2026《金版教程》高考复习方案数学基础版-第一节 函数的概念及其表示

第三章函数与基本初等函数第一节

函数的概念及其表示课标解读考向预测1.了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数，理解函数图象的作用.3.通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用.以基本初等函数为载体，考查函数的表示法、定义域；分段函数以及函数与其他知识的综合是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中档偏上．预计2026年高考函数的定义域、值域、解析式仍会出题，一般在选择题或填空题中出现，分段函数的考查比较灵活，各种题型都可能涉及.必备知识—强基础考点探究—提素养课时作业目录必备知识—强基础1．函数的概念一般地，设A，B是______的实数集，如果对于集合A中的______一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有_________的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.非空任意唯一确定2．函数的定义域、值域(1)在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的_______；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的______．(2)函数的三要素：________、对应关系、______．(3)如果两个函数的________相同，并且__________完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数．3．函数的表示法表示函数的常用方法有_________、________和图象法．定义域值域定义域值域定义域对应关系解析法列表法4．分段函数(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的______，其值域等于各段函数的值域的______，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．(3)各段函数的定义域区间端点应不重不漏．并集并集1．直线x＝a(a是常数)与函数y＝f(x)的图象有0个或1个交点．2．在函数的定义中，非空数集A，B，A即为函数的定义域，值域为B的子集.3．分段函数无论分成几段，都是一个函数，求分段函数的函数值，如果自变量的范围不确定，要分类讨论．4．判断两个函数是否相同，要抓住的两点(1)定义域是否相同．(2)对应关系是否相同，当解析式可以化简时，要注意化简过程的等价性．×√××题组二回归教材——练一练(1)(人教A必修第一册习题3.1T12改编)若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图象可能是(

)解析：A中函数的定义域不是[－2，2]；C中图象不表示函数；D中函数的值域不是[0，2]．故选B.(－4，4]考点探究—提素养函数的概念(1)(多选)(2025·河北部分学校高三摸底)设集合P＝{x|0≤x≤4}，Q＝{y|0≤y≤4}，则下列图象能表示集合P到集合Q的函数关系的是(

)解析：对于A，由图象可知定义域不是P，不满足题意；对于B，定义域为P，值域为Q的子集，符合函数的定义，满足题意；对于C，集合P中存在元素在集合Q中对应两个值，不符合函数的定义，不满足题意；对于D，由函数的定义可知D满足题意．故选BD.解析：同一个函数应满足①定义域相同，②对应关系相同，只有A，C满足.(1)函数的定义要求非空数集A中的任何一个元素在非空数集B中有且只有一个元素与之对应，即可以“多对一”，不能“一对多”，而B中有可能存在与A中元素不对应的元素．(2)构成函数的三要素中，若定义域和对应关系相同，则值域一定相同．1.下列四个图象中，是函数图象的是(

)A．①② B．①②③C．①③④ D．①②③④解析：根据函数的定义，一个自变量值对应唯一一个函数值，或者多个自变量值对应唯一一个函数值，显然只有②不满足．故选C.

函数的定义域(多考向探究)考向1具体函数的定义域解析：由题意可知ax2＋ax－3≠0对任意实数x都成立．当a＝0时，显然成立；当a≠0时，需Δ＝a2＋12a<0，解得－12<a<0.综上所述，实数a的取值范围为(－12，0].(－12，0]1．求具体函数的定义的策略已知函数的解析式，其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合，求解时只要根据函数的解析式列出自变量满足的不等式(组)，得出不等式(组)的解集即可.2．求具体函数的定义域的注意点(1)不要对解析式进行化简变形，以免定义域发生变化．(2)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接.3．已知函数的定义域求参数问题的解题步骤(1)调整思维方向，根据已知函数，将给出的定义域问题转化为方程或不等式的解集问题．(2)根据方程或不等式的解集情况确定参数的取值或范围．(－∞，1)∪(1，2]－3考向2抽象函数的定义域(1)已知函数f(x)的定义域为[1，2]，求函数y＝f(2x＋1)的定义域；(2)已知函数y＝f(2x＋1)的定义域为[1，2]，求函数f(x)的定义域；(3)已知函数y＝f(2x＋1)的定义域为[1，2]，求函数y＝f(2x－1)的定义域．

求抽象函数的定义域的策略(1)若f(x)的定义域为[m，n]，则在f(g(x))中，由m≤g(x)≤n解得x的范围，即为f(g(x))的定义域．(2)若f(g(x))的定义域为[m，n]，则由m≤x≤n得到g(x)的范围，即为f(x)的定义域.口诀：定义域指的是x的范围，括号内范围相同．5.已知函数y＝f(x－1)的定义域为[1，3]，则函数y＝f(log3x)的定义域为(

)A．[0，1] B．[1，9]C．[0，2] D．[0，9]解析：由x∈[1，3]，得x－1∈[0，2]，所以log3x∈[0，2]，所以x∈[1，9]．故选B.[0，1)

函数的解析式(1)已知f(2x＋1)＝4x2－6x＋5，求f(x)的解析式；(2)已知f(x)是二次函数，且f(0)＝0，f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求f(x)的解析式；

求函数解析式的常用方法配凑法由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式待定系数法若已知函数的类型(如一次函数、二次函数等)，则可用待定系数法7.已知函数f(x2＋1)＝x4，则函数y＝f(x)的解析式是(

)A．f(x)＝(x－1)2，x≥0 B．f(x)＝(x－1)2，x≥1C．f(x)＝(x＋1)2，x≥0 D．f(x)＝(x＋1)2，x≥1解析：因为f(x2＋1)＝x4＝(x2＋1)2－2(x2＋1)＋1，且x2＋1≥1，所以f(x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2，x≥1.故选B.8．已知f(x)是一次函数，且f(f(x))＝4x＋3，则f(x)的解析式为____________________________.f(x)＝－2x－3或f(x)＝2x＋19．已知f(x6)＝log2x，则f(x)＝________．

分段函数(多考向探究)考向1分段函数求值问题解析：f(f(－2))＝f(3－2)＝log33－2＝－2.－2

“分段函数——分段看”，遇到分段函数要时刻盯住自变量的范围，并根据自变量的范围选择合适的解析式代入，若自变量的范围并不完全在某一段中，要注意进行分类讨论．解题思路如下：(1)求函数值：当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．(2)求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验．解析：∵g(π)＝0，∴f(g(π))＝f(0)＝0.故选B.(0，＋∞)

求解分段函数与方程、不等式问题的解题思路(1)分类讨论，先在分段函数每一段上分别求解，并与该段自变量的取值范围取交集，最后将各段的结果取并集．(2)若分段函数每一段的解析式便于作图，则作出分段函数的图象，通过数形结合求解．0(答案不唯一)1

当分段函数中的分段点含有参数时，分段函数的间断点是随着参数的变化而变化的，其动态模型不易建立，解决此类问题的最好方法是先不考虑分段点，将各段函数的完整图象绘制在同一个坐标系中，再取一些特殊的参数值作为分段点来辅助分析，建立数形结合分析问题的模型．课时作业题号123456789难度★★★★★★★★★★★★考向函数的定义域、值域函数的概念函数的定义域函数的概念函数的定义域、值域函数的定义域分段函数分段函数函数的概念考点具体函数的定义域、值域函数的概念的理解具体函数的定义域同一个函数的判断抽象函数的定义域、值域由函数的定义域求参数的取值范围分段函数求值问题动态分段点问题函数的概念的理解基础题(占比50%)中档题(占比40%)拔高题(占比10%)题号101112131415161718难度★★★★★★★★★★★★★★★★★考向函数的解析式分段函数函数的定义域函数的概念分段函数分段函数函数的概念函数的解析式分段函数考点配凑法求函数的解析式分段函数求值问题具体函数的定义域函数求值问题分段函数与方程、不等式问题分段函数与不等式问题函数新定义问题待定系数法求函数的解析式分段函数求值问题解析：由题设，得M＝{x|x≥1，或x≤－1}，N＝{y|y≤0}，所以M∩N＝(－∞，－1].故选A.2．下列各曲线表示的y与x之间的关系中，y不是x的函数的是(

)解析：根据函数的定义：对任意x值，y都有唯一值与之对应，只有C不满足．故选C.5．已知函数f(x)的定义域为[0，1]，值域为[1，2]，那么函数f(x＋2)的定义域和值域分别是(

)A．[0，1]，[1，2] B．[2，3