2・|x|=2,

2

解得x=±2,

••.y=2X2-2=2或y=2义（-2）-2=-6,

，点。的坐标是（2,2）或（-2,-6）.

【变式6-2］（泰兴市期末）如图，已知一次函数y=依+力的图象经过A（-