角平分线辅助线专题练习

角平分线辅助线专题练习在平面几何的学习中，角平分线是一个极为重要的几何元素。它不仅自身具有诸多性质，如角平分线上的点到角两边的距离相等，更常常作为解题的关键“题眼”，引导我们添加适当的辅助线，从而搭建起已知与未知之间的桥梁。许多看似复杂的几何问题，一旦巧妙地作出与角平分线相关的辅助线，便能迎刃而解。本专题将聚焦于角平分线常见的辅助线作法，通过实例解析与针对性练习，帮助同学们熟练掌握这一解题利器，提升几何推理能力。一、常用辅助线作法归纳面对含有角平分线的几何问题，我们通常可以从以下几个角度考虑辅助线的添加：1.向角的两边作垂线——利用角平分线的性质定理作法：过角平分线上的一点，分别向这个角的两边作垂线。目的：构造出两条相等的垂线段（角平分线上的点到角两边的距离相等），进而可以利用“HL”或“AAS”等判定证明三角形全等，或通过等积变换解决问题。这是角平分线最直接、最常用的辅助线思路。2.截长补短法——构造全等三角形作法：*截长：在角的某一条边上截取一条线段，使其与角平分线另一侧的某条线段相等，然后连接相关点，构造全等三角形。*补短：延长角的某一条边上的线段，使其与角平分线另一侧的某条线段的延长线相等，然后连接相关点，构造全等三角形。目的：当题目中涉及到线段的和、差关系，或者需要将分散的线段集中到一个三角形中时，截长补短法能有效地构造出全等三角形，从而实现线段或角的等量代换。3.利用角平分线构造等腰三角形作法：*过角平分线上一点作角的一边的平行线：这样可以得到一个等腰三角形，利用等腰三角形的性质（两腰相等，两底角相等）进行解题。*延长角平分线相关线段：有时通过延长角的一边或角平分线上的某条线段，也可以构造出等腰三角形。目的：将角平分线的角关系转化为等腰三角形的边关系，或反之，实现角与边的相互转化。二、例题解析例题1：已知：如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，∠C=2∠B。求证：AB=AC+CD。分析：题目中出现了角平分线AD，且结论是AB=AC+CD，这是一个典型的线段和差问题，适合考虑使用“截长补短法”。我们可以在AB上截取AE=AC，然后证明EB=CD。证明：在AB上截取AE=AC，连接DE。∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD=∠CAD。在△AED和△ACD中，AE=AC，∠EAD=∠CAD，AD=AD，∴△AED≌△ACD(SAS)。∴ED=CD，∠AED=∠C。∵∠AED=∠B+∠EDB（三角形外角性质），且∠C=2∠B，∴2∠B=∠B+∠EDB。∴∠B=∠EDB。∴EB=ED（等角对等边）。∵EB=ED，ED=CD，∴EB=CD。∵AB=AE+EB，AE=AC，∴AB=AC+CD。例题2：已知：如图，在△ABC中，∠B的平分线与∠C的外角平分线交于点P。求证：点P到三边AB、BC、CA所在直线的距离相等。分析：要证明点P到三条直线的距离相等，自然联想到角平分线的性质定理——角平分线上的点到角两边的距离相等。因此，我们需要作出点P到各边的垂线段，然后利用角平分线性质进行证明。证明：过点P分别作PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F。∵BP是∠ABC的平分线，PD⊥AB，PE⊥BC，∴PD=PE（角平分线上的点到角两边的距离相等）。∵CP是∠ACB的外角平分线，PE⊥BC，PF⊥AC，∴PE=PF（同理）。∴PD=PE=PF。即点P到三边AB、BC、CA所在直线的距离相等。三、专题练习练习1：已知：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且DB=DC。求证：AB=AC。（提示：利用角平分线性质证明DE=DF，再证明Rt△BDE≌Rt△CDF）练习2：已知：如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，交AC于点D。求证：BC=AB+AD。（提示：考虑过点D作DE⊥BC于E，利用角平分线性质和截长补短的思想）练习3：已知：如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，且BD=CD。求证：AB=AC。（提示：过点D作AB、AC的垂线，或考虑延长AD构造全等三角形）练习4：已知：如图，在四边形ABCD中，BC>BA，AD=CD，BD平分∠ABC。求证：∠A+∠C=180°。（提示：在BC上截取BE=BA，连接DE，或过点D作BA、BC延长线的垂线）练习5：已知：如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，BE平分∠ABC交AD于F，交AC于E。求证：AE=AF。（提示：通过角度计算，证明∠AEF=∠AFE，利用等角对等边）四、参考答案与提示练习1提示：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF。在Rt△BDE和Rt△CDF中，DB=DC，DE=DF，∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)。∴∠B=∠C。∴AB=AC。练习2提示：过D作DE⊥BC于E。∵BD平分∠ABC，∠A=90°，DE⊥BC，∴AD=DE，AB=BE。∵∠A=90°，AB=AC，∴∠C=45°。∵DE⊥BC，∴∠EDC=45°=∠C。∴DE=EC。∵AD=DE，∴AD=EC。∴BC=BE+EC=AB+AD。练习3提示：方法一（向两边作垂线）：过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F。∵AD平分∠BAC，∴DE=DF。在Rt△BDE和Rt△CDF中，BD=CD，DE=DF，∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)。∴∠B=∠C。∴AB=AC。方法二（延长构造全等）：延长AD至E，使DE=AD，连接BE。可证△ADC≌△EDB(SAS)，得AC=EB，∠CAD=∠E。∵AD平分∠BAC，∠BAD=∠CAD=∠E。∴AB=EB=AC。练习4提示：在BC上截取BE=BA，连接DE。∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠EBD。在△ABD和△EBD中，BA=BE，∠ABD=∠EBD，BD=BD，∴△ABD≌△EBD(SAS)。∴∠A=∠BED，AD=ED。∵AD=CD，∴ED=CD。∴∠C=∠DEC。∵∠BED+∠DEC=180°，∴∠A+∠C=180°。练习5提示：∵∠BAC=90°，AD⊥BC，∴∠BAD+∠CAD=90°，∠CAD+∠C=90°。∴∠BAD=∠C。∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE。∵∠AFE=∠ABE+∠BAD（三角形外角性质），∠AEF=∠CBE+∠C（三角形外角性质），又∵∠BAD=∠C，∠ABE=∠CBE，∴∠AFE=∠AEF。∴AE=AF（等角对等边）。三、总结与反思角平分线辅助线的添加，关键在于深刻理解角平分线的性质与判定，并结合题目中的已知条件和求证目标，灵活选择合适的方法。无论是“向两边作垂线”、“截长补短”还是“构造等腰三角形”，其核心都是为了创造全等的条件，或实现角与线段的有效转化。在解题过程中，同学们应