2026年高三函数 测试题及答案

2026年高三函数测试题及答案

一、单项选择题（共10题，每题2分）1.函数$f(x)=\sqrt{4-x^2}+\frac{1}{x-1}$的定义域为（）A.$[-2,2]$B.$[-2,1)\cup(1,2]$C.$(1,2]$D.$[-2,1)\cup(1,+\infty)$2.已知$f(x)=2x+3$，则$f(f(x))$的表达式为（）A.$4x+9$B.$4x+6$C.$2x+9$D.$4x+3$3.下列函数中，既是奇函数又在$(0,+\infty)$上单调递增的是（）A.$f(x)=x^3$B.$f(x)=x^2$C.$f(x)=\sinx$D.$f(x)=|x|$4.函数$y=2^x$的反函数是（）A.$y=\log_2x$B.$y=\log_x2$C.$y=\frac{1}{2^x}$D.$y=x^{\frac{1}{2}}$5.将函数$y=\log_3x$的图像向右平移2个单位，再向上平移1个单位，所得函数的解析式为（）A.$y=\log_3(x-2)+1$B.$y=\log_3(x+2)+1$C.$y=\log_3(x-2)-1$D.$y=\log_3(x+2)-1$6.函数$f(x)=\frac{x-1}{x+2}$的对称中心是（）A.$(1,-2)$B.$(-2,1)$C.$(1,1)$D.$(-2,-1)$7.已知函数$f(x)$是定义在$\mathbb{R}$上的周期为4的函数，且$f(1)=5$，则$f(19)$的值为（）A.1B.5C.19D.无法确定8.设函数$f(x)=\begin{cases}x^2&x<0\\2x-1&x\geq0\end{cases}$，则$f(f(-1))=$（）A.1B.-1C.0D.39.函数$f(x)=\sqrt{x}-\lnx$的零点所在的大致区间是（）A.$(0,1)$B.$(1,e)$C.$(e,e^2)$D.$(e^2,+\infty)$10.已知函数$y=f(x)$在定义域内可导，其导函数$f'(x)$的图像如右图所示，则函数$y=f(x)$（）A.在$(-\infty,a)$上单调递减，在$(a,+\infty)$上单调递增B.在$(-\infty,a)$上单调递增，在$(a,+\infty)$上单调递减C.在$(-\infty,a)$上单调递增，在$(a,+\infty)$上单调递增D.在$(-\infty,a)$上单调递减，在$(a,+\infty)$上单调递减二、填空题（共10题，每题2分）1.函数$f(x)=\frac{1}{x-2}+\ln(3-x)$的定义域是__________。2.若函数$f(x)=\frac{1}{x}$，则$f(2x-1)=$__________。3.函数$f(x)=\log_{\frac{1}{2}}(x^2-4x+3)$的单调递增区间是__________。4.已知$f(x)=\begin{cases}x^2+1&x\leq0\\-x+2&x>0\end{cases}$，则方程$f(x)=2$的解为__________。5.函数$y=3^{\sinx}$的最小值为__________。6.若函数$f(x)=2x^3-3x^2-12x+5$在区间$[a,a+1]$上存在最小值，则实数$a$的取值范围是__________。7.已知函数$f(x)=e^x-2x$的零点个数为__________个。8.函数$f(x)=\cos(2x+\frac{\pi}{3})$的最小正周期是__________。9.若函数$f(x)=\sinx+a\cosx$的图像关于直线$x=-\frac{\pi}{4}$对称，则实数$a=$__________。10.点$P(1,2)$关于函数$y=\frac{1}{x}$图像对称的点的坐标为__________。三、判断题（共10题，每题2分）1.若函数$f(x)$在区间$(a,b)$上单调递增，则其反函数在此区间上也单调递增。（）2.函数$f(x)=\sin^2x+\cos^2x$是周期函数。（）3.定义在$\mathbb{R}$上的奇函数$f(x)$一定满足$f(0)=0$。（）4.函数$y=f(|x|)$的图像关于$y$轴对称。（）5.若函数$f(x)$在$x_0$处可导，则$f(x)$在$x_0$处必定连续。（）6.函数$f(x)=\ln(x^2+1)$在其定义域内没有最大值也没有最小值。（）7.两个周期函数的和一定是周期函数。（）8.函数$y=\frac{x+1}{x-1}$的值域为$\mathbb{R}\setminus\{1\}$。（）9.若函数$f(x)$满足$f(x+1)=f(x)$，则其最小正周期一定是1。（）10.函数$f(x)=\sqrt{x^2+1}$是偶函数。（）四、简答题（共4题，每题5分）1.证明函数$f(x)=x+\frac{1}{x}$在区间$(1,+\infty)$上的单调性。2.已知函数$f(x)=a\cdot2^x+b\cdot2^{-x}$是偶函数，求实数$a$与$b$的关系。3.设函数$f(x)$是定义在$\mathbb{R}$上的周期为$T$的函数，证明对任意实数$x$，有$f(x+nT)=f(x)$，其中$n$为任意整数。4.讨论函数$f(x)=\frac{1}{x}$在其定义域内是否存在反函数？若存在，求出其反函数的定义域和值域。五、讨论题（共4题，每题5分）1.某工厂生产一种产品，其月总成本$C$（万元）与月产量$x$（百件）的函数关系为$C(x)=0.5x^2-2x+5.5$。若每百件产品售价为10万元，试讨论该工厂如何安排生产才能使月利润最大？最大月利润是多少？2.已知函数$f(x)=x^3-3x+1$。(1)证明方程$f(x)=0$在区间$(1,2)$内至少有一个实根；(2)利用二分法求该实根的近似值（精确到0.1）。3.设函数$f(x)=\log_a(x-1)+\log_a(x+1)$，其中$a>0$且$a\neq1$。(1)求函数$f(x)$的定义域；(2)若$f(x)$在定义域的某个子区间上单调递减，求$a$的取值范围。4.定义函数$f(x)$在$[a,b]$上的平均变化率为$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$。考虑函数$f(x)=x^2$在区间$[1,x]$上的平均变化率$g(x)$。(1)写出$g(x)$的表达式并求其定义域；(2)讨论函数$g(x)$在区间$(1,+\infty)$上的单调性及其最值情况。---答案及解析一、单项选择题1.B解析：需满足$4-x^2\geq0$且$x-1\neq0$，解得$x\in[-2,2]$且$x\neq1$。2.A解析：$f(f(x))=f(2x+3)=2(2x+3)+3=4x+9$。3.A解析：$f(x)=x^3$为奇函数，且在$(0,+\infty)$上$f'(x)=3x^2>0$，单调递增。4.A解析：由$y=2^x$得$x=\log_2y$，交换$x,y$得反函数$y=\log_2x$。5.A解析：左加右减，下加上减。右移2单位：$y=\log_3(x-2)$；再上移1单位：$y=\log_3(x-2)+1$。6.B解析：$f(x)=\frac{x-1}{x+2}=1-\frac{3}{x+2}$，对称中心为$(-2,1)$。7.B解析：周期为4，故$f(19)=f(19-4\times4)=f(19-16)=f(3)$，需知$f(3)$。但$f(1+4)=f(5)=f(1)=5$，同理$f(3)$未直接给出，但$f(1)=5$是已知点，无其他信息，无法确定$f(3)$。8.D解析：$f(-1)=(-1)^2=1$（因$-1<0$），$f(f(-1))=f(1)=2\times1-1=1$（因$1\geq0$）。9.B解析：$f(1)=\sqrt{1}-\ln1=1>0$，$f(e)=\sqrt{e}-\lne\approx1.648-1>0$，$f(e^2)=\sqrt{e^2}-\lne^2=e-2\approx0.718>0$，$f(0^+)\to-\infty$，故在$(0,1)$有零点。10.B解析：导函数$f'(x)$图像在$(-\infty,a)$位于$x$轴上方（$f'(x)>0$，函数增），在$(a,+\infty)$位于$x$轴下方（$f'(x)<0$，函数减）。二、填空题1.$(2,3)$解析：$x-2\neq0$且$3-x>0$，即$x\neq2$且$x<3$。2.$\frac{1}{2x-1}$解析：代入$2x-1$得$f(2x-1)=\frac{1}{(2x-1)}$。3.$(1,2)$解析：令$u=x^2-4x+3=(x-1)(x-3)>0$，得$x<1$或$x>3$。外层$\log_{\frac{1}{2}}u$递减，故复合函数递增需$u$递减且大于0。$u$在$(-\infty,1)$递减且在$(3,+\infty)$递增。故递减区间为$(-\infty,1)$且$u>0$，即$x\in(-\infty,1)$时$u>0$已满足（因$x<1$时$u>0$恒成立）。注意$u$在$(1,2)$为负（舍），在$(2,3)$为正但递增。需函数增，外层递减，要求内层递减且$u>0$，故只有$(-\infty,1)$。4.$x=-1$或$x=0$解析：$x\leq0$时，$x^2+1=2$，解得$x^2=1$，$x=-1$（舍$x=1$因$x\leq0$）；$x>0$时，$-x+2=2$，解得$x=0$（舍，因$x>0$不包含0）。故$x=-1$。5.$\frac{1}{3}$解析：$\sinx\in[-1,1]$，$3^{\sinx}\in[3^{-1},3^{1}]=[\frac{1}{3},3]$，最小值为$\frac{1}{3}$。6.$[-2,1]$解析：$f'(x)=6x^2-6x-12=6(x^2-x-2)=6(x-2)(x+1)$，极小值点$x=2$，极大值点$x=-1$。在$[a,a+1]$上有最小值，需区间包含极小值点$x=2$或端点最小值。若$[a,a+1]$包含$x=2$，则$a\leq2\leqa+1$，即$1\leqa\leq2$。若$[a,a+1]$在$x=2$左侧（$a+1\leq2$，即$a\leq1$），则函数在区间上递减，最小值在右端点$a+1$。若在右侧（$a\geq2$），函数递增，最小值在左端点$a$。故最小值总是存在。7.$2$解析：$f'(x)=e^x-2$，令$f'(x)=0$得$x=\ln2$。$f(\ln2)=2-2\ln2<0$（因$\ln2\approx0.693$），$\lim_{x\to-\infty}f(x)=+\infty$，$\lim_{x\to+\infty}f(x)=+