初中数学专题《二次函数中的铅垂线段的最值》含答案

初中专题20二次函数中的铅垂线段的最值【磨刀霍霍】1．在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A、B，C，已知A（﹣1，0），C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，P为线段BC上一动点，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点D，是否存在这样的P点，使线段PD的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；2．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C（0，3）（1）求这个二次函数的表达式并直接写出顶点坐标；（2）若P是第一象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH⊥x轴于点H，与BC交于点M，求线段PM的最大值；3．如图，二次函数y=ax2+bx-3的图象与x轴相交于A（-1，0），B（3，0）两点．与y轴相交于点C（1）求这个二次函数的解析式．（2）若P是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH⊥x轴于点H，与BC交于点M，请问：当点P的坐标为多少时，线段PM的长最大？并求出这个最大值．4．如图，二次函数的图象交轴于、两点，交轴于点，点的坐标为，顶点的坐标为．求二次函数的解析式和直线的解析式；点是直线上的一个动点，过点作轴的垂线，交抛物线于点，当点在第一象限时，求线段长度的最大值；5．如图，顶点为（2，－1）的抛物线（≠0）交y轴于点C（0，3），交x轴于A，B两点，直线过AC两点，点P是位于直线下方抛物线上的动点，过点P作PQ∥y轴，交直线于点Q．（1）求抛物线的解析式；（2）求线段PQ的最大值及此时点P的坐标；6．如图，在直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0），交y轴与C（0，3），D为抛物线上的顶点，直线y=x﹣1与抛物线交于M、N两点，过线段MN上一点P作y轴的平行线交抛物线与点Q．（1）求抛物线的解析式及顶点坐标；（2）求线段PQ的最大值；7．如图，二次函数的图象与轴交于，，与轴交于点．（1）求该二次函数的解析式及点的坐标；（2）如图，点为抛物线段一动点，于点，轴交于点，当的长度最大时，求点的坐标．8．如图，在平面直角坐标系中，已知点B的坐标为(﹣1，0)，且OA＝OC＝4OB，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）图象经过A，B，C三点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P是直线AC下方的抛物线上的一个动点，作PD⊥AC于点D，当PD的值最大时，求此时点P的坐标及PD的最大值．初中专题20二次函数中的铅垂线段的最值【磨刀霍霍】1．在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A、B，C，已知A（﹣1，0），C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，P为线段BC上一动点，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点D，是否存在这样的P点，使线段PD的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；【答案】（1）y=﹣x2+2x+3；（2）存在，PD最大值为；（1）y=﹣x2+bx+c经过点C，则c=3，将点A的坐标代入抛物线表达式：y=﹣x2+bx+3，得：0=-1-b+3，解得：b=2，抛物线的表达式为：y=﹣x2+2x+3；（2）存在，理由：令y=0，得：﹣x2+2x+3=0，解得：x=﹣1或3，故点B（3，0），设直线BC为y=kx+b，将点B、C的坐标代入得：，解得：．∴直线BC的表达式为：y=﹣x+3，设点D（x，﹣x2+2x+3），则点P（x，﹣x+3），则PD=（﹣x2+2x+3）﹣（﹣x+3）=﹣x2+3x=，当x时，PD最大值为：；2．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C（0，3）（1）求这个二次函数的表达式并直接写出顶点坐标；（2）若P是第一象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH⊥x轴于点H，与BC交于点M，求线段PM的最大值；【详解】（1）将A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）代入y＝ax2+bx+c，得：，解得，∴二次函数的表达式为y＝﹣x2+2x+3．∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴二次函数图象的顶点坐标为（1，4）．（2）设直线BC的表达式为y＝mx+n（m≠0），将B（3，0），C（0，3）代入y＝mx+n，得：，解得：，∴直线BC的表达式为y＝﹣x+3．∵点P的横坐标为t（0＜t＜3），∴点P的坐标为（t，﹣t2+2t+3），点M的坐标为（t，﹣t+3），∴PM＝﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）＝﹣t2+3t＝﹣（t﹣）2+，∴线段PM的最大值为．3．如图，二次函数y=ax2+bx-3的图象与x轴相交于A（-1，0），B（3，0）两点．与y轴相交于点C（1）求这个二次函数的解析式．（2）若P是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH⊥x轴于点H，与BC交于点M，请问：当点P的坐标为多少时，线段PM的长最大？并求出这个最大值．【答案】（1）；（2）的坐标为时，最大值为【分析】（1）根据待定系数法，即可得到答案；（2）根据待定系数法，先求出直线的函数解析式，设的坐标为，的坐标为，可得PM关于t的二次函数解析式，进而即可求解．【详解】（1）由题意得：，解得：，∴这个二次函数的解析式为：；（2）当时，，∴为，∴直线的函数解析式为：，∵P是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，∴设的坐标为，则的坐标为，∴，∵且，∴当时，取得最大值，且为，此时的坐标为．【点睛】本题主要考查二次函数与一次函数的综合问题，掌握待定系数法，函数图象上点的坐标特征以及二次函数的最值求法，是解题的关键．4．如图，二次函数的图象交轴于、两点，交轴于点，点的坐标为，顶点的坐标为．求二次函数的解析式和直线的解析式；点是直线上的一个动点，过点作轴的垂线，交抛物线于点，当点在第一象限时，求线段长度的最大值；解：抛物线的顶点的坐标为，可设抛物线解析式为，点在该抛物线的图象上，，解得，抛物线解析式为，即，点在轴上，令可得，点坐标为，可设直线解析式为，把点坐标代入可得，解得，直线解析式为；设点横坐标为，则，，，当时，有最大值；5．如图，顶点为（2，－1）的抛物线（≠0）交y轴于点C（0，3），交x轴于A，B两点，直线过AC两点，点P是位于直线下方抛物线上的动点，过点P作PQ∥y轴，交直线于点Q．（1）求抛物线的解析式；（2）求线段PQ的最大值及此时点P的坐标；解：（1）∵抛物线的顶点为（2，-1），即抛物线解析式可表示为：，将C（0，3）代入上式得：=1，∴抛物线的解析式为：，即．（2）由，得当y=0时，x=1或x=3，即B（1，0），A（3，0），由A（3，0），C（0，3）可得直线AC的解析式为：y=-x+3，设Q（m，-m+3），则P（m，），0<m<3，∴PQ=-m+3-（）=-=，当m=时，PQ的长取最大值，此时点P（，）．6．如图，在直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0），交y轴与C（0，3），D为抛物线上的顶点，直线y=x﹣1与抛物线交于M、N两点，过线段MN上一点P作y轴的平行线交抛物线与点Q．（1）求抛物线的解析式及顶点坐标；（2）求线段PQ的最大值；【详解】（1）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3），把C（0，3）代入得a•1•（﹣3）=3，解得a=﹣1，∴抛物线解析式为y=﹣（x+1）（x﹣3），即y=﹣x2+2x+3，∵y=﹣（x﹣1）2+4，∴抛物线的顶点D的坐标为（1，4）；（2）设Q（x，﹣x2+2x+3），则P（x，x﹣1），∴PQ=﹣x2+2x+3﹣（x﹣1）=﹣x2+3x+4=﹣（x﹣）2+，当x=时，线段PQ的长度有最大值；7．如图，二次函数的图象与轴交于，，与轴交于点．（1）求该二次函数的解析式及点的坐标；（2）如图1，点为抛物线段一动点，于点，轴交于点，当的长度最大时，求点的坐标．解：（1）∵的图象与轴交于，∴∴∴当时，∴（2）设轴于点，∵，∴在中，∵，∴∴设直线的解析式为：∴∴∴∴即当时最大．∴．8．如图，在平面直角坐标系中，已知点B的坐标为(﹣1，0)，且OA＝OC＝4OB，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）图象经过A，B，C三点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P是直线AC下方的抛物线上的一个动点，作PD⊥AC于点D，当PD的值最大时，求此时点P的坐标及PD的最大值．解：（1）OA＝OC＝4OB＝4，故点A、C的坐标分别为（4，0）、（0，﹣4）；设抛物线的解析式为：y＝a（x+1）（x﹣4）＝a（x2﹣3x﹣4），把（0，﹣4）代入，得﹣4a＝﹣4，解得：a＝1，故抛物线的解析式为：y＝x2﹣3x﹣4；（2）直线CA过点C，设其函数表达式为：y＝kx﹣4，将点A坐标