2027届新高考数学热点突破复习 等差数列及其前n项和

2027届新高考数学热点突破复习等差数列及其前n项和课标要求1.通过生活中的实例，理解等差数列的概念和通项公式的意义.2.探索并掌握等差数列的前n项和公式，理解等差数列的通项公式与前n

项和公式的关系.3.能在具体问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题.4.体会等差数列与一元一次函数的关系.目录/CONTENTS考点一等差数列的有关概念01考点二等差数列的性质02提能点等差数列的判定与证明03课时跟踪训练0401PART考点一等差数列的有关概念已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d，前n项和为Sn，则等差数列定义式

（d为常数）等差中项A＝

（A是a与b的等差中项）通项公式

或

⁠

⁠前n项和公式an＋1－an＝d

an＝a1＋（n－1）d

an＝am＋（n－m）d

（n，m∈N*）

提醒：在公差为d的等差数列{an}中：①d＞0⇔{an}为递增数列；②d

＝0⇔{an}为常数列；③d＜0⇔{an}为递减数列.

（1）（2025·全国Ⅱ卷7题）记Sn为等差数列{an}的前n项和，若S3

＝6，S5＝－5，则S6＝（

B

）A.

－20B.

－15C.

－10D.

－5

B（2）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝2，S9＝126，若ak＝26，

则k＝

⁠.

9规律方法等差数列基本量运算的常见类型及解题策略（1）求公差d或项数n：在求解时，一般要运用方程思想；（2）求通项：a1和d是等差数列的两个基本元素；（3）求特定项：利用等差数列的通项公式或等差数列的性质求解；（4）求前n项和：利用等差数列的前n项和公式直接求解或利用等差中

项间接求解.练1

（1）（2024·全国甲卷4题）记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知

S5＝S10，a5＝1，则a1＝（

B

）B

（2）〔一题多解〕在公差大于0的等差数列{an}中，a2＋a8＝10，a3a7＝

－11，则该数列的公差为（

D

）C.2D.3

D02PART考点二等差数列的性质1.

若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n（k，l，m，n∈N*），则ak＋al

＝am＋an.2.

若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…（k，m∈N*）

是公差为

的等差数列.3.

若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…

是公差为m2d的等差数列.

md

角度1

项的性质

10规律方法角度2

和的性质

（1）（2026·吉林长春模拟）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，

若S3＝S9＝6，则S12＝（

A

）A.0B.3C.6D.12解析：因为{an}是等差数列，所以S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9成等差数

列，又S3＝S9＝6，所以6，S6－6，6－S6，S12－6成等差数列，则6＋S12

－6＝S6－6＋6－S6，则S12＝0，故选A.

A（2）在项数为2n的等差数列中，各奇数项之和为75，各偶数项之和为

90，末项与首项之差为27，则n＝

⁠.

5规律方法练2

（1）（2026·河北模拟预测）已知{an}是等差数列，a1＋a3＝a6，a3

与a5是方程x2－12x＋m＝0的两根，则{an}的前n项和为

⁠⁠；

03PART提能点等差数列的判定与证明

〔多选〕（2026·河南开封期中）已知数列{an}的前n项和为Sn，则

“数列{an}为等差数列”的充要条件是（

）A.

当n≥2时，an＋1－an＝d（d为常数）B.

an＝kn＋b（k，b为常数）C.

Sn＝an2＋bn（a，b为常数）D.

2an＋1＝an＋an＋2√√√解析：对于A，当n≥1时，an＋1－an＝d⇔数列{an}为等差数列，A错误；对于B，数列{an}的通项公式可以表示为an＝kn＋b⇔数列{an}为等差数列，B正确；对于C，数列{an}的前n项和可以表示为Sn＝an2＋bn的形式⇔数列{an}为等差数列，C正确；对于D，由2an＋1＝an＋an＋2，则数列{an}为等差数列，D正确.故选B、C、D.

规律方法

除了用定义法判定等差数列外，还有以下简单的判定方法：（1）等差中项法：对任意n≥2，n∈N*，满足2an＝an＋1＋an－1；（2）通项公式法：对任意n∈N*，都满足an＝pn＋q（p，q为常数）；（3）前n项和公式法：对任意n∈N*，都满足Sn＝An2＋Bn（A，B为常

数）.

04PART课时跟踪检测（时间：60分钟，满分：90分）[备注：单选、填空题5分，多选题6分]

B.1C.2D.3

1234567891011121314√2.

（2026·安徽合肥模拟）数列{an}中，an＝an＋1＋2，a5＝18，则a1＋

a2＋…＋a10＝（

）A.210B.190C.170D.150解析：由an＝an＋1＋2知数列{an}是公差为－2的等差数列，所以a1＋a2＋…＋a10＝5（a5＋a6）＝5×（18＋16）＝5×34＝170.故选C.

√12345678910111213143.

已知等差数列{an}满足a2＋a4＋a6＝3，a3＋a5＋a7＝9，则a1＋a8＝

（

）A.1C.4D.8解析：因为数列{an}为等差数列，且a2＋a4＋a6＝3，a3＋a5＋a7＝9，所以3a4＝3，3a5＝9，解得a4＝1，a5＝3，所以a1＋a8＝a4＋a5＝4.故选C.

√12345678910111213144.

〔一题多解〕设等差数列{an}的前n项和为Sn，若Sm＝－3，Sm＋1＝

0，Sm＋2＝4，则m＝（

）A.8B.7

√C.6D.512345678910111213145.

〔一题多解〕设等差数列{an}满足3a8＝5a15，且a1＞0，Sn为其前n项

和，则数列{Sn}的最大项为（

）A.

S23B.

S24√C.

S25D.

S26

12345678910111213146.

〔多选〕若正项数列{an}是等差数列，且a2＝5，则（

）A.

当a3＝7时，a7＝15B.

a4的取值范围是[5，15）C.

当a7为整数时，a7的最大值为29D.

公差d的取值范围是（0，5）解析：当a2＝5，a3＝7时，公差d＝2，a7＝a3＋4d＝7＋8＝15，故A正确；因为{an}是正项等差数列，所以a1＝5－d＞0，即d＜5，且d≥0，所以公差d的取值范围是[0，5），故D错误；因为a4＝5＋2d，所以a4的取值范围是[5，15），故B正确；a7＝5＋5d∈[5，30），当a7为整数时，a7的最大值为29，故C正确.故选A、B、C.

√√√12345678910111213147.

〔一题多解〕设Sn为等差数列{an}的前n项和，若S2＝4，S6＝36，则

S4＝

⁠.

1612345678910111213148.

已知数列{an}的首项a1＝1，且数列{log2an}是以1为公差的等差数列，

则log2a3＋log2a8＝

⁠.解析：由数列{an}的首项a1＝1，且数列{log2an}是以1为公差的等差数列，可得log2a1＝0，则log2an＝0＋（n－1）×1＝n－1，所以log2a3＋log2a8＝（3－1）＋（8－1）＝9.91234567891011121314

1234567891011121314

（1）求数列{an}的通项公式；解：当n＝1时，a1＝S1＝21－1＝1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝（2n－1）－（2n－1－1）＝2n－1.因为a1＝1符合上式，所以an＝2n－1.1234567891011121314

1234567891011121314

A.

－1C.0√1234567891011121314

123456789101112131412.

〔多选〕已知数列{an}的首项a1＝1，an－an＋1＝anan＋1，则（

）B.

a10＝10C.

{an}为递增数列√√1234567891011121314

123456789101112