2026年中考数学二轮复习《图形的变化》含答案

2026年中考数学二轮复习知识清单06图形的变化第一部分命题解码洞察命题意图，明确攻坚方向►►考向聚焦►考查形式►能力清单第二部分技法清单构建思维框架，提炼通用解法►知识必备/二级结论►母题精讲&答题技法►变式应用技法01三角形的平移问题技法02四边形的平移问题技法03圆的平移技法04三角形的折叠问题技法05四边形的折叠问题技法06圆的折叠问题技法07三角形的旋转问题技法08四边形的旋转问题技法09圆的旋转问题技法10位似与相似变换技法11网格中的变换作图技法12用图形的变化解决最短路径问题技法13解直角三角形的应用第三部分分级实战分级强化训练，实现能力跃迁命题解码焦技法01三角形的平移问题：考查三角形沿指定方向平移后，对应点坐标变化、对应线段平行且相等等性质，常结合坐标系求平移后的点坐标或面积变化。技法02四边形的平移问题：考查平行四边形及特殊平行四边形沿指定方向平移后，对应点坐标变化、对应边平行且相等等性质，常结合面积计算或点的坐标求解。技法03圆的平移：圆沿某方向平移，考查圆心坐标变化、平移前后圆与直线或圆的位置关系。技法04三角形的折叠问题：以三角形为背景，通过折叠构造轴对称，考查对应边相等、对应角相等、折痕垂直平分对应点连线等性质，求线段长度、角度大小或点的位置。常作为填空压轴题出现。技法05四边形的折叠问题：考查矩形、菱形、正方形的轴对称性，常与折叠结合，或判断四边形是否为轴对称图形、中心对称图形。技法06圆的折叠问题：将圆或圆弧沿某直线折叠，考查折痕过圆心、折叠后弧重合等性质，常结合垂径定理求弦长或弧长。技法07三角形的旋转问题：旋转是中考命题的热点，常将旋转后得到的图形设计为直角三角形和等腰三角形，考查旋转前后图形的全等关系、对应点连线相等、旋转角相等等性质。技法08四边形的旋转问题：以正方形、菱形为中心对称图形为背景，考查旋转前后图形的全等关系，常与手拉手模型结合，证明线段相等或求角度。技法09圆的旋转问题：圆绕圆心旋转任意角度后与自身重合，常结合扇形、弧长、圆心角等考查旋转角度的计算。技法10位似与相似变换：考查位似图形的性质（位似比等于相似比，对应点连线交于位似中心），常结合相似三角形性质求边长或面积。技法11网格中的变换作图：在正方形网格中按要求完成三角形的平移、旋转、轴对称或位似作图，并写出相应点的坐标或变换后三角形的特征。技法12用图形的变化解决最短路径问题：利用轴对称将折线段和转化为两点间线段最短的问题，常以三角形一边为对称轴，求两定点到边上动点距离和的最小值。技法13解直角三角形的应用：考查锐角三角函数的定义、特殊角（30°,45°,60°)的三角函数值及解直角三角形的基本方法。题型以选择题、填空题为主，常与勾股定理、等腰三角形性质结合，求三角形中的边长或角度。式.基础层次：图形的平移、旋转、轴对称、位似的基本性质，以及锐角三角函数的定义、特殊角的三角函数值，以选择题、填空题为主。.模型层次：折叠问题、旋转模型（手拉手）、一线三垂直模型、半角模型、倍长中线模型等，要求学生能在复杂图形中识别并应用模型快速解题。.综合层次：与三角形、四边形、圆结合的动态探究题，以及解直角三角形的实际应用（仰俯角、坡度、方向角、跨学科问题），常作为解答题或压轴题出现。单空间观念与几何直观：能想象图形运动前后的位置关系，识别常见变换模型（手拉手、一线三垂直、倍长中线等）。模型识别与应用能力：在复杂图形中识别出基本几何模型，并运用模型结论快速解题。逻辑推理能力：能根据变换性质进行严密的推理论证，尤其是在折叠、旋转问题中寻找不变量。运算求解能力：准确进行线段长度、角度计算，运用勾股定理、方程思想、三角函数求解未知量。数学建模能力：从实际问题中抽象出几何图形，选择恰当的三角函数关系建立数学模型。分类讨论意识：在动点折叠、旋转中，根据点的不同落点位置进行分类讨论。转化与化归思想：将复杂图形转化为基本图形，将非直角三角形转化为直角三角形求解。跨学科综合能力：将物理、地理等学科知识与解直角三角形模型结合。知识必备平移的性质、平面直角坐标系中点的坐标变换、全等三角形的性质、平行四边形的判定。答题技法坐标系中点的平移遵循“右加左减横坐标，上加下减纵坐标”。平移前后的三角形全等，对应边平行且相等。利用平移构造平行四边形是常见辅助线思路。母题精讲【典例01】（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，等边△ABC的顶点A(1,0),C(1,2)，将△ABC向左平移1个单位长度，则平移后点B的坐标为() A．(-3,·3)B．(-·3,3)C．(-3,2)变式应用【变式01】（2025·山东济南·一模）如图，将△ABC沿BC边上的中线AD平移到△A’B’C’的位置，已知△ABC的面积为9，阴影部分三角形的面积为4．若AA’=1，则A’D=.【变式02】（2025·陕西延安·一模）如图，将△ABC沿直线BC方向平移到△A1B1C1的位置则上D的度数为0.知识必备平移的性质、平行四边形的性质与判定、平面直角坐标系中点的坐标变换、全等图形的性质。答题技法平移前后的四边形全等，对应边平行且相等。利用平移可构造平行四边形，解决线段相等或平行的问题。坐标系中点的平移规律同样适用。母题精讲【典例01】（2025·浙江·模拟预测）如图，AC是菱形ABCD的对角线，把菱形ABCD沿着对角线AC方向平移，得到菱形A,B,C,D,，A,B,，A,D若AA,=x(0<x<AC)，GH=y，则y与x之间的关系大致可以用函数图象表示为()变式应用D.【变式01】（2023·山东潍坊·中考真题）如图，在直角坐标系中，菱形OABC的顶点A的坐标为(2,0)，上AOC=60O．将菱形OABC沿x轴向右平移1个单位长度，再沿y轴向下平【变式02】（2025·广西·中考真题）综合与实践树人中学组织一次“爱心义卖”活动．九（5）班分配到了一块矩形义卖区和一把遮阳伞，遮阳伞在地面上的投影是一个平行四边形（如图1）初始时，矩形义卖区ABCD与遮阳伞投影YMNPQ的平面图如图2所示，P在AD上，只能左右平移遮阳伞．在移动过程中，YMNPQ也随之移动（MN始终在AB边所在直线l上且形状大小保持不变，但落在义卖区内的部分（遮阳区）会呈现不同的形状．如图3为YMNPQ移动到P落在BC上的情形.【问题提出】西西同学打算用数学方法，确定遮阳区面积最大时YMNPQ的位置.设遮阳区的面积为Sm2，YMNPQ从初始时向右移动的距离为xm.【直观感知】（1）从初始起右移至图3情形的过程中，S随x的增大如何变化？【初步探究】（2）求图3情形的x与S的值；【深入研究】（3）从图3情形起右移至M与A重合，求该过程中S关于x的解析式；【问题解决】（4）当遮阳区面积最大时，YMNPQ向右移动了多少？（直接写出结果）知识必备平移的性质、点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系。答题技法圆的平移即圆心的平移，半径不变。平移后圆与直线（圆）的位置关系取决于圆心到直线（圆心距）与半径的比较。母题精讲【典例01】（2025·辽宁抚顺·一模）在平面直角坐标系xOy中，半径为2的ΘP的圆心P的坐标为(-3,0)，将ΘP沿x轴正方向平移，使ΘP与y轴相切，则平移的距离为()变式应用BC=4，点O在边AB上，且AO=2，以点O为圆心，2为半径在AB的上方作半圆O，交AB于点D，E，交AC于点P．将半圆O沿AB向右平移，设点D平移的距离为x(x>0).(1)在图1中，劣弧的长为；(2)当半圆O平移到与边AC相切时，如图2所示.①求x的值；②已知M，N分别是边BC与上的动点，连接MN，求MN的最小值和最大值之和；(3)在半圆O沿边AB向右平移的过程中，当半圆O与△ABC的重叠部分是半圆O时，直接写出x的取值范围.右沿直线l平移上BAC得到上B,A,C,，设平移距离为x.(1)若上B,A,C,的边A,C,经过点D，则平移的距离x=______；(3)当上B,A,C,的边与半圆E相切时，直接写出x的值.知识必备轴对称的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、角平分线性质、直角三角形性质、分类讨论思想。答题技法折叠即全等，找准折痕（对称轴）。设未知数表示折叠后相关线段长度，在直角三角形中利用勾股定理列方程。若涉及动点折叠，需分类讨论点的落点位置（如落在边上、角平分线上母题精讲【典例01】（2025·江苏徐州·中考真题）如图，将三角形纸片ABC折叠，使点A落在边BC上的点D处，折痕为CE．若△ABC的面积为8，△BCE的面积为5，则BD:DC=.变式应用【变式01】（2025·江苏常州·中考真题）如图，在△ABC中，tanC=，D是边BC上一点，将△ACD沿AD翻折得到△AED使线段AE、BC相交于点F，若CF=5，EF=2，则D、E是边AB、AC上的点，且DEⅡBC，将△ADE沿DE翻折至△FDE，DF与BC交于点G．如果△FCG的面积是△ADE面积的1，那么线段DE的长是.4______知识必备轴对称的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、角平分线性质、直角三角形性质、分类讨论思想。答题技法折叠即全等，找准折痕（对称轴）。设未知数表示折叠后相关线段长度，在直角三角形中利用勾股定理列方程。若涉及动点折叠，需分类讨论点的落点位置（如落在边上、角平分线上母题精讲【典例01】（2025·四川资阳·中考真题）如图，在四边形ABCD中，变式应用【变式01】（2025·山东潍坊·中考真题）如图，在□ABCD中，点E在边BC上，将△ABE沿AE折叠，点B的对应点B’恰好落在边DC上；将△ADB’沿AB’折叠，点D的对应点D¢恰好【变式02】（2025·山东济南·中考真题）如图，正方形纸片ABCD中，E是AD上一点，将纸片沿过点E的直线折叠，使点A落在CD上的点G处，点B落在点H处，折痕EF交BC.知识必备圆的轴对称性、垂径定理、勾股定理、切线的性质和判定、弧长的计算。答题技法圆是轴对称图形，任何直径所在直线都是对称轴。折叠问题中，折痕若过圆心，则折叠前后弧完全重合。利用垂径定理可求弦长、半径等。母题精讲【典例01】（2025·山西·模拟预测）如图，半径为2的圆形纸片ΘO上有A,B,C三点，分别沿弦AB,AC折叠圆形纸片，使折叠后的与都经过圆心O，则AB,AC，B◆C围成的阴影部分的面积为()变式应用【变式01】（2024·江西·中考真题）如图，AB是ΘO的直径，AB=2，点C在线段AB上运动，过点C的弦DE丄AB，将沿DE翻折交直线AB于点F，当DE的长为正整数时，线段FB的长为.【变式02】（2025·广东惠州·二模）综合探究：(1)如图1，等圆ΘO与ΘO9相交于点E与点F，连接EF，证明四边形EOFO9为菱形.(2)如图2，已知ΘO的直径AB为10，以线段EF为折痕进行折叠，使得与直径AB相切于点D，若折叠后D与O点重合，求此时的长度.(3)如图3，在题（2）中，改变与直径AB相切的切点D的位置．若折叠后切点D与圆心O的长度OD=1，求折痕EF的长度.知识必备旋转的性质、全等三角形的判定、等腰三角形的性质、等边三角形的性质、勾股定理、分类讨论思想。答题技法遇共顶点等线段（如等腰三角形顶点）常考虑旋转构造全等。旋转前后对应边相等、对应角相等。注意旋转中心的确定，以及旋转角与图中角的关系。母题精讲【典例01】（2025·四川绵阳·中考真题）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，变式应用将△ABC绕点A顺时针旋转120O得到△ADE，点B，点C的对应点分别为点D，点E，连接CE，点D恰好落在线段CE上，则CD的长为() 与DB相交于点P，PB=PC，求证：△ABC≌△DCB；段BA的延长线上时，BC’与AC相交于点M：若AB=2，BC=3，上ABC=60O，求CM的长；（3）如图3，在（2）的条件下，连接CC’并延长，与BD’的延长线相交于点N，连接MN，求△AMN的面积.知识必备旋转的性质、正方形的性质、菱形的性质、全等三角形的判定、手拉手模型。答题技法正方形绕中心旋转90°后与自身重合，是旋转问题的常见素材。遇共顶点等线段（如正方形顶点）常考虑旋转构造全等。旋转前后对应边相等，可利用此性质证明线段相等或垂直。母题精讲【典例01】（2025·四川自贡·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的边长为5，AB边在y轴上．B(0，一2)．若将正方形ABCD绕点O逆时针旋转90O．得到正方变式应用【变式01】（2026·陕西西安·一模）如图，四边形ABCD是边长为2的菱形，上B=120O，【变式02】（2025·天津·一模）已知矩形OABC在平面直角坐标系中，点A(1,0)，点C(0,2)，点O(0,0)，把矩形OABC绕点O顺时针旋转135O，得到矩形ODEF，点A，B，C的对应点分别为D，E，F．DE交y轴于点M.(2)将矩形ODEF沿y轴向上平移，得到矩形ODEF，点O，D，E，F的对应点分别为①如图②,直线DE与x轴交于点N，若CNⅡBO，求t的值；②若矩形ODEF与矩形OABC重叠部分面积为S，当重叠部分为五边形时，试用含有t的式子表示S，并写出t的取值范围（直接写出答案即可）..知识必备圆的旋转对称性、圆心角、弧长公式、扇形面积公式。答题技法圆绕圆心旋转α角度，圆上各点绕圆心旋转相同角度。旋转前后弧长、弦长不变，圆心角变化。利用旋转角等于对应点与圆心连线夹角可求相关量。母题精讲【典例01】（23-24九年级下·浙江杭州·月考）图形的旋转蕴含于自然界的运动变化规律中，即“变”中蕴含着“不变”，这是我们解决图形旋转的关键．三角形的旋转如此，扇形的旋转也如此.【问题情境】如图1，OA=5，将OA绕点O顺时针旋转90O成扇形OAB，点C是OB延长线上一点，BC=1，过点C作射线CM丄OC，求弧AB的长.【问题解决】如图2，将上题中的扇形OAB绕点B按顺时针方向旋转，若旋转后的扇形和射线CM相切与点D，求OO的长.【问题拓展】如图3，将题（1）中的扇形继续旋转，使旋转后点A落在射线CM上，弧AB与射线CM交于另一点E，求OO的长.变式应用【变式01】（2023·四川广元·二模）平面上，Rt△ABC与直径为CE的半圆O如图1摆放，(2)试判断：旋转过程中的大小有无变化，请仅就图2的情形给出证明；若m=6，n=4当半圆O旋转至与△ABC的边相切时，直接写出线段BD的长.是AC的中点，以O为圆心在AC的右侧作半径为3的半圆O，分别交AC于点D,E，交AB于点G,F.(1)求AO及AF的长；(2)如图2，将线段CD连同半圆O绕点C旋转.①在旋转过程中，求点O到AB距离的最小值；②若半圆O与Rt△ABC的直角边相切时，设切点为K，连接AK，写出AK的长.知识必备位似的性质、相似三角形的判定与性质、比例线段、位似中心的确定。答题技法位似是特殊的相似，对应边平行或共线。利用位似比等于相似比建立比例式，结合已知条件列方程求解。注意位似中心可能在图形内部或外部。母题精讲【典例01】（2025·浙江·中考真题）如图，五边形ABCDE,A,B,C,D,E,是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点A,A,的坐标分别为(2,0),(3,0)．若DE的长为3，则D,E,的长为 变式应用【变式01】（2025·山东青岛·模拟预测）如图，A，B是ΘO上的点，A,，B,是ΘO外的点，△AOB和△A,OB,是位似图形，位似中心为点O，点A，B对应点是点A,，B,，OB,交ΘO于点C，若OC=2B,C，AB=2，则A,B,的长为()如图，A，B是ΘO上的点，A,，B,是ΘO外的点，△AOB和△A,OB,是位似图形，位似中心为点O，【变式02】（2025·山东烟台·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为，△ABC的顶点A的坐标为(4,3)．以点P为位似中心作△A1B1C1与△ABC位似，相似比为2，且与△ABC位于点P同侧；以点P为位似中心作△A2B2C2与△A1B1C1位似，相似比为2，且与△A1B1C1位于点P同侧……按照以上规律作图，点A3的坐标为.【变式03】（2026·安徽安庆·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点(1)画出与△ABC关于y轴对称的△AB1C1；(2)以原点O为位似中心在第三象限画出△A2B2C2，使它与△ABC的相似比为2，并写出点C2的坐标；(3)仅利用无刻度直尺在线段A2B2上找一点P，使得C2P∥C1A.知识必备网格作图的关键是找准关键点（三角形顶点）。平移时按向量移动各点；旋转时以旋转中心为圆心，将关键点沿指定方向旋转相同角度；位似时先确定位似中心，将关键点连线并延长至指定倍数。答题技法网格作图的关键是找准关键点（三角形顶点）。平移时按向量移动各点；旋转时以旋转中心为圆心，将关键点沿指定方向旋转相同角度；位似时先确定位似中心，将关键点连线并延长至指定倍数。母题精讲【典例01】（2024·安徽·模拟预测）点如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，线段AB，CD的端点均为格点(网格线的交点)(1)画出线段AB关于直线CD对称的线段A1B1(点A，B的对应点分别为A1，B1)；(2)将线段AB先向下平移2个单位长度，再向右平移4个单位长度，得到线段A2B2(点A，B的对应点分别为A2，B2)，画出线段A2B2；(3)描出线段A2B2上的点P，使得PA=PD，此时的值为.变式应用【变式01】（2024·广东·模拟预测）如图在平面直角坐标系中，网格中每一个正方形的边长均为1个单位长度.△ABC的三个顶点均在格点上.(1)画出△ABC向左平移3个单位，再向下平移2个单位的图形△A1B1C1.(2)画出△ABC绕点A逆时针旋转90O的图形△AB2C2.(3)在x轴上找一点P，使得PB2—PA的值最大，请求出P点的坐标.【变式02】（2026·安徽·模拟预测）如图，在8×8的正方形网格中，点A，B，C是小正方形的顶点，点P在线段AB上.(1)将线段AB向上平移得到线段A1B1，使得线段A1B1经过点C，在图中画出线段A1B1；(2)在图中画出线段EF，使得EF与AB关于点C中心对称，并在线段EF上找一点G，使得EG=AP.知识必备轴对称变换、旋转变换、两点之间线段最短、三角形三边关系、勾股定理。答题技法确定动点所在直线（对称轴）和两个定点。作其中一个定点关于直线的对称点，连接对称点与另一个定点，所得线段与直线的交点即为所求点，线段长即为最小值。母题精讲【典例01】（2023·河南南阳·二模）综合与实践问题提出（1）如图①,请你在直线l上找一点P，使点P到两个定点A和B的距离之和最小，即PA+PB的和最小（保留作图痕迹，不写作法思维转换（2）如图②,已知点E是直线l外一定点，且到直线l的距离为4，MN是直线l上的动线段，MN=6，连接ME，NE，求ME+NE的最小值．小敏在解题过程中发现：“借助物理学科的相对运动思维，若将线段MN看作静线段，则点E在平行于直线l的直线上运动”，请你参考小敏的思路求ME+NE的最小值；拓展应用 （3）如图③,在矩形ABCD中，AD=2AB=25，连接BD，点E、F分别是边BC、AD上的动点，且BE=AF，分别过点E、F作EM丄BD，FN丄BD，垂足分别为M、N，连接AM、AN，请直接写出△AMN周长的最小值.变式应用【变式01】（2023·安徽黄山·模拟预测）如图①,四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM.(1)连接MN，△BMN是等边三角形吗？为什么？(3)①当M点在何处时，AM+CM的值最小；②如图②,当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小，请你画出图形，并说明理由.【变式02】（2025·河南周口·二模）利用轴对称求最值的核心思路是通过轴对称变换，将复杂的几何问题转化为简单的对称问题．具体步骤如下：首先需要确定问题的对称轴，这通常是根据题目的几何条件来确定的．然后构造对称点，将动点关于对称轴构造出对称点，这样可以将原问题转化为两个对称点之间的问题．请据此解答下面的问题.问题提出（1）如图1，已知上AOB=30O，P是上AOB内一点，OP=6，点M，N分别是OA，OB边上的动点（不与点O重合求△PMN周长的最小值．我们可以分别作点P关于OA，OB的对称点P1，P2，然后连接P1，P2，P1P2与OA，OB有两个交点，当M、N分别与这两个交点重合时，如图2，△PMN周长最小.OP②△PMN周长的最小值是.问题探究（2）如图3，在等腰Rt△ABC中，上ACB=90O，BC=2，点D是AC的中点．在AB上取点P，连接DP，CP，试求DP+CP的最小值.问题解决（3）如图4，四边形ACBD为一个矩形绿地，点O为矩形ACBD的中心，通过测量得接写出这个最小值.知识必备锐角三角函数的定义、特殊角的三角函数值、勾股定理、直角三角形的边角关系、解直角三角形的四种基本类型（已知两边、已知一边一角等）。答题技法在非直角三角形中通过作高构造直角三角形，利用等角转化或方程思想求解。母题精讲【典例01】（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在四边形ABCD中，则点B到直线FH的距离为.·变式应用【变式01】（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在正方形ABCD中，点E在BC的延长线上，点F是CD的中点，连接EF并延长交AD于点G，连接BF,BG,AB=4CE=4，则 【变式02】（2025·四川·中考真题）为测量物体把一根细线固定在半圆形量角器的圆心处，细线的另一端系一个小重物，制成一个简单的测角仪，利用它可以测量仰角或俯角，当测量物体时，将该仪器用手托起，拿到眼前，使视线沿着仪器的直径所在直线刚好到达物体的最高点.【测量高度】小丽同学用此测角仪测量一棵树的高度，先在该树前平地上选择一点A，站立此处，测得树顶端D的仰角为37o，再测得点A离树底端B的距离为20米，并测得眼睛所在位置点C离点A的距离为1.5米，请根据这些数据，求出树的高度参考数据：sin37o≈0.60，【变式03】（2025·陕西·中考真题）小伟和小华想用所学数学知识测量小河的宽．测量示意图如图所示，他们在河边的山坡BM上的点C处安装测角仪CD，测得河对岸点A的俯角α为8.5o,CD与BM的夹角β为78.5o，又测得点C与河岸点B之间的距离CB为10m．已知巩固提升12025·上海·一模）如图，将平行四边形ABCD绕点A旋转到平行四边形AEFG的位置，其中点B、C、D分别落在点E、F、G处，且点B、E、D、F在一直线上．如果点E恰好是对角线BD的中点，那么的值=.22025·福建泉州·二模）在等腰△ABC中，上A=120O，AB线BD上的一点，半径为1的ΘO经过点B，将ΘO沿BD方向平移，当ΘO与△ABC的边相切时，ΘO平移的距离是.32026·全国·模拟预测）如图，将口ABCD绕点A逆时针旋转得到口AEFG，使点E恰好落在边BC的中点，且点D落在FG上．已知则的值为.42025·山东滨州·中考真题）如图，每个小正方形的边长都为1，点A、B、C均在格点上.（1）只用无刻度的直尺在AC上找一点D，使得BD最短（保留作图痕迹）.（2）在（1）的基础上，在BC边上找一点M，使得MA+MD最小，最小值为.52025·河北沧州·模拟预测）如图1~图3，AB是半圆O的直径，且AB=6，MN是半圆O的弦（点M，N可分别与点A，B重合将半圆O沿直线MN翻折.(1)当点N与点B重合，且7ABM=30O时，如图1.②当半圆O沿直线MN翻折后，劣弧是否经过圆心O填“是”或“否”(2)当MN∥AB时，如图2，过点O作OPTMN，垂足为点P，折叠后的劣弧恰好经过OP的中点Q，连接NQ，求tan7MNQ的值；(3)若折叠后的劣弧与直径AB切于点C，且点C是半径OB的中点，如图3，求折痕MN(4)若折叠后的劣弧始终与直径AB相切，设MN=d，直接写出d的取值范围.62025·河北张家口·二模）【情境】数学课上，同学们用圆形纸片探究折叠的性质，如图1，AB是ΘO的直径，AB=4，沿弦CD折叠，使折叠后的与AB相切于点E.【发现】所在圆的半径为；【探究】为了找到所在圆的圆心，同学们讨论了以下两种方式.淇淇说：取弦CE和弦ED的中垂线的交点即可.嘉嘉说：不必画两条中垂线，如图2，只需作点O关于弦CD的对称点O，点O即为所求.淇淇说：这样看来，折叠后，切点E在直径AB上运动，可以看成ΘO在直径AB上滚动.嘉嘉说：没错，所以当点E在直径AB上运动时，点O的运动路线和直径AB的位置关系是 【拓展】（1）如图3，若切点E为OB的中点，连接O’B，交ΘO于点M，连接AM，求弦AM的长；（2）若切点E落在线段OB上（包括端点直接写出弦CD的最大值和最小值.72025·江苏徐州·模拟预测）在□ABCD中，已知AB=5，BC=2，上A=45O，以AB所在直线为x轴，A为坐标原点建立直角坐标系，将□ABCD绕A点按逆时针方向旋转90O得到□OEFG（图1）(1)直接写出C、F两点的坐标.(2)□ABCD沿x轴的负半轴以1米/秒的速度平行移动，设移动后x秒（图2□ABCD与□OEFG重叠部分的面积为y，当点D移动到□OEFG的内部时，求y与x之间的关系式.(3)若□ABCD与□OEFG同时从O点出发，分别沿x轴、y轴的负半轴以1米/秒的速度平行移动，设移动后x秒（如图3□ABCD与□OEFG重叠部分的面积为y，当点D移动到□O’EFG的内部时，求y与x之间的关系式，并求出重叠部分面积的最大值.82025·陕西·一模）【问题提出】点O是BD上的一个动点，连接OA、OC，当OA+OC最小时，上COD的度数为______O；【问题探究】（2）如图2，△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，AB=AC，AD=AE，点D在边BC上，点F是BA延长线上一点，且AF=AB，连接EF，判断EF与CD的数量关系，并说明理由；【问题解决】（3）如图3，△ABC是某公园门口规划的一块等腰三角形广场，在BC边上找一点D修建便民服务中心，在AD右侧修建一个等边三角形（即△ADE）的草坪，沿BE铺设一条石子小路（宽度忽略不计从BE的中点F处向点A铺设一条灯光地板AF．已知AB=AC=40m，上BAC=120。，若在线段AC上找一点P修建游客休息亭，AP=CD，当点B到点P的距离BP与AD的长度之和最小（即AD+BP最小）时，求此时铺设灯光地板AF的长度.92024·湖北·模拟预测）阅读以下材料并完成问题可看做是图一中AB的长，2+b2可看做是AD的长.材料二：费马点问题是一个古老的数学问题．费马点即在△ABC中有一点P使得PA+PB+PC的值最小．著名法学家费马给出的证明方法如下：将△ABP绕B点向外旋转60。得到△A1B1C1APP+PC，所以PA+PB+PC的值最小为A1C.+y2的最小值点D在AC上，DE丄MN于点E，DE是半圆O的直径，且DE=4,G为DE上靠近点D的三等分点，F是上的动点.(1)CF的最小值为______，CF的最大值为______；(2)沿直线MN向右平移半圆O，若半圆O的右移速度为每秒1个单位长度，求点G在△ABC的区域内部（包括边界）的时长；(3)过点B作BH丄MN于点H，且BH，沿直线MN向右平移半圆O.①如图2，当点E与点H重合时，求半圆O在BC上截得的线段RT的长；②将半圆O移动到如图2所示的位置时作为初始位置，将线段BE连带半圆O按顺时针方向接写出点E运动的路径长注：结果保留sin37。=,sin53。=冲刺突破12025·天津·中考真题）如图，在△ABC中，上ACB=90。，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB,C,，点B，C的对应点分别为B,,C,,B,C,的延长线与边BC相交于点D，连接CC,．若AC=4,CD=3，则线段CC,的长为()22025·江苏南京·中考真题）如图，点E，F在矩形ABCD内，Rt△ABE≌Rt△CDF．若32025·山东东营·中考真题）如图，四边形ABCD是正方形，E为CD上一点，将△ADE绕则CE的长为.42025·天津河东·一模）在平面直角坐标系中，O为原点，点A(6,0)，点B在y轴的正半(1)填空：如图①,点B的坐标为，点C的坐标为；(2)将△BCO沿x轴向右平移得到△B,C,O,，点B，C，O的对应点分别为B,，C,，O,.①如图②,设OO,=t，△B,C,O,与△ABO重叠部分的面积为S．当△B,C,O,与△ABO重叠部分为五边形时，B,O,，B,C,，C,O,分别与AB，BO相交于点E，F，G，H，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；②连接AB,、OC,，当AB,+OC,取得最小值时，求点C,的坐标（直接写出结果即可）.52025·山东东营·中考真题）（1）探索发现东营市全面落实国家课程方案．某校开设了纸艺课程，三个项目组在折纸活动中发现：在则BD、CD与上BAC的两边AB、AC存在着某种关系．如图1，请你帮助项目组判断与的数量关系为.（2）猜想验证项目组猜想：当△ABC为任意三角形时，上述数量关系仍然成立．为了验证这一猜想，项目组按照（1）中的方法折叠，AD为折痕，分别得出了不同的方案，并画出了以下图形．请选择任意一种方案证明.（3）拓展应用如图5，在△ABC中，AD平分上BAC交BC于点D，E为BC延长线上一点，AE=DE．求证：62025·吉林·一模）【驱动背景】在ΘO中，将劣弧AB沿弦AB所在的直线折叠，使得弧AB恰好过圆心O，圆心O关于直线AB的对称点为O1.【前情感知】（1）如图1，连接OA，OB，7AOB的度数为；【问题探究】（2）如图2，若点D是优弧AB上的任意一点①7ACB的度数为；猜想BC与BD的数量关系；②如图3，若弧AB（翻折后）不经过圆心O．BC与BD的数量关系是否仍然成立？请说明你的理由.【拓展生长】（3）如图4，若AD为ΘO直径，将第一次折叠后的弧AB（弧AC部分）沿AC向下翻折交弦AB于点E，连接CE．若AD=10，OC=1，请直接写出线段CE的长.72025·山东德州·中考真题）已知点O是正方形ABCD的中心，点P，E分别是对角线AC，边BC上的动点（均不与端点重合作射线PE.(1)将射线PE绕点P逆时针旋转90°,交边CD于点F.①如图1，当点P与点O重合时，求证：PE=PF；②如图2，当时，请判断是否为定值．如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由；(2)如图3，连接BP，当7BPE=45o时，将射线PE绕点P顺时针旋转90°=k，PE=a，求四边形PEBF的面积（用含a，k的式子表示）.82025·江苏淮安·中考真题）综合与实践【主题】雨天撑伞的学问【情境】图（1）、图（2）是小丽在雨天水平撑伞的示意图，她的身体侧面可以近似看作矩形MNPQ，MN=0.2米，MQ=1.6米，雨伞撑开的宽度AC=1米，伞柄的OG部分长为0.45米，点O为AC中点，OGTAC，点G到地面的距离是1.35米，手臂可以水平向前最长伸出0.5米，雨线AB与地面的夹角为θ,雨线AB与CD平行，AC与地面BD平行.【问题感知】（1）①在图（1）、图（2）中，点C到地面的距离是米；②如图（1）所示，θ=720，若小丽将伞拿在胸前（OG与NP在同一条直线上则小丽身【问题探究】（2）如图（2）所示，θ=600，设小丽将手臂水平前伸了x米（即线段EG的长度身体被雨水淋湿部分PK的长度为y米，求y与x的函数表达式，并写出头部不被淋湿情况下x的取值范围.【问题解决】（3）在（2）的条件下，小丽发现水平撑伞身体始终有部分会被淋湿，于是她将雨伞绕点G顺时针旋转一定角度（点G到地面的距离保持不变使得AC与雨线AB垂直，如图（3）所示，试问：小丽在旋转雨伞后，是否可以通过调节手臂水平前伸长度，使得全身都不会被雨淋湿？如果可以，请求出EG的最小值；如果不可以，请说明理由.92025·吉林·中考真题）【问题背景】在学习了平行四边形后，某数学兴趣小组研究了有一个内角为600的平行四边形的折叠问题．其探究过程如下：点F在边DC上，且DF=DE，连接EF，将△DEF沿EF翻折得到△GEF，点D的对称点为点G．小组成员发现四边形DEGF是一个特殊的四边形，请判断该四边形的形状，不需要说明理由.是平行四边形.【探究提升】在图②中，四边形GFHN能否成为轴对称图形．如果能，直接写出的值；如果不能，说明理由.102025·山东滨州·中考真题）【背景资料】最小覆盖圆在几何学和计算机科学中有着广泛的应用．我们把能完全覆盖某平面图形的最小的圆称为该平面图形的最小覆盖圆．如线段的最小覆盖圆是以线段为直径的圆，锐角三角形的最小覆盖圆是这个三角形的外接圆，直角三角形的最小覆盖圆是以斜边为直径的圆，钝角三角形的最小覆盖圆是以最长边为直径的圆，正方形的最小覆盖圆是以对角线为直径的圆.【动手操作】如图1，△ABC中，7BAC<90O，请作出△ABC的最小覆盖圆要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法.)【迁移运用】正方形ABCD的边长为7，在边CD上截取CE=2，以CE为边向外作正方形CEFG.（1）如图2，连接AF,DF，求△ADF的最小覆盖圆的直径；（2）将图2中的正方形CEFG绕点C逆时针旋转90O（如图3ΘO经过A，D，F三点，且与边AB,CD分别交于点I，L，求△ADF的最小覆盖圆的直径；（3）将正方形CEFG绕点C旋转，分别取DB,BG,GE,ED的中点M，N，P，Q，顺次连接各中点，得到四边形MNPQ（如图4在旋转过程中，四边形MNPQ的最小覆盖圆的直径d的值是否发生变化？如果不变，请直接写出d的值；如果变化，请直接写出d的取值范围.技法清单知识必备平移的性质、平面直角坐标系中点的坐标变换、全等三角形的性质、平行四边形的判定。答题技法坐标系中点的平移遵循“右加左减横坐标，上加下减纵坐标”。平移前后的三角形全等，对应边平行且相等。利用平移构造平行四边形是常见辅助线思路。母题精讲【典例01】（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，等边△ABC的顶点A(1,0),C(1,2)，将△ABC向左平移1个单位长度，则平移后点B的坐标为()【答案】A【分析】本题考查等边三角形的性质，坐标系中图形的平移，根据等边三角形的性质求出点坐标是解题关键.过点B作AC的垂线，通过点A，C的坐标确定AC与坐标轴的位置关系，再利用等边三角形的性质求出点B的坐标，利用坐标系中图形的平移规律求解即可.【详解】解：如图，过点B作BD丄AC，垂足为D，【答案】21-3=-2，∴B∴在△ABC向左平移1个单位长度后，点B的坐标为，故选：A.变式应用【变式01】（2025·山东济南·一模）如图，将△ABC沿BC边上的中线AD平移到△A,B,C,的位置，已知△ABC的面积为9，阴影部分三角形的面积为4．若AA,=1，则A,D=.【分析】本题主要考查了平移的性质，三角形中线平分三角形的面积，相似三角形的性质，解题的关键是证明△DA,E∽△DAB，利用相似三角形的性质列方程.由S△ABC=9,S△A,EF=4且AD为BC边的中线知S△A,DE=S△A,EF=2,S△ABD=S△ABC=根据△DA,E∽△DAB，利用相似三角形面积的比等于相似比的平方列式求解可得.【详解】解：∵S△ABC=9,S△A,EF=4，且AD为BC边的中线，∵将△ABC沿BC边上的中线AD平移得到△A,B,C,，解得A,D=2或A,D=-（舍故答案为：2.【变式02】（2025·陕西延安·一模）如图，将△ABC沿直线BC方向平移到△A1B1C1的位置【答案】70【分析】本题考查了平移的性质(平移前后对应线段平行)及平行线的性质(两直线平行，同旁内角互补)，解题的关键是根据平移性质得出对应线段平行，再利用平行线性质结合已知角度求上D的度数.由平移性质可知,△ABC平移后对应线段AB∥A1B1；AB与A1B1平行，故上A与上D组成内错角，根据两直线平行内错角相等，即可求出上D.【详解】解：∵△ABC沿直线BC方向平移得到△A1B1C1，(平移的性质：平移前后对应线段平行).D，故答案为：70.知识必备平移的性质、平行四边形的性质与判定、平面直角坐标系中点的坐标变换、全等图形的性质。答题技法平移前后的四边形全等，对应边平行且相等。利用平移可构造平行四边形，解决线段相等或平行的问题。坐标系中点的平移规律同样适用。母题精讲【典例01】（2025·浙江·模拟预测）如图，AC是菱形ABCD的对角线，把菱形ABCD沿着对角线AC方向平移，得到菱形A,B,C,D,，A,B,，A,D,分别交BC，CD于点G，H，连接GH，若AA,=x(0<x<AC)，GH=y，则y与x之间的关系大致可以用函数图象表示为()B.D.【答案】D【分析】先利用菱形和平移的性质得到线段与角度的关系，再通过三角函数表示出GH的长度，从而建立y与x的函数关系式，最后根据函数的性质判断对应的函数图象.【详解】解：如图，记GH交AC于点O，∵α为定值，m为定值，∴tanα为定值，且小于0，m∙tanα为定值，且大于0，∴y是关于x的一次函数，且y随x的增大而减小，∴D选项符合题意.变式应用【变式01】（2023·山东潍坊·中考真题）如图，在直角坐标系中，菱形OABC的顶点A的坐标为(2,0)，上AOC=60O．将菱形OABC沿x轴向右平移1个单位长度，再沿y轴向下平移1个单位长度，得到菱形OABC，其中点B的坐标为()【答案】A【分析】如图，过B作BH丄x轴于H，求解OA=AB=2，ABⅡOC，可得再利用平移的性质可得【详解】解：如图，过B作BH丄x轴于H，∵将菱形OABC沿x轴向右平移1个单位长度，再沿y轴向下平移1个单位长度，故选A【点睛】本题考查的是菱形的性质，勾股定理的应用，锐角三角函数的应用，图形的平移，熟练的求解B的坐标是解本题的关键.【变式02】（2025·广西·中考真题）综合与实践树人中学组织一次“爱心义卖”活动．九（5）班分配到了一块矩形义卖区和一把遮阳伞，遮阳伞在地面上的投影是一个平行四边形（如图1）初始时，矩形义卖区ABCD与遮阳伞投影YMNPQ的平面图如图2所示，P在AD上，学只能左右平移遮阳伞．在移动过程中，YMNPQ也随之移动（MN始终在AB边所在直线l上且形状大小保持不变，但落在义卖区内的部分（遮阳区）会呈现不同的形状．如图3为YMNPQ移动到P落在BC上的情形.【问题提出】西西同学打算用数学方法，确定遮阳区面积最大时YMNPQ的位置.设遮阳区的面积为Sm2，YMNPQ从初始时向右移动的距离为xm.【直观感知】（1）从初始起右移至图3情形的过程中，S随x的增大如何变化？【初步探究】（2）求图3情形的x与S的值；【深入研究】（3）从图3情形起右移至M与A重合，求该过程中S关于x的解析式；【问题解决】（4）当遮阳区面积最大时，YMNPQ向右移动了多少直接写出结果）【分析】（1）根据矩形的性质得tan上PNA=根据平行四边形的面积公式得SYMNPQ=MN.AP=6，然后分别求出当0≤x≤1时，当1<x≤3时，S关于x的解析式，即可得出结论；（2）根据（1）的结论可得答案；（3）当3<x≤4时，如图，设YMNPQ向右移动xm后得到YMN//P/Q/，设M/Q/交AD于点此时遮阳区的面积为六边形ANKHQJ的面积，推出=tan上JM=tan上PNA=2，S=S六边形ANKHQ=SYMNPQ—S△JAM—S△KHP即可得出结论；（4）分别确定：当0≤x≤1时，当1<x≤3时，当3<x≤4时，各个范围内S的最大值，即可得出结论.【详解】解1）∵四边形ABCD是矩形，四边形MNPQ是平行四边形，MN=3，AB=3，BC=2.5，MN在AB边所在直线l上，当0≤x≤1时，如图，设PN交AD于点F，PQ交AD于点E，则PE=x，此时遮阳区的面积为!PEF的面积，∴当0≤x≤1时，S随x的增大而增大，S的值从0增大到1；此时遮阳区的面积为四边形ANPG的面积，∴四边形ANPG为梯形，∴当1<x≤3时，S随x的增大而增大，S的值从1增大到5；综上所述，从初始起右移至图3情形的过程中，S随x的增大而增大；（2）如图3，此时点P落在BC上，则x=3，（3）当3<x≤4时，如图，设YMNPQ向右移动xm后得到YMNPQ，设MQ交AD于点J，PN交BC于点K，PQ交BC于点H，则PH=x—3，AM=4—x，此时遮阳区的面积为六边形ANKHQJ的面积，∴QMⅡQMⅡPNⅡPN，PQⅡl，SYMNPQ=SYMNPQ=6，六边形ANKHQJYMNPQS△JAMS△KHP=6AM.AJHP.HK=2x2∴从图3情形起右移至M与A重合，该过程中S关于x的解析式为当1<x≤3时，S=2x-1，当x=3时，S的最大值为：S=2×3-1=5；当3<x≤4时，S=-2x2+14x-19=-2∴当x=的最大值为：S=-2×综上所述，当x=取得最大值，最大值为，∴当遮阳区面积最大时，YMNPQ向右移动了m.【点睛】本题考查平移的性质，矩形的性质，平行四边形的性质，锐角三角函数的定义，列函数关系式，二次函数的最值，等积变换等知识点，利用分类讨论的思想及数形结合的思想解决问题是解题的关键.知识必备平移的性质、点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系。答题技法圆的平移即圆心的平移，半径不变。平移后圆与直线（圆）的位置关系取决于圆心到直线（圆心距）与半径的比较。母题精讲【典例01】（2025·辽宁抚顺·一模）在平面直角坐标系xOy中，半径为2的ΘP的圆心P的坐标为(-3,0)，将ΘP沿x轴正方向平移，使ΘP与y轴相切，则平移的距离为()【答案】A【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，解题的关键是了解当圆与直线相切时，点到圆心的距离等于圆的半径．分为圆在y轴的左侧和在y轴的右侧两种情况写出答案即可.【详解】解：∵圆与直线相切时，点到圆心的距离等于圆的半径2，∵当ΘP位于y轴的左侧且与y轴相切时，平移的距离为1；当ΘP位于y轴的右侧且与y轴相切时，平移的距离为5.综上所述，将ΘP沿x轴正方向平移，使ΘP与y轴相切，则平移的距离为1或5.故选：A.变式应用BC=4，点O在边AB上，且AO=2，以点O为圆心，2为半径在AB的上方作半圆O，交AB于点D，E，交AC于点P．将半圆O沿AB向右平移，设点D平移的距离为x(x>0).(1)在图1中，劣弧的长为；(2)当半圆O平移到与边AC相切时，如图2所示.①求x的值；②已知M，N分别是边BC与上的动点，连接MN，求MN的最小值和最大值之和；(3)在半圆O沿边AB向右平移的过程中，当半圆O与△ABC的重叠部分是半圆O时，直接写出x的取值范围.(2)①x=2；②MN的最小值和最大值之和为23+4 【分析】（1）本题主要考查利用扇形弧长公式计算劣弧长度，找到劣弧所对的圆心角是解决问题的关键，在利用公式求解.（2）本题主要考查利用切线的性质求x的值，其次利用点到直线距离求MN的最小值，由于M，N两点都是自由点，故可以直接算出MN的最大值，即当点M与点B重合时，点N与点D重合时，此时MN最大（3）本题主要考查圆完全在△ABC三角形内部时的临界状态，即圆与三角形△ABC两条直角边分别相切时，即可求出x的取值范围.【详解】（1）解：如下图，连接OP；（2）①连接PO，②如下图，当OM丄BC时，OM与弧DE交于点N，此时MN最小； ∴根据勾股定理可得OM=23， 如图2，当点M与点B重合时，点N与点D重合时，此时MN最大，MN=OB+OD=6； 如图3，半圆O与BC相切，连接OP，∴ACⅡOP，(1)若上BAC的边AC经过点D，则平移的距离x=______；(3)当上BAC的边与半圆E相切时，直接写出x的值. 【答案】(1)623(2)45O(3)633或33【分析】（1）由平移性质和正切函数求解即可；（2）在图2中，连接EH、EG、DH，由弧长公式求得等边三角形，证得EGⅡl，则上GEO=上AOD=90O，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求解即可；（3）根据题意，分当上BAC的边AC与半圆E相切和上BAC的边AB与半圆E相切两种情况，分别画出图形，利用切线性质和锐角三角函数求解即可. 故答案为：623；（2）解：连接EH、EG、DH，如图2所示，则半圆E的半径ED=EO=OD=3，∴△EGH是等边三角形，（3）解：根据题意，分两种情况：A’的边AA 63综上，平移的距离x的值为6—33或33.【点睛】本题考查平移性质、切线性质、解直角三角形、弧长公式、角平分线的性质、三角形和四边形的内角和、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，利用数形结合和分类讨论思想求解是解答的关键.知识必备轴对称的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、角平分线性质、直角三角形性质、分类讨论思想。答题技法折叠即全等，找准折痕（对称轴）。设未知数表示折叠后相关线段长度，在直角三角形中利用勾股定理列方程。若涉及动点折叠，需分类讨论点的落点位置（如落在边上、角平分线上母题精讲【典例01】（2025·江苏徐州·中考真题）如图，将三角形纸片ABC折叠，使点A落在边BC上的点D处，折痕为CE．若△ABC的面积为8，△BCE的面积为5，则BD:DC=.【答案】2:3【分析】本题考查的是轴对称的性质，三角形面积，先求解△DCE的面积为3，△BDE的面积为2，进一步可得答案.【详解】解：∵△ABC的面积为8，△BCE的面积为5，∴△ACE的面积为8-5=3，由折叠可得：△DCE的面积为3，故答案为：2:3变式应用【变式01】（2025·江苏常州·中考真题）如图，在△ABC中，tanC=，D是边BC上一点，将△ACD沿AD翻折得到△AED使线段AE、BC相交于点F，若CF=5，EF=2，则AC=.【答案】【分析】本题考查解直角三角形，勾股定理，翻折的性质，熟练作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．过点F作FG^AC于点G，由tanC=，设FG=4x，则CG=3x，结合CF=5，求出FG=4，CG=3，由翻折得AC=AE，设AC=AE=y，则AG=AC-CG=y-3，AF=AE-EF=y-2，在Rt△AFG中，利用AF2=AG2+FG2，求解即可.【详解】解：过点F作FG^AC于点G，由翻折得AC=AE，设AC=AE=y，则AG=AC-CG=y-3，AF=AE-EF=y-2，在Rt△AFG中，AF2=AG2+FG2，即(y-2)2=(y-3)2+42，解得D、E是边AB、AC上的点，且DEⅡBC，将△ADE沿DE翻折至△FDE，DF与BC交于点G．如果△FCG的面积是△ADE面积的，那么线段DE的长是.【答案】4【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，折叠的性质，由△ADE沿DE翻折至△FDE，得8-x=2x，解得：所以再证明△AED∽△ACB，得然后代入即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键.【详解】解：∵将△ADE沿DE翻折至△FDE，由EF=AE，得8x=2x，解得：故答案为：4.知识必备轴对称的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、角平分线性质、直角三角形性质、分类讨论思想。答题技法折叠即全等，找准折痕（对称轴）。设未知数表示折叠后相关线段长度，在直角三角形中利用勾股定理列方程。若涉及动点折叠，需分类讨论点的落点位置（如落在边上、角平分线上母题精讲【典例01】（2025·四川资阳·中考真题）如图，在四边形ABCD中，点．现将△AEF沿EF所在直线翻折得到△A,EF（如图的所有点在同一平面内连接A,B，AC，则△ABC面积的最小值为()【答案】B【分析】本题主要考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，根据题意得到点A在以点E为圆心，1长为半径的半圆上运动是解题的关键.再利用勾股定理求出BC的长，从而得到当点A到BC的距离最小时，△ABC面积最小，过点A作AH丄BC交BC的延长线于点H，即当AH最小时，△ABC面积最小，然后结合可得点A在以点E为圆心，1长为半径的半圆上运动，当点E，A，H三点共线时，AH最小，此时△ABC面积最小，延长AD,BC交于点M，过点D作DN丄CM于点N，则DN∥EH，可得△MND∽△MHE，即可求解.【详解】解：如图，过点C作CG丄AB于点G，∴四边形ADCG是矩形，222∴当点A到BC的距离最小时，△ABC面积最小，过点A,作A,H丄BC交BC的延长线于点H，即当A,H最小时，△A,BC面积最小，∴点A,在以点E为圆心，1长为半径的半圆上运动，∴当点E，A,，H三点共线时，A,H最小，此时△A,BC面积最小，延长AD，BC交于点M，过点D作DN丄CM于点N，则DN∥EH，∵AB∥CD，∴△CDM是等腰直角三角形，222故选：B.变式应用【变式01】（2025·山东潍坊·中考真题）如图，在□ABCD中，点E在边BC上，将△ABE沿AE折叠，点B的对应点B’恰好落在边【答案】【分析】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，平行线的性质，由四边形ABCD是平行四边形，得上BAD=上C=α,ABⅡCD，最后通过角度和差即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键.【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∵ABⅡCD，故答案为：.【变式02】（2025·山东济南·中考真题）如图，正方形纸片ABCD中，E是AD上一点，将纸片沿过点E的直线折叠，使点A落在CD上的点G处，点B落在点H处，折痕EF交BC【分析】由折叠性质可知AG丄EF，进而利用同角的余角相等证明上GAE=上NFE，由此即可得出△ADG≌△FNE(ASA)，进而确定AG=EF．在Rt△ADG中，根据勾股定理列方程求解即可.【详解】解：如图，连接AG交EF于点M，过点F作FN丄AD，垂足为N，∵正方形ABCD，∴四边形ABFN是矩形，设正方形边长为x，则AB=AD=CD=x， 在Rt△ADG中，AG2=DG2+AD2，即(x-4)2+x2=(4·3)2解得：x=2+2·5或x=2-25（不合题意舍去） 故答案为：2+25.【点睛】本题考查正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的判定与性质，掌握折叠的性质，根据垂直模型证明AG=EF是解题关键..知识必备圆的轴对称性、垂径定理、勾股定理、切线的性质和判定、弧长的计算。答题技法圆是轴对称图形，任何直径所在直线都是对称轴。折叠问题中，折痕若过圆心，则折叠前后弧完全重合。利用垂径定理可求弦长、半径等。母题精讲【典例01】（2025·山西·模拟预测）如图，半径为2的圆形纸片ΘO上有A,B,C三点，分别沿弦AB,AC折叠圆形纸片，使折叠后的与都经过圆心O，则AB,AC，B命C围成的阴影部分的面积为()【答案】A 【分析】本题主要考查了求不规则图形的面积，解直角三角形，等边三角形的性质与判定，折叠的性质，垂径定理，在上取点O关于直线AC的对称点E，连接AE,CE,AO,CO，连接OE交AC于点M，由折叠的性质可得AO=AE,CO=CE，则可证明△AOE和△COE是等边三角形，OE垂直平分AC，进而可兀再根据S阴影=SΘOS弓形ACES弓形AB列式求解即可.【详解】解：如图，在上取点O关于直线AC的对称点E，连接AE,CE,AO,CO，连接OE交AC于点M.:AO=AE=OE=OC=CE.:△AOE和△COE是等边三角形，OE垂直平分AC.=S扇形AOC-S△AOC=同理可得S弓形阴影ΘO弓形ACE弓形AB(3,:S=S-S-S=π×22-2阴影ΘO弓形ACE弓形AB(3,故选：A.变式应用【变式01】（2024·江西·中考真题）如图，AB是ΘO的直径，AB=2，点C在线段AB上运动，过点C的弦DE丄AB，将沿DE翻折交直线AB于点F，当DE的长为正整数时，线段FB的长为.【答案】2-或2+或2【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，折叠的性质，根据DE≤AB，可得DE=1或2，利用勾股定理进行解答即可，进行分类讨论是解题的关键.【详解】解：:AB为直径，DE为弦，:DE≤AB，:当DE的长为正整数时，DE=1或2，当DE=2时，即DE为直径，∵DE⊥AB:将沿DE翻折交直线AB于点F，此时F与点A重合，故FB=2；当DE=1时，且在点C在线段OB之间，如图，连接OD，此时AB=1，∵DE⊥AB，当DE=1时，且点C在线段OA之间，连接OD，同理可得， 综上，可得线段FB的长为2—3或2+或2， 故答案为：23或2+或2.【变式02】（2025·广东惠州·二模）综合探究：(1)如图1，等圆ΘO与ΘO’相交于点E与点F，连接EF，证明四边形EOFO’为菱形.(2)如图2，已知ΘO的直径AB为10，以线段EF为折痕进行折叠，使得与直径AB相切于点D，若折叠后D与O点重合，求此时的长度.(3)如图3，在题（2）中，改变与直径AB相切的切点D的位置．若折叠后切点D与圆心O的长度OD=1，求折痕EF的长度.【答案】(1)见详解兀 可证明菱形；（2）连接OE、OF，过点O作OH丄EF，则OA=OB=5，结合重叠得OH，即可求得和，利用EF=2EM即可.F，（2）解：连接OE、OF，过点O作OH丄EF，如图，∵直径AB相切于点D，若折叠后D与O点重合，（3）解：设折叠后的圆弧所对的圆心为O，连接OO，OD，OE，OO与EF交于点M，如图所示：由（1）知OO与EF互相垂直平分，由（1）知以点O为圆心的圆半径也是5，∵OD=1，改变E与直径AB相切的切点D的位置，即折痕EF的长为.【点睛】本题考查了翻折的性质、圆的性质、相交圆的性质、菱形的判定、解直角三角形、弧长公式、勾股定理的运用和垂直平分线性质的运用，根据相交圆的性质求解是解题的关键.知识必备旋转的性质、全等三角形的判定、等腰三角形的性质、等边三角形的性质、勾股定理、分类讨论思想。答题技法遇共顶点等线段（如等腰三角形顶点）常考虑旋转构造全等。旋转前后对应边相等、对应角相等。注意旋转中心的确定，以及旋转角与图中角的关系。母题精讲【典例01】（2025·四川绵阳·中考真题）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，【答案】B【分析】本题综合考查矩形的性质，旋转的性质，全等、相似三角形的判定与性质，找到全等三角形和相似三角形建立线段之间的等量关系是解题关键.先通过矩形的性质求出AC的长，再取CD与OD1的交点为M，通过旋转和矩形的对角线相等且互相平分，证明△ODM≌△OC1F(ASA)，再利用等边对等角和对顶角，三角形内角和，推出△OC1F∽△ECF，通过已知条件得到相似比，建立线段之间的等量关系，最后列方程求出对应的值即可.【详解】解：如图，取CD与OD1的交点为M，∵四边形ABCD是矩形，∵O是矩形ABCD的对角线AC，BD的交点，，∴△DOM≌△C1OF(ASA)，△ECF，∴EF=EM=CD-DM-CE=CD-3CF-CE=4·、i3--3CF，故选：B.变式应用将△ABC绕点A顺时针旋转120。得到△ADE，点B，点C的对应点分别为点D，点E，连接CE，点D恰好落在线段CE上，则CD的长为() 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，直角三角形的性质以及旋转的性质，由等腰三角故选：B.段BA的延长线上时，BC’与AC相交于点M：若AB=2，BC=3，上ABC=60O，求CM的长；（3）如图3，在（2）的条件下，连接CC’并延长，与BD’的延长线相交于点N，连接MN，求△AMN的面积.再求得AM:C