2026《金版教程》高考复习方案数学基础版-第四节 事件的相互独立性、条件概率与全概率公式

第十一章计数原理、概率、随机变量及其分布第四节

事件的相互独立性、条件概率与全概率公式课标解读考向预测1.结合有限样本空间，了解两个随机事件独立性的含义．结合古典概型，利用独立性计算概率.2.结合古典概型，了解条件概率，能计算简单随机事件的条件概率.3.结合古典概型，了解条件概率与独立性的关系.4.结合古典概型，会利用乘法公式计算概率.5.结合古典概型，会利用全概率公式计算概率.6.了解贝叶斯公式．预计2026年高考将会以事件独立性的判断或条件概率、全概率公式计算在小题中单独考查，或与随机变量的分布列、数字特征相结合融合在解答题中考查.必备知识—强基础考点探究—提素养课时作业目录必备知识—强基础1．事件的相互独立性P(A)P(B)P(B)P(A)2.条件概率P(B|A)＋P(C|A)×√√×题组二回归教材——练一练(1)(人教B必修第二册第五章复习题A组T8改编)某金融公司第一次投资成功的概率为0.85，第二次投资成功的概率为0.74，两次投资成功与否相互独立，则两次都投资成功的概率为(

)A．1 B．0.629C．0 D．0.74或0.85解析：由题意知两次投资成功与否相互独立，所以两次都投资成功的概率为0.85×0.74＝0.629.(2)(人教B选择性必修第二册4.1.1例2改编)根据历年的气象数据，某市5月份发生中度雾霾的概率为0.25，刮四级以上大风的概率为0.4，既发生中度雾霾又刮四级以上大风的概率为0.2.则在发生中度雾霾的情况下，刮四级以上大风的概率为(

)A．0.8 B．0.625C．0.5 D．0.1(3)(人教A选择性必修第三册7.1.2练习T1改编)某考生回答一道四选一的考题，假设他知道正确答案的概率为0.5，知道正确答案时答对的概率为1，而不知道正确答案时猜对的概率为0.25，那么他答对题目的概率为(

)A．0.625 B．0.75C．0.5 D．0考点探究—提素养事件的相互独立性(多考向探究)考向1事件独立性的判定袋子里装有形状大小完全相同的4个小球，球上分别标有数字1，2，3，4，从中有放回地随机取两次，每次取1个球，A表示事件“第一次取出的球上数字是1”，B表示事件“第二次取出的球上数字是2”，C表示事件“两次取出的球上数字之和是5”，D表示事件“两次取出的球上数字之和是6”，通过计算，则可以得出(

)A．B与D相互独立 B．A与D相互独立C．B与C相互独立 D．C与D相互独立求相互独立事件同时发生的概率的方法(1)相互独立事件同时发生的概率等于它们各自发生的概率之积．(2)当正面计算较复杂或难以入手时，可从其对立事件入手计算．解析：对于A，依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的事件是发送1收到1，发送0收到0，发送1收到1这3个事件的积事件，它们相互独立，所以所求概率为(1－β)(1－α)(1－β)＝(1－α)(1－β)2，A正确；对于B，三次传输，发送1，相当于依次发送1，1，1，则依次收到1，0，1的事件是发送1收到1，发送1收到0，发送1收到1这3个事件的积事件，它们相互独立，所以所求概率为(1－β)β(1－β)＝β(1－β)2，B正确；对于C，三次传输，发送1，则译码为1的事件是依次收到1，1，0、1，0，1、0，1，1和1，1，1的和事件，它们两两互斥，由选项B知，所求的概率为C(1－β)2β＋(1－β)3＝(1－β)2(1＋2β)，C错误；对于D，由C项知，三次传输，发送0，则译码为0的概率P＝(1－α)2(1＋2α)，单次传输发送0，则译码为0的概率P′＝1－α，而0<α<0.5，因此P－P′＝(1－α)2(1＋2α)－(1－α)＝α(1－α)(1－2α)>0，即P>P′，D正确．故选ABD.

全概率公式的应用

某保险公司将其公司的被保险人分为三类：“谨慎的”“一般的”“冒失的”．统计资料表明，这三类人在一年内发生事故的概率依次为0.05，0.15，0.30.若该保险公司的被保险人中“谨慎的”被保险人占20%，“一般的”被保险人占50%，“冒失的”被保险人占30%，则该保险公司的一个被保险人在一年内发生事故的概率是

(

)A．0.155 B．0.175C．0.016 D．0.096利用全概率公式解题的思路(1)按照确定的标准，将一个复合事件分解为若干个互斥事件Ai(i＝1，2，…，n)．(2)求P(Ai)和所求事件B在各个互斥事件Ai发生条件下的概率P(B|Ai)．(3)代入全概率公式计算．4.葫芦山庄襟渤海之辽阔，仰天角之雄奇，勘葫芦之蕴涵，显人文之魅力，是渤海湾著名的人文景区，是葫芦岛市“葫芦文化与关东民俗文化”代表地和中小学综合实践教育基地．山庄中葫芦品种分为亚腰、瓢、长柄锤、长筒、异型、花皮葫芦等系列．其中亚腰葫芦具有天然迷彩花纹，果实形状不固定，观赏性强，每株亚腰葫芦可结出果实20～80颗.2025年初葫芦山庄播种用的一等亚腰葫芦种子中混有2%的二等种子，1.5%的三等种子，1%的四等种子，一、二、三、四等种子长出的葫芦秧结出50颗以上果实的概率分别为0.5，0.15，0.1，0.05，则这批种子所生长出的葫芦秧结出50颗以上果实的概率为________．0.4825解析：设从这批种子中任选一颗是一、二、三、四等种子的事件分别是A1，A2，A3，A4，则Ω＝A1∪A2∪A3∪A4，且A1，A2，A3，A4两两互斥，设事件B表示“从这批种子中任选一颗，所生长出的葫芦秧结出50颗以上果实”，则P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)·P(B|A3)＋P(A4)P(B|A4)＝95.5%×0.5＋2%×0.15＋1.5%×0.1＋1%×0.05＝0.4825.5．(2024·上海高考)某校举办科学竞技比赛，有A，B，C3种题库，A题库有5000道题，B题库有4000道题，C题库有3000道题．小申已完成所有题，他答A题库的题的正确率是0.92，答B题库的题的正确率是0.86，答C题库的题的正确率是0.72.现他从所有的题中随机选一题，答对的概率是_______．0.85课时作业基础题(占比60%)中档题(占比30%)拔高题(占比10%)题号12345678910难度★★★★★★★★★★考向事件的相互独立性事件的相互独立性条件概率全概率公式事件的相互独立性全概率公式事件的相互独立性事件的相互独立性条件概率全概率公式考点相互独立事件的概率相互独立事件的概率定义法求条件概率全概率公式的应用相互独立事件的概率全概率公式的应用事件独立性的判定相互独立事件的概率条件概率的定义全概率公式的应用关联点对立事件的概率古典概型互斥事件的概率题号11121314151617181920难度★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★考向条件概率事件的相互独立性全概率公式事件的相互独立性全概率公式事件的相互独立性事件的相互独立性条件概率条件概率事件的相互独立性考点样本点法求条件概率相互独立事件的概率全概率公式的应用相互独立事件的概率全概率公式的应用相互独立事件的概率；二项分布的概率相互独立事件的概率定义法求条件概率条件概率的定义相互独立事件的概率；全概率公式的应用关联点等比数列互斥事件的概率古典概型古典概型一、单项选择题1．(2025·四川成都模拟)体育课上甲、乙两名同学进行投篮比赛(甲、乙各投篮一次)，甲投中的概率为0.7，乙投中的概率为0.8，则甲、乙两人恰好有一人投中的概率为(

)A．0.38 B．0.24C．0.14 D．0.5解析：甲、乙两人恰好有一人投中的概率为0.7×(1－0.8)＋0.8×(1－0.7)＝0.38.故选A.2．某班计划在下周一至周三中的某一天去参观党史博物馆，若选择周一、周二、周三的概率分别为0.3，0.4，0.3，根据天气预报，这三天下雨的概率分别为0.4，0.2，0.5，且这三天是否下雨相互独立，则他们参观党史博物馆的当天不下雨的概率为(

)A．0.25 B．0.35C．0.65 D．0.75解析：他们参观党史博物馆的当天下雨的概率为0.3×0.4＋0.4×0.2＋0.3×0.5＝0.35，所以不下雨的概率为1－0.35＝0.65.3．有50人报名足球俱乐部，60人报名乒乓球俱乐部，70人报名足球或乒乓球俱乐部，若已知某人报足球俱乐部，则其报乒乓球俱乐部的概率为(

)A．0.8 B．0.4C．0.2 D．0.16．(2025·湖南益阳模拟)秋冬季节是某呼吸道疾病的高发期，为了解该疾病的发病情况，疾控部门对该地区居民进行普查化验，化验结果阳性率为1.97%，但统计分析结果显示患病率为1%，医学研究表明化验结果是有可能存在误差的，没有患该疾病的居民其化验结果呈阳性的概率为1%，则该地区患有该疾病的居民化验结果呈阳性的概率为(

)A．0.96B．0.97C．0.98 D．0.997．(2025·广东湛江模拟)在一次考试中有一道四个选项的双选题，其中B和C是正确选项，A和D是错误选项，甲、乙两名同学都完全不会这道题目，只能在四个选项中随机选取两个选项．设事件M＝“甲、乙两人所选选项恰有一个相同”，事件N＝“甲、乙两人所选选项完全不同”，事件X＝“甲、乙两人所选选项完全相同”，事件Y＝“甲、乙两人均未选择B选项”，则(

)A．事件M与事件N相互独立B．事件X与事件Y相互独立C．事件M与事件Y相互独立D．事件N与事件Y相互独立8．某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为p1，p2，p3，且p3＞p2＞p1＞0.记该棋手连胜两盘的概率为p，则(

)A．p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关B．该棋手在第二盘与甲比赛，p最大C．该棋手在第二盘与乙比赛，p最大D．该棋手在第二盘与丙比赛，p最大解析：设棋手在第二盘与甲比赛连胜两盘的概率为P甲，在第二盘与乙比赛连胜两盘的概率为P乙，在第二盘与丙比赛连胜两盘的概率为P丙．由题意得P甲＝p1[p2(1－p3)＋p3(1－p2)]＝p1p2＋p1p3－2p1p2p3，P乙＝p2[p1(1－p3)＋p3(1－p1)]＝p1p2＋p2p3－2p1p2p3，P丙＝p3[p1(1－p2)＋p2(1－p1)]＝p1p3＋p2p3－2p1p2p3，所以P丙－P甲＝p2(p3－p1)＞0，P丙－P乙＝p1(p3－p2)＞0，所以P丙最大．故选D.三、填空题11．已知m是一个三位正整数，若m的十位数字大于个位数字，百位数字大于十位数字，则称m为递增数．已知a，b，c∈{0，1，2，3，4}，设事件A＝“由a，b，c组成三位正整数