新人教版七年级数学上册期末总复习学案

新人教版七年级数学上册期末总复习学案时光飞逝，转眼间一个学期的学习即将画上句号。期末考试是检验我们学习成果、巩固所学知识的重要环节。这份总复习学案，旨在帮助同学们系统梳理本学期所学的数学知识，查漏补缺，提升综合运用能力，以从容自信的姿态迎接期末考试。希望同学们能结合课本、笔记和平时的错题本，认真研读，积极思考，力争在期末考试中取得理想的成绩。一、有理数（一）知识梳理与回顾有理数是我们进入初中接触的第一个重要数学概念，它是整个代数学习的基础。1.有理数的概念与分类：*有理数：整数和分数统称为有理数。（核心在于“可以表示为两个整数之比的数”）*整数包括正整数、零和负整数。*分数包括正分数和负分数。*注意：有限小数和无限循环小数都可以化为分数，因此它们也是有理数。*从符号角度，有理数也可分为正有理数、零和负有理数。2.数轴：*三要素：原点、正方向、单位长度。*数轴是“数”与“形”结合的重要工具，任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。（反之，数轴上的点不一定都表示有理数，这点后续会学习）*利用数轴可以比较有理数的大小：数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大。3.相反数：*代数意义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。特别地，0的相反数是0。*几何意义：在数轴上，互为相反数的两个数（0除外）位于原点的两侧，并且到原点的距离相等。*表示方法：数a的相反数是-a。4.绝对值：*代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。*几何意义：数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。*性质：绝对值具有非负性，即|a|≥0。5.有理数的大小比较：*正数大于0，0大于负数，正数大于负数。*两个负数比较大小，绝对值大的反而小。*利用数轴比较：右边的数总比左边的数大。6.有理数的运算：*加法：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得0；一个数同0相加，仍得这个数。*减法：减去一个数，等于加上这个数的相反数。即a-b=a+(-b)。*乘法：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数同0相乘，都得0。几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数时，积是负数。*除法：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。即a÷b=a·(1/b)(b≠0)。两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0除以任何一个不等于0的数，都得0。*乘方：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。在aⁿ中，a叫做底数，n叫做指数。负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0。*混合运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；同级运算，从左到右进行；如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。（二）重点、难点与易错点*重点：有理数的运算（特别是混合运算），绝对值的概念及应用。*难点：负数的引入带来的符号问题，绝对值的几何意义，有理数混合运算中的符号判断和运算顺序。*易错点：*对“0”的理解和运用，如0没有倒数，0的相反数是0等。*绝对值化简时，忽略绝对值内数的正负性。*有理数运算中符号的确定，尤其是减法和乘除法。*乘方运算与乘法运算的混淆，如-2²与(-2)²的区别。*运算顺序出错，特别是在有括号和乘方的混合运算中。（三）典型例题解析例1：把下列各数填入相应的集合内：-3.5，2，0，，-5，，-0.01，100正数集合：{...}负数集合：{...}整数集合：{...}分数集合：{...}有理数集合：{...}分析：根据有理数的分类标准进行判断。注意有限小数和无限循环小数都属于分数。解答：（请同学们自行完成）例2：计算：(1)-|-3|+(-4)×(-)(2)-1⁴-(1-0.5)××[2-(-3)²]分析：(1)先算绝对值和乘法，再算加法。注意符号。(2)先算乘方，再算括号内的运算，然后算乘法，最后算减法。特别注意-1⁴与(-1)⁴的区别。解答：（请同学们自行完成，并注意解题步骤的规范性）二、整式的加减（一）知识梳理与回顾整式的加减是代数式运算的基础，主要涉及整式的概念、同类项以及合并同类项的法则。1.整式的相关概念：*单项式：由数与字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式。*单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。*单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。*多项式：几个单项式的和叫做多项式。*多项式的项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。*多项式的次数：多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。*整式：单项式和多项式统称为整式。2.同类项：*概念：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。几个常数项也是同类项。*判断同类项的标准：“两相同，两无关”。两相同：字母相同；相同字母的指数相同。两无关：与系数无关；与字母的排列顺序无关。3.合并同类项：*概念：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。*法则：合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母连同它的指数不变。4.去括号法则：*如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同。*如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反。5.整式的加减运算法则：*一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项。（二）重点、难点与易错点*重点：同类项的识别，合并同类项，去括号法则，整式的加减运算。*难点：去括号法则的准确应用，特别是括号前是负号的情况；多项式的次数的确定。*易错点：*对单项式的系数和次数理解不清，尤其是系数为负数或分数时，以及只含有字母因数的单项式（此时系数为1或-1，次数是所有字母指数和）。*混淆多项式的项数和次数。*去括号时，括号前是负号，括号内各项未完全变号。*合并同类项时，漏项或系数计算错误。（三）典型例题解析例3：指出下列单项式的系数和次数：(1)-x²y(2)πr²(3)-a分析：系数包括前面的符号，π是常数。次数是所有字母指数的和。解答：（请同学们自行完成）例4：化简求值：2(3x²-y)-(x²+y)，其中x=-1，y=2。分析：先根据去括号法则去括号，再合并同类项，最后将x、y的值代入化简后的式子求值。解答：原式=6x²-2y-x²-y（去括号，注意第二个括号前是负号）=(6x²-x²)+(-2y-y)（合并同类项）=5x²-3y（化简结果）当x=-1，y=2时，原式=5×(-1)²-3×2=5×1-6=5-6=-1。三、一元一次方程（一）知识梳理与回顾一元一次方程是解决实际问题的重要数学模型，是代数方程的基础。1.方程的相关概念：*方程：含有未知数的等式叫做方程。*一元一次方程：只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，等号两边都是整式的方程叫做一元一次方程。标准形式：ax+b=0(a≠0)。*方程的解：使方程中等号左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。求方程的解的过程叫做解方程。2.等式的性质：*性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。如果a=b，那么a±c=b±c。*性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。如果a=b，那么ac=bc；如果a=b(c≠0)，那么a/c=b/c。3.解一元一次方程的一般步骤：*去分母：在方程两边都乘各分母的最小公倍数，注意不要漏乘不含分母的项，分子是多项式时要加括号。*去括号：先去小括号，再去中括号，最后去大括号。注意括号前的符号。*移项：把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边（移项要变号）。*合并同类项：把方程化成ax=b(a≠0)的形式。*系数化为1：在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解x=b/a。（注意：解方程的步骤并非一成不变，要根据方程的特点灵活运用。）4.列一元一次方程解应用题的一般步骤：*审：审题，理解题意，明确题目中的数量关系，找出等量关系。*设：设未知数（直接设元或间接设元）。*列：根据题目中的等量关系列出方程。*解：解方程，求出未知数的值。*验：检验所得的解是否符合实际意义（即是否为方程的解且符合题意）。*答：写出答案（包括单位）。5.常见的应用题类型及等量关系：*行程问题：路程=速度×时间。（相遇问题、追及问题、航行问题等）*工程问题：工作量=工作效率×工作时间。（常把总工作量看作单位“1”）*利润问题：利润=售价-进价；利润率=(利润/进价)×100%；售价=标价×折扣（折数/10）。*和差倍分问题：抓住关键词“多、少、倍、几分之几”等。*数字问题：了解数字的表示方法，如一个两位数，十位数字为a，个位数字为b，则这个两位数可表示为10a+b。（二）重点、难点与易错点*重点：一元一次方程的解法，列一元一次方程解决实际问题。*难点：列一元一次方程解决实际问题（找准等量关系是关键）。*易错点：*去分母时，漏乘不含分母的项或分子是多项式时未加括号。*移项时忘记变号。*去括号时，括号前是负号，括号内各项未完全变号或漏乘系数。*系数化为1时，除数和被除数位置颠倒或符号错误。*解应用题时：审题不清，等量关系找错；设未知数时不带单位或单位不统一；作答时不完整或不带单位。（三）典型例题解析例5：解方程：-=1分析：这是一个含有分母的一元一次方程，先找到各分母的最小公倍数去分母，再按步骤求解。解答：去分母（两边同乘6）：2(2x-1)-(x+2)=6（注意每一项都要乘6，分子是多项式的看作一个整体加括号）去括号：4x-2-x-2=6（注意第二个括号前是负号）移项：4x-x=6+2+2（移项要变号）合并同类项：3x=10系数化为1：x=。例6：某商店将某种服装按进价提高40%后标价，又以8折优惠卖出，结果每件仍获利15元，这种服装每件的进价是多少元？分析：设进价为x元。根据“售价-进价=利润”这个等量关系列方程。标价为(1+40%)x，售价为标价的8折，即0.8×(1+40%)x。解答：设这种服装每件的进价是x元。根据题意，得：0.8×(1+40%)x-x=15化简：0.8×1.4x-x=151.12x-x=150.12x=15x=15÷0.12x=125答：这种服装每件的进价是125元。四、图形的初步认识（一）知识梳理与回顾图形的初步认识是几何学习的开端，主要涉及多姿多彩的图形、直线、射线、线段、角等基本几何图形及其性质。1.多姿多彩的图形：*立体图形：各部分不都在同一平面内的图形，如正方体、长方体、圆柱、圆锥、球等。*平面图形：各部分都在同一平面内的图形，如线段、角、三角形、长方形、圆等。*从不同方向看立体图形：可以得到不同的平面图形（主视图、左视图、俯视图）。*立体图形的展开图：有些立体图形是由一些平面图形围成的，将它们的表面适当剪开，可以展开成平面图形，这样的平面图形称为相应立体图形的展开图。2.直线、射线、线段：*直线：经过两点有一条直线，并且只有一条直线。（简述为：两点确定一条直线）。直线没有端点，可以向两端无限延伸，不可度量。表示方法：直线AB（或直线BA）