初中数学专题《解非直角三角形小题》含答案

初中专题17解非直角三角形小题【小题热身】1．已知：如图，在△ABC中，∠A＝45°，sinB＝，AC＝，那么AB的长度是()A．1＋2 B．1＋ C．3 D．92．如图，在△ABC中，∠A=30°，tanB=，AC=2，则AB的长是（）A．4 B．3+ C．5 D．2+23．如图，在△ABC中，sinB=，tanC=2，AB=3，则AC的长为（）A． B． C． D．24．已知AB=AC,tanA=2，BC=5，则△ABC的面积为_______________.5．如图，在△ABC中，∠A＝30°，tanB＝，AC＝2，AB的长___________．6．如图，等腰直角△ABC的面积为16，点D在斜边AC的延长线上，∠BDC＝30°，则△BDC的面积是__.7．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，∠C＝30°，BC＝2＋，tanB＝，那么AD等于____.8．如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝2，则S△ABC＝__．【磨刀霍霍】9．如图，每个小正方形边长为1，则△ABC边AC上的高BD的长为__________．10．如图，在△ABC中，AB＝AC，sinB＝，延长BC至点D，使CD：AC＝1：3，则tan∠CAD＝__．11．如图，△AOB中，OA＝4，OB＝6，AB＝2，将△AOB绕原点O旋转90°，则旋转后点A的对应点A′的坐标是（）A．（4，2）或（﹣4，2） B．（2，﹣4）或（﹣2，4）C．（﹣2，2）或（2，﹣2） D．（2，﹣2）或（﹣2，2）12．如图，在中，，，为边上的一个动点（不与、重合），连接，则的最小值是（）A． B． C． D．213．已知：如图，△ABC中，AC＝10，求AB．14．如图，在△ABC中，，，，求AB的长．15．如图，在△ABC中，∠B＝45°，AB＝3，AC＝5，求边BC的长．16．已知：如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝45°，AC＝2，求（1）AB的长；（2）S△ABC．17．如图，在中，，，，求的长．18．三角板是我们学习数学的好帮手，将一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，点B在ED上，ABCF，，若AC=2，求CD的长．19．如图，已知中，，．

（1）求作，使得且点在上：要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下，若，，求的长度．20．如图，在中，，．（1）求边的长度；（2）求的值．21．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、B、C均在格点上．（1）直接写出AC的长为，△ABC的面积为；（2）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺作出AC边上的高BD，并保留作图痕迹；（3）求BD的长．专题17解非直角三角形小题【小题热身】1．已知：如图，在△ABC中，∠A＝45°，sinB＝，AC＝，那么AB的长度是()A．1＋2 B．1＋ C．3 D．9【答案】A【分析】过C点作CD⊥AB于D，根据题意根据三角函数可以分别表示出AD、BD的长，从而可以得到AB的长．【详解】过C点作CD⊥AB于D，

∵在△ABC中，CD是AB边上的高，∠A=45°，sinB=，AC=，

∴CD=AD=1，

∴BC=3，

∴BD=，

∴AB=AD+BD=1+2．

故选A．【点睛】考查解直角三角形，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．2．如图，在△ABC中，∠A=30°，tanB=，AC=2，则AB的长是（）A．4 B．3+ C．5 D．2+2【答案】C【解析】【分析】作CD⊥AB于点D.在Rt△ACD中，求出CD和AD的长，在Rt△BCD中，求出BD的长，即可求出AB的长.【详解】作CD⊥AB于点D.在Rt△ACD中，∵∠A=30°，AC=2，∴CD=,∴AD=.在Rt△BCD中，∵tanB=，∴BD=2，∴AB=AD+BD=3+2=5.故选C.【点睛】本题考查了解直角三角形，如果没有直角三角形则作垂线构造直角三角形，然后利用直角三角形的边角关系来解决问题，有时还会用到勾股定理等知识才能解决问题.3．如图，在△ABC中，sinB=，tanC=2，AB=3，则AC的长为（）A． B． C． D．2【答案】B【分析】过A点作AH⊥BC于H点，先由sin∠B及AB=3算出AH的长，再由tan∠C算出CH的长，最后在Rt△ACH中由勾股定理即可算出AC的长．【详解】解：过A点作AH⊥BC于H点，如下图所示：由，且可知，，由，且可知，，∴在中，由勾股定理有：．故选：B．【点睛】本题考查了解直角三角形及勾股定理等知识，如果图形中无直角三角形时，可以通过作垂线构造直角三角形进而求解．4．已知AB=AC,tanA=2，BC=5，则△ABC的面积为_______________.【答案】【分析】作CD⊥AB，由tanA=2，设AD=x,CD=2x,根据勾股定理AC=x，则BD=，然后在Rt△CBD中BC2=BD2+CD2,即52=4x2+,解得x2=，则S△ABC===【详解】如图作CD⊥AB，∵tanA=2，设AD=x,CD=2x,∴AC=x，∴BD=，在Rt△CBD中BC2=BD2+CD2,即52=4x2+,x2=，∴S△ABC===【点睛】此题主要考查三角函数的应用，解题的关键是根据题意作出辅助线进行求解.5．如图，在△ABC中，∠A＝30°，tanB＝，AC＝2，AB的长___________．【答案】5【分析】作CD⊥AB于D，据含30度的直角三角形三边的关系得到CD=，AD=3，再在Rt△BCD中根据正切的定义可计算出BD，然后把AD与BD相加即可．【详解】解：作CD⊥AB于D，如图，在Rt△ACD中，∠A＝30°，AC＝2，∴CD＝AC＝，AD＝CD＝3，在Rt△BCD中，tanB＝，∴，∴BD＝2，∴AB＝AD+BD＝3+2＝5.【点睛】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．6．如图，等腰直角△ABC的面积为16，点D在斜边AC的延长线上，∠BDC＝30°，则△BDC的面积是__.【答案】8【解析】【分析】作BH⊥AC于H．想办法求出AD．BH即可解决问题．【详解】解：如图，作BH⊥AC于H．∵等腰直角△ABC的面积为16,∴BA=BC=42∵BA=BC=42∴AC=(4在Rt△BDH中，∵∠BHD=90°，∠BDC=30°，∴DH=3∴AD=43∴S【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．7．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，∠C＝30°，BC＝2＋，tanB＝，那么AD等于____.【答案】1【分析】设AD=x，则BD=2x，CD=x，所以2x+x=2+，从而求出AD的长度．【详解】解：设AD=x，∵tanB==，∴BD=2x，∵∠C=30°，∴CD=x，∵BC＝2+，∴2x+x=2+，∴x=1．即AD=1，故答案为1．【点睛】此题主要考查了解直角三角形，关键是利用三角函数求出CD=x，进而得出AD的长．8．如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝2，则S△ABC＝__．【答案】【分析】如图，过点C作CD⊥AB于点D．通过解直角△ACD求得CD、AD的长度，通过解直角△BCD求得BD的长度；则易求AB＝AD＋BD；然后由三角形面积公式进行解答．【详解】如图，过点C作CD⊥AB于点D．∵在直角△ACD中，∠A＝30°，AC＝2，∴AD＝AC•cos30°＝2×＝3，CD＝AC＝．∵在直角△BCD中，∠B＝45°，CD＝，∴BD＝CD＝，∴AB＝AD＋BD＝3＋，∴S△ABC＝AB•CD＝×（3＋）×＝．故答案是：．【点睛】本题考查了解直角三角形．对于此类题目，不是直角三角形，要利用三角函数必须构筑直角三角形，知道三个元素（至少有一个是边），就能求出其余的边和角．进而求面积，在转化时，尽量不要破坏所给条件．【磨刀霍霍】9．如图，每个小正方形边长为1，则△ABC边AC上的高BD的长为__________．【答案】【详解】根据勾股定理得：AC==5，由网格得：S△ABC=×2×4=4，且S△ABC=AC•BD=×5BD，∴×5BD=4，解得：BD=．故答案为．10．如图，在△ABC中，AB＝AC，sinB＝，延长BC至点D，使CD：AC＝1：3，则tan∠CAD＝__．【答案】【分析】过点D作，与AC的延长线交于点E，由AB=AC，，得，设，再表示CE、CD、AC，再解便可求得结果．【详解】过点D作DE⊥AC，与AC的延长线交于点E，∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∵∠DCE＝∠ACB，∴∠DCE＝∠B，∵sinB＝，∴，不妨设DE＝4x，则CD＝5x，∴，∵CD：AC＝1：3，∴AC＝3CD＝15x，∴AE＝AC+CE＝18x，∴tan∠CAD＝，故答案为：．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，考查了等腰三角形的性质，勾股定理，关键是正确构造直角三角形．11．如图，△AOB中，OA＝4，OB＝6，AB＝2，将△AOB绕原点O旋转90°，则旋转后点A的对应点A′的坐标是（）A．（4，2）或（﹣4，2） B．（2，﹣4）或（﹣2，4）C．（﹣2，2）或（2，﹣2） D．（2，﹣2）或（﹣2，2）【答案】C【分析】先求出点A的坐标，再根据旋转变换中，坐标的变换特征求解；或根据题意画出图形旋转后的位置，根据旋转的性质确定对应点A′的坐标．【详解】过点A作于点C．在Rt△AOC中，．在Rt△ABC中，．∴．∵OA＝4，OB＝6，AB＝2，∴．∴．∴点A的坐标是．根据题意画出图形旋转后的位置，如图，∴将△AOB绕原点O顺时针旋转90°时，点A的对应点A′的坐标为；将△AOB绕原点O逆时针旋转90°时，点A的对应点A′′的坐标为．故选：C．【点睛】本题考查了解直角三角形、旋转中点的坐标变换特征及旋转的性质．（a，b）绕原点顺时针旋转90°得到的坐标为（b，-a），绕原点逆时针旋转90°得到的坐标为（－b，a）．12．如图，在中，，，为边上的一个动点（不与、重合），连接，则的最小值是（）A． B． C． D．2【答案】B【分析】以为斜边向外作等腰直角三角形，得，当在同一直线上时，取得最小值.在中，利用正弦函数即可求得答案.【详解】如图，以为斜边向外作等腰直角三角形，∵∴∴当在同一直线上时，取得最小值.在中，，，，∴∴.故选：B【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，构造辅助线得到是解题的关键.13．已知：如图，△ABC中，AC＝10，求AB．【答案】AB＝24．【解析】【分析】过A作AD垂直于BC，交BC于点D，在Rt△ACD中，由AC与sinC的值，利用正弦函数定义求出AD的长，在Rt△ABD中，由AD与sinB的值，利用正弦函数定义即可求出AB的长．【详解】作AD⊥BC于D点，如图所示，在Rt△ADC中，AC=10，sinC=，∴AD=ACsinC=10×=8，在Rt△ABD中，sinB=，AD=8，则AB==24．【点睛】本题考查了解直角三角形，正确添加辅助线AD构建直角三角形、熟练掌握三角函数的定义是解题的关键.14．如图，在△ABC中，，，，求AB的长．【答案】AB=9+4.【分析】作CD⊥AB于D，据含30度的直角三角形三边的关系得到CD=，AD=9，再在Rt△BCD中根据正切的定义可计算出BD，然后把AD与BD相加即可．【详解】解：如图，过点C作CD⊥AB于点D．∵在Rt△CDA中，∠A=30°，∴CD=AC•sin30°=3，AD=AC×cos30°=9，∵在Rt△CDB中，∴BD===4．∴AB=AD+DB=9+4.【点睛】本题考查了解直角三角形．解题时，通过作CD⊥AB于D构建Rt△ACD、Rt△BCD是解题关键．15．如图，在△ABC中，∠B＝45°，AB＝3，AC＝5，求边BC的长．【答案】7【分析】作AH⊥BC，在Rt△ABH中，根据正弦函数可求得BH＝AH＝3，在Rt△ACH中，由勾股定理可求得CH的长，从而求得答案.【详解】过点A作AH⊥BC，垂足为H在Rt△ABH中，∠B＝45°，AB＝，∴AH＝ABsinBBH＝AH＝3∵AC＝5∴在Rt△ACH中，CH＝∴BC＝BH+CH＝3+4＝7【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是添加辅助线构造成一个等腰三角形和一个直角三角形．16．已知：如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝45°，AC＝2，求（1）AB的长；（2）S△ABC．【答案】（1）4；（2）2+2．【分析】(1)过点A作AD⊥BC于D，根据锐角三角函数的定义求出AD的长，再根据锐角三角函数的定义求出AB的长．(2)利用三角形面积公式解答即可．【详解】解：（1）过点A作AD⊥BC于D，如下图所示：∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°．在Rt△ADC中，∵∠C＝45°，AC＝，∴AD＝DC＝2，在Rt△ABD中，∵∠B＝30°，AD＝2，∴AB＝2AD＝4．（2）在Rt△ABD中，∵∠B＝30°，AD＝2，∴AB＝2AD＝4．BD＝AD＝，∴S△ABC＝×BC×AD＝×2×(2+2)＝2+2．【点睛】本题考查了解直角三角形等知识点，熟练记牢30°，60°，90°的直角三角形中其三边之比为及45°，45°，90°的直角三角形中三边之比为.17．如图，在中，，，，求的长．【答案】【分析】过点作，垂足为，首先根据∠A的正弦知值求出CM的长度，根据∠A的余弦值求出AM的长度，然后根据∠B的正切值求出BM的长度，即可求出AB的长度．【详解】解：如图，过点作，垂足为，在中，，，同理可求：，在中，，，．【点睛】此题考查了解非直角三角形，解题的关键是根据题意作出辅助线和熟记特殊角的三角函数值．18．三角板是我们学习数学的好帮手，将一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，点B在ED上，ABCF，，若AC=2，求CD的长．【答案】【分析】过点作于点，根据题意可求出的长度，然后在中可求出，进而可得出答案．【详解】解：过点作于点，在中，，，，，．，，，，在中，，，，，．【点睛】本题考查了勾股定理和含30度角的直角三角形，根据题意构造直角三角形，利用直角三角形的性质进行解答是解题的关键．19．如图，已知中，，．

（1）求作，使得且点在上：要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下，若，，求的长度．【答案】（1）作图见解析；（2）．【分析】（1）过点B作BP⊥AC于P即可．（2）解直角三角形求出AP，PC即可．【详解】解：（1）如图，即为所求（过点作）（2）如