2026高考数学复习（湘教版）第三节 两角和与差的三角函数、二倍角的三角函数

第三节两角和与差的三角函数、二倍角的三角函数

【课程标准】1.经历推导两角差余弦公式的过程，知道两角差余弦公式的意义.

2.能推导两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式,

了解它们的内在联系.3.能运用上述公式进行简单的恒等变换.

教材梳理

1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式的关系

两

角

差

公

式

两

角

和

公

式

二

倍

角

A2tana

公tan2a=--------z—

I-tan/a

式

［微提醒］(1)二倍角公式就是两角和的正弦、余弦、正切公式中。=/，的特殊情

况.⑵二倍角是相对的，如：鸿的二倍角，3a是手的二倍角.

2.辅助角公式

osina+bcosa+b2sin(a+(p),其中sin(p=、，cos(p=,

y/Ja2+b2>Ja2+b2

【常用结论】

⑴公式的常用变形：tanaitan^=tan(a±/?)(l+tan6itan/?)；tan«tan£=1一

tancr+tan/?tana-tan/?,1..

smsin

言丽T而FT；ass«=52a

(2)降幕公式：sir?0工铲；cos2k野经

(3)升幕公式：l+cosa=2cos2］；1—cosa=2sin2^；

2

1+sina=(sin+cos；1—sina=

【自主检测】

1.（多选）下列结论错误的是（）

A.8,使等式sin(a+/O=sina+sin/7

B.两角和与差的正切公式中的角a，夕是任意角

尸

C.公式tan(a+尸tana+tan/?可以变形为匕0a+tan/?=tan(«+/0(1—tan«tan/?),且

1—tenatanp

对任意角a,4都成立

D.公式tzsinx+hcosx=y/az4-Z?2sin(x+(p)中夕的取值与a,b的值无关

答案：BCD

2.sin20°cos10°一cos160°sin10°=()

V3

A.—

2B.T

C.D・\

2

答案:D

解析：sin20°cos10°-cos160°sin10°=sin20°cos100+cos20°sin10°=sin(20°+

10°）=sin30。=1•故选D.

3.若cosa=—I，。是第三象限角，则sin（a+9等于（）

J2

A.B・w

_7V2

C.D.运

1010

答案：C

解析:因为。是第三象限角，cosa=一：,所以sina=-Jl—cos2a=一：,所以sin(a+

DY。

.TT..n3V2,/4\V27尤+八灶小

7)=sm«cos-+cosasin-=--x—+1--)x—=-叔选c.

4/4452\5/210

4.-1-—--t-a-n-l-5-°-

,l+tanl50

答案：Y

到十匚.1—tanl5°tan450—:anl5°.百

解析：：Z/1CO

1l-+-t-a-n-l75707=11-4---t-an7475~cta~n-l5-0=tan(\45°—15°)'=tan30°=—3.

5.(用结论)tan100+tan50O+V3tan10°tan50°=

答案：V3

解析：因为tan60o=tan(10o+50°)tJnl°+tanS0,所以tan10°+tan500=tan60°(l

1—tanl00tan500

—tan10°tan50°)=V3—V3tan100tan500,所以原式=8一VJtan10°tan50°+V3tan

10°tan50°=V3.

学生用书,第92页

考点探究提升能力

考点一和、差、倍角公式的直接应用自主练透

1.(2020,全国/〃卷)已知2tan0—tan(。+；)=7,则tan0=()

A.-2B.-1

C.1D.2

答案:D

解析：由已知得7,整理得3%—4l川，十4-0,所以Um£-2.故选

1—tan0

D.

2.(2023,新课标/卷)已知sin5一五)=3cosasin0=之,贝！]cos(2a+2^)=()

36

A，B.

99

c-4D・W

答案：B

1]]

解析:因为sin(a—五)=sinacosp—cosasin/?=-,而cosasin/?=-,因此sinacosp=-

362

则sin(a+/?)=sinacos夕+cosasin/?=|,所以cos(2a+2/?)=cos2(a+/?)=1一

2sin*12(3«+^)=l-2x(|).故选B.

2cos500—V3sinl00.

3.-的值为

cos10°

答案：1

解析：因为2cos(60。-10。)=2弓8510。+与sinl()o)=cosI()o+V5sin10。，所以原

_1X_COS10°_[

^-COS100--

4（2024・湖北七市洲）联合统考）若耐卜。片则觥篇

答案：f

解析：因为sin（：—eH，所以sin}os0—cos^sin即cos。―sin。=鼻所以

cos20—sin20(cos0+sin0)(cos0—sin©)

原式」cos0-sin

sinJ+cosdsinJ+cos。

・规律方法・

利用三角函数公式解题时应注意的问题

1.首先要注意公式的结构特点和符号变化规律.例如两角差的余弦公式可简记为

“同名相乘，符号相反”.

2.应注意同角三角函数的基本关系与诱导公式的综合应用.

3.应注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用.

考点二公式的逆用与辅助角公式的应用多维探究

角度1公式的灵活应用

2

典例0(1)(2021•全国乙卷)cos2v—cos^=()

B.?

A-5

c-TD4

(2)已知a,用£(-],0),且tana+tan^+V3tanatan/?=V3,则a+/?=

答案：(1)D⑵后

解析:⑴因为cos*SinQ—^)=sin已所以cos%—cos书

=COS2^—sin*=cos(2x£)=。唠=当故选D.

⑵由tana+tan/?+V3tanatan得，tan(a+丑尸.；：：：；：*=8，

又a,尸£（—0）,则a+蚱（一TT,0）,所以a+6=—^.

角度2辅助角公式的应用

典例❷（1）（2020・全国/〃卷）已知sin0+sin（。+,则sin（。+?）=（）

V3

A・5B.T

在

C2D.

J32

（2）已知3sinx—4cosx=5sin（x+0）,贝物所在的象限为（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

答案：（1）B（2）D

解析：⑴法一：因为sin0+sin（6+§=|sin夕十*osJ=V5sin（。+?）=1，所以

sin（04-=曰.故选B.

法二：因为sin0+sin（。+1）=sin（8+^—§+sin（6+1+1）=sin（8+仁）cos^—

cos（84-^sin：+sin（e+^cos^+cos^0+^sin

7=2sin+^Ycos^=V3sin（0+2）=1，所以sin（。+弓）耳.故选B.

6

43

（）（（）其中（-s9-

23sinx_4cosx=5|sinx+—cosx]=5sinx+9,sinp5co5

所以9所在的象限为第四象限.故选D.

■规律方法・

三角函数公式的活用技巧

1.逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式.

2.tanatan/?,tana+tan以或tana-tan夕），lan（a+/f）（或tan（a一夕））三者中可以知二

求一，应注重公式的逆用和变形使用.

3.对osinx+bcosx化筒时，辅助角/的值如何求要清楚.

注意：（1）公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系.（2）注意特殊角

的应用，当式子中出现/1,苧，苗等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，

把“值变角”以便构造出适合公式的形式.

对点练1.（多选）下列等式能够成立的为（）

A.sin15°cos15°=1

B.sin75°cos150+cos75°sin15°=1

C.cos105°cos75°-sin105°cos15°=-1

D.V3sin150+cos15°=1

答案：BC

解析：对于A,sin15°cos15°=isin30°=i,故A错误；对于B,sin75%osH+cos

75°sin15°=sin(75°+15°)=sin90°=1,故B正确；对于C,cos105°cos750-sin

105°cos15°=cos105°cos75°-sin105°sin75°=cos(105°+75°)=cos180°=~1,故C

正确；对于D,V3sin15°+cos15°=2sin(15°+30°)=2sin45°=V2,故D错误.故选

BC.

学生用书J第/页

对点练2.(2022•新高考II卷)若sin(a+//)+cos(a+S)=2&cos(a+：)sin/?,则()

A.tan(a—^)=1B.tan(a+^)=l

C.tan(a一夕)=-1D.tan(a+^)=—1

答案：C

解析：由题意得sinacos夕+sin夕cosa+cosacosP-sinasin

4=2或x](cosa-sina)sin夕，整理得sinacos口—cosasin夕+cos«cos夕+sin«sin

8=0,即sin(a—/^)+cos(a一6)=0,所以tan(«一")=—1.故选C.

对点练3.化简：lan10°tan20°+tan20°tan60°+tan60°tan10°=.

答案：1

解析：原式=tan10°tan200+tan60°(tan20°+tan10°)=tan10°tan20°+\/3tan

(20°+10°)(l-tan20°tan100)=tan10°tan200+1-tan20°tan10°=l.

考点三变换求值多维探究

角度1三角公式中的变“角”

典例§⑴已知Q，蚱传,n),sin(a+/?)=-1，sin(夕一则

cos(a+：)=.

⑵已知tan(。+4)=1,tan(a一万)=g则tan(兀-2a)=________.

4-J

答案：⑴Y⑵T

解析：⑴由题意知，Q+££管，2TT),又sin(a+为=—/所以cos(a+S)。因

为“六£(》》sin(0-；)嗜所以cos(0-*W，阴乂

cos(a+：)=cos[(a+0)—(/?—9]=cos(a+/?)cos«—：)+sin(a+

X(_^)+(_9XH="?

（

⑵因为tan（7r-2a）=-tan2a,tan23\；；2；；；；二）二击口,

所以tan(兀—2«)=—1.

・规律方法・

三角函数公式求值中变角的解题思路

1.当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形

式.

2.当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关

系，再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角.

角度2三角公式中的变“名”

典例EJ(1)(2024•四川乐山模拟)已知cos(8+亮,同0,»则

讨20—力--------•

(2)已知0＜。＜5＜少＜兀，tan«=^,cos(£—a)=y|,贝!Jsina=________,cosB=________.

4OJLI/

答案：（i|（2）i个

解析：（1）由题意可得cos2（0+：）=上斗竺工套则cos3+/）=—sin2〃=一%

BPsin2^.0^cos（0+9=^>0,夕£（0,欧，所以0<。寸，2蚱（0,以，根

据同角三角函数基本关系式，可得cos20=1,所以原式=$吊20cosm—cos

r八.IT413V34-3>/3

2的疗5-七

⑵因为且tana4所以sincos由。〈。〈卜作兀，贝!在一

兀，又因为cos(/?—Q)H，则sin(夕一。)=等，所以cos£=cos[(/?—a)+a]=cos(夕

、/〃、企37&4企

-a)cosa•-sin(p-•«)sina=————^-=——.

XV*。XU4

・规律方法・

三角函数名的变换技巧

明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角三角函数的基本关系、诱导公

式，进行正弦、余弦和正切之间的转化.

对点练4.(2024•河北邢台模拟)已知sinQ—则cos(2a+y)=()

_7

A.

8B.5

D.萼

C.

8

答案：A

解析:由sin6—0)=[,得85倍—2戊)=1—2sin20—(z^=^,cos^2cr+y)=cos[ir-

(y-2a)]=-cos偿-2a)=-.故选A.

对点练5.(2025•安徽安庆模拟)已知第二象限角。满足sin(IT+a)=—则sin2/9

—2sin(a+6)cos(a—/?)=()

i_4宜

A.11V-B.

99

14V5

C.D.

99

答案：D

解析：由题易得sin若，且夕为第二象限角，所以cos__小_(|)2=一苧,所

以sin2在一2sin(a+6)cos(a—0)=sin[(a+夕)—(a—/?)]—2sin(a+/?)cos(a—/?)=一

[sin(a+/?)cos(a—/?)+cos(a+^)sin(«­/?)]=—sin2a=-2sinwcosa=—

2+(一?=竽故选口.

考教衔接

［真题再现］（2024•全国甲卷）已知口箸蓝=於，则tan（a+：）=（）

A.2V3+1B.2V3-1

C.yD.1-V3

答案：B

解析：根据题意有工陋=尊EP1-tan所以tana=lT，胁

cosa333

?_<3

tan（a+—1.故选B.

\4/1—tana上

3

「教材呈现］（湘教版必修二P72例7）已知tana=^,分别求下列各式的值：

（l）tan（a+1）；（2）tan（a一胃

点评：高考题中的条件3。=旧化简结果为tana=l—所以高考题与教材

cosa-s\na3

例题的考查角度完全一致，只是换了一个数值而已

对应学生

课时测评29两角和与差的三角函数、二倍角的三角函数

用书P367

（时间：60分钟满分：100分）

（本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订!）

。基础排查练（每小题5分，共60分）

1.（2024•山东威海二模）已知sin（a—则cos管-2a）=（）

A.£4B.T4

c-ID-4

答案：C

解析：因为sin（a-g=g,所以cos管—2a）=cos（2a—g）=cos2（a一刑

2

=1-2sin2（a—9=1—2x（g）=|.故选C.

2.（2025•广东佛山一模）已知sin。邛，a为钝角，tan（a一6）=:，则tan”=（）

A.1B.-1

C.2D.-2

答案：B

解析：因为sinc(q,所以cosa=±Jl—5访2«=理^因为a为钝角,

所以cosa=一手，贝!Itan所以tan^=tan[a—(a—/?)]

_tana_tan(a_/?)__彳一1__i士打淋R

-

l+tanatan(a-/?)i+(-l)xl-1改磔*,

3.(2024•湖北高三四调)已知sinasinQ-a)=3cosasin(a+今)，则

cos(2a+§=()

A.4B.-1

C.ID.4

22

答案:C

解析:由sinasinQ-a)=sinasin[^—(a+§]=sinacos(a+]=3cosasin(a4-J

所以tana=3tan(«+。则tan«=3乂黑藤弋器,所以tan2a+2aan/3=。,

则tana=—V3,故tan(a+：)=-y,所以

勺妇⑥上吧喧柏冲r

cos(2a+g_cos2(a+-siM=1

cos2(a+^+sin2(a+方)1+tan2(a+§2*

4.(2025・湖北武汉模拟)函数/(x)=3cosx—4sinx,当.©)取得最大值时，sin

X=()

A.I4B.4

oo

C.|3D.-13

答案：B

解析:y(x)=3cosx—4sinx=5Qcosx—^sinx^=5cos(x4-(p),其中cos夕=1,

sineW，而/(%)=3cosx—4sinx=5cos(x+9)W5,等号成立当且仅当

x+(/>=2kit(kZ),此时sinx=sin(—</?)=-sin夕=—?.故选B.

J

5.(2024・九省联考)已知柞管，n),tan2柒—4tan(。+则短％=()

A.iB.2

44

3

c.1D.f

答案:A

解析：由tan26=—kan®+7),得"吗=4但疝：1』—4(tan0+l)2=2tan8,则

\4/1—lair^1—lan0

2tan?0+5tan0+2=0,得tan〃=g或一2,因为得，2),tan0^(—1,0),所

l+sin20sin20+cos20+2sin0cos0tan20+l+2tan0tanO+11

以lan0=—I，所以.故选A・

2cos-0+sin202cos20+2sin0cos02+2tan624

6.（2025•广东惠州模拟诺tan贝1」sin（2a+与=（）

A，-3B-I

C勺

J9D・5

答案：D

解析：因为tanaU^,所以翳专案,即3sina-sin2a=套外所以

3sina=sin2a+cos2a=l，即sina=1,所以sin(2a+；)=cos2a=l-2sin%=(故选D.

•J\fcX7

7.（多选）（2024•广西玉林模拟）下列式子等于cos（T）的是（）

A.cos^x-B.sin（-?）

-V3cosx+sinx

c・2D.2cos2哈一^)—1

答案：CD

解析:cos(x—D=cos(%+.—n)=—cos(x+.)rcos(x—,故A不正确;sin(x-

y)=sin(x-：-9=—cos(x-^^cos(x-§,故B不正确；、,"0丁皿=*0s

x+|sinx=cos(x-J,故C正确；2cos2^——1=cosQ—x)=cos(x—,故D

正确.故选CD.

8.（多选）（2025•北京东城模拟）2024年7月27日，在印度新德里召开的联合国教

科文组织第46届世界遗产大会通过决议，将“北京中轴线一一中国理想都城秩

序的杰作”列入《世界遗产名录》.北京中轴线实际上不是正南正北的，它向西

偏离了子午线约2。，下列各式与cos2。相等的是（）

A.1-2sin2l°B.2cos2l0-l

C.注D.2sinl°cosl°

tan2°

答案：ABC

解析：对于A,由二倍角公式可得cos2o=l—2sin2i。；对于B,由二倍角公式可

得cos2o=2cos1；对于C,因为tan2。1嚓，所以^;=cos2。；对于D,由

cosztan/

二倍角公式可得2sin1,cosl°=sin2。声cos2。.故选ABC.

9.（多选）下列计算中正确的是（）

tanlS°+l/x

A・

B.cos422.5°-sin422.5°=^

C.sin15°sin45°sin75°=^

D.tan370+tan230+V3tan37°tan23°=1

答案：ABC

解析：因为詈昌二,tan60。=一6，故A正确；cos422.5。一

sin422.5°=(cos222.50+sin222.50)(cos222.5°—sin222.5°)=cos450=争故B正确；sin

15°sin45°sin75°=sin15°cos15°sin45°=|sin30°sin450=名故C正确；因为tan

28

60。=12437。+23。)=：：；3；：：；3，=7^,所以tan3704-tan23。+俑an37°tan23。=®

故D错误.故选ABC.

10.（2025•湖南湘潭质量检测卢噜拦黑兰的值为（）

1十CO54U

1

A.B.2-

3

c.；D.2

2

答案：C

(sin500+sin700)2[sin(60°-10°)+sin(600+10°)产

解析:

l+cos2001+2COS2100-1

(2sin600cosl00)23cosz1003

.故选

2cos210。2cos210。2c.

11.已知cosp_3sina=2,sin^+3cos贝！］sin(6—a)=.

答案：4

解析：由cos4—3sina=2得(cos0—3sina)2=cos2^—6cos//sina+9sin2a=4①，

由sin4+3cos导(sin夕+3cosa)2=sin2/?+6sin夕cosa+9cos2a=1②,①+②得，

10+6(sin//cosa—cos佻ina)=10+6sin(//—a)=—,所以sin(6—a)=盛.

12.(开放题)满足等式(1—tana)(l—tan夕)=2的数组3，4)有无穷多个，试写出一

个这样的数组.

答案：（0,胡（答案不唯一，满足比Z即可）

解析：由（1—tana）（l—tan£）=2,彳导1—（tan«+tan为+tanatan£=2,所以tana+tan

/?=tanatan/?-1,所以tan（a+.）=⑶"+⑶巾=tan"⑶邛；=,所以仪十代牛+版，〃

产产'产,l-tanatan/71-tancrtan。产4

eZ,所以可取介个，所以（a,为可以为（0,亍）.

薮综合运用练（每小题8分共16分）

13.（多选）（2024•安徽黄山高三质检）管嗡器=则tan管+（k£Z）的值可

能是（）

AA.-1BC.-1

23

C.2D.3

答案：CD

解析：由余弦的二倍角公式知，si"；?-y叽如

sin0+cos0

,（3。一刖。）=喘SS匹端誓=V即5tan"5，/。一3—3输夕，即

2tan2^—5tan。-3=0,解得tan3=弓或tan8=3,当k=2m(m£Z)时，

tan^y+e)=tan(mn+0)=tan当k=2ni—1(〃?WZ)时，tan^mir4-0—^=tan(0—

力一熹，所以，当tanO=一；时，tan管+。)=一；或tan(T