2026年中考数学冲刺卷

2026年中考数学冲刺卷数学（考试时间：120分钟试卷满分：120分）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）1.在实数−2，0，0.01，3中，最小的数是（

）A．0 B．−2 C．3 D．0.012.计算−4×3，正确的结果是（

A．12 B．−12 C．7 D．−73.下列计算正确的是（

）A．a2⋅a3=a6 B．4.以下四种传统纹样中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（

）A． B． C． D．5.下列调查最适合采用抽样调查的是（

）A．调查一个班学生的视力情况B．校对一本书的错别字C．调查2026年春节联欢晚会的收视率D．神舟二十三号飞船发射前检查各零件是否正常6.在宁乡某中学第二届校园歌手大赛中，某组参赛选手得分如下（单位：分）：9，7，7，8，6，9，7，则该组参赛选手得分的中位数是（

）A．6 B．8 C．7 D．97.如图，有一张三角形卡纸ABC，点D、E分别是AB、AC的中点，若∠B=75°，∠AED=50°，则∠A的度数为（

）A．40° B．45° C．50° D．55°8.《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中有这样一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”意思是：有几个人一起去买物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元问人数、物价各是多少？设人数为x人，物价为y元，则可列出方程组为（

）A．8x+y=37x+y=−4 B．8x=y−37x=y+4 C．8x=y+37x=y−49.如图所示为二次函数y=ax2+bx+ca≠0的图像，对称轴是直线A．b2>4ac C．4a+2b+c<0 D．3a+c<010.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=5，BC=12，D是边AB上一点（不与点A，B重合），作DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F．若O是EF的中点，则OD的最小值是（

）A．5 B．12 C．3013 D．填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）11.若2x+4在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_____________。12.小明妈妈的手机共安装了3款AI工具“豆包”“千问”“元宝”。若小明从中随机选择1款查阅资料，恰好选择“千问”的概率是______。13．已知x1，x2是关于x的方程x2−5x−4=0的两根，则14.如图，要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角α一般要满足50°≤α≤75°．现有一个长6m的梯子，则使用这个梯子最高可以安全攀上墙的高度是_______m（结果精确到0.1，参考数据sin50°≈0.77,cos15.如图，在矩形ABCD中，AE平分∠BAD交CD于点E，连接BE，点F为BE的中点，连接CF，若AB=6，AD=4，则CF的长为______。16.平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点A，与x轴交于B，C两点，直线y=−x+3恰好经过A，B（1）抛物线的解析式为______；（2）点Mm,n在二次函数图像上且是在AB下方的一动点，n=______时，M解答题（本大题共8小题，满分72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.（8分）按要求完成下列各题：（1）计算：−3×（2）解不等式组：2x+1>x−1x+518.（8分）如图，在△ABC中，已知AB=AC．（1）尺规作图：作△ABC的高CD，垂足为D（保留作图痕迹，不写作法，标明字母）。（2）在（1）的条件下，若AB=10，CD=6，求BC的长。19.（8分）为弘扬中华优秀传统文化，某校设立了四个兴趣小组，分别是：A．民族舞蹈；B．经典诵读；C．民族乐器；D．地方戏曲，每名学生限报一个。该校的小文和小艺对四个兴趣小组都很感兴趣，一时不知如何选择，打算用抽卡片的方式来确定，他们收集了这四个兴趣小组的宣传画，制作了如图所示四张除正面内容不同外其余均相同的不透明卡片，将卡片背面朝上洗匀后放在桌上。小文先从这四张卡片中随机抽取一张，记下卡片上的内容后放回、洗匀，小艺再从这四张卡片中随机抽取一张。他们分别以各自所抽取卡片上的内容来确定所报小组。（1）小文抽到B．经典诵读的概率是______；（2）请用画树状图或列表的方法，求小文和小艺抽到同一个兴趣小组的概率。20.（8分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=2x−1与反比例函数y=kx（k是常数，且k>0，x>0）的图像交于点（1）求反比例函数的表达式；（2）点Bn,6是反比例函数图像上的点，过点B作BC∥y轴，交一次函数y=2x−1的图像于点C，求线段BC21.（10分）成都市某中学数学组组织学生举行“数学创意大赛”，需购买A、B两奖品。若购买A奖品4个和B奖品5个，需210元；购买A奖品5个和B奖品6个，需255元。（1）A、B两奖品的单价各是多少元？（2）学校计划共购买奖品300个，设购买A奖品a个，购买这300个奖品的总费用为W元。①求W关于a的函数关系式；②若购买A奖品的数量不少于40个，同时又不超过90个，则该学校购进A奖品、B奖品各多少个，才能使总费用最少？22.（10分）如图，以AB为直径的⊙O经过点C，连接AC，BC．过点O作OE∥BC，交AC于点E，交⊙O于点D，过点D作DF∥AC，交AB的延长线于点F．（1）求证：DF是⊙O的切线；(2）连接BD，若AC=8，OD=5，求△BDF的面积。23.（10分）如图1，抛物线y=ax2−2ax+c与x轴交于A、B（点A在B的左边）两点，点B的坐标是3,0，抛物线与y轴负半轴交于点C（1）求该抛物线的解析式；（2）当0<x<3时，求y的取值范围；（3）请证明：直线y=kxk+1k≠0与抛物线（4）如图2，抛物线的对称轴与x轴相交于点G，点P是在对称轴右侧且位于第四象限的抛物线上的一点，连接AP，交对称轴于点M，连接BP并延长，交对称轴于点N，试求GM+GN的值。24.（10分）【定义】连接三角形的一个顶点与对边上任意一点的线段，把这个三角形分割成两个三角形，其中一个是等腰三角形，另一个是直角三角形，就称这条线段是该三角形的“奇妙分割线”。（1）【理解定义】如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D是线段BC上一点，连接AD，若AD=BD，那么线段AD（填“是”或“不是”）△ABC的“奇妙分割线”。（2）【运用定义】如图，在平行四边形ABCD中，AB=5，BC=5，连接AC，若∠BAC=90°，E是线段BC上一点，CE=3，连接DE交AC与点F．求证：线段CF是△DCE（3）【拓展提升】如图，在△ABC中，AB=5，BC=3，sin∠ABC=35，点D是线段BC上的动点（点D不与B、C重合），连接AD，将△ABD沿AD翻折得到△AED，点B的对应点为点E，连接BE、CE，当ED是△BCE一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）12345678910BBDBCCDCDC二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）11.≥−212.13.914.5.815.16./0.5三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（8分）【详解】（1）解：原式；（4分）（2）解：，解不等式，得；（1分）解不等式，得；（2分）不等式组的解集为．（4分）18．（8分）【详解】（1）解：（1）如图，为所作．（3分）（2）解：∵，在中，根据勾股定理得，（5分）∴，（6分）在中，根据勾股定理得．（8分）19．（8分）【详解】（1）解：由题意可知，共有四种等可能的情况，则抽到B．经典诵读的概率是；（2分）（2）解：列表如下：

（5分）

小艺小文AA由表可知，共有16种等可能的结果，其中小文和小艺抽到同一个兴趣小组的情况共有4种，∴小文和小艺抽到同一个兴趣小组的概率为．（8分）20．（8分）【详解】（1）解：在一次函数的图象上，，即在反比例函数的图象上，解得，反比例函数的表达式为；（4分）（2）解：在反比例函数的图象上∴，解得，即轴点的横坐标与点的横坐标相等，将代入，得，即．（8分）21．（10分）【详解】（1）解：设A奖品的单价是元，B奖品的单价是元，由题意得：，解得，答：A奖品的单价是15元，B奖品的单价是30元；（4分）（2）解：①由题意可知，购买B奖品为个，则，即关于的函数关系式为；（7分）②∵购买A奖品的数量不少于40个，同时又不超过90个，，∵，，∴在内，随的增大而减小，∴当时，取得最小值，此时，答：该学校购买A奖品90个，B奖品210个，才能使总费用最少．（10分）22．（10分）【详解】（1）证明：∵是的直径，∴，∵，∴，∵，∴，∴是的切线．（4分）（2）解：过点D作于点G，∵，，∴，，∴，∴，，∵，∴，∴，，∴，，∴，∴的面积为：．（10分）23．（10分）【详解】（1）解：∵点B的坐标是，抛物线与y轴负半轴交于点C，且，∴，将、代入得，，解得，∴抛物线的解析式为；（3分）（2）解：，∴抛物线开口向上，对称轴为直线，当时，y最小为，当时，，当时，，∴当时，y的取值范围为：；（7分）（3）证明：联立则整理得，，∴，∴直线与抛物线一定有两个交点；（4）解：∵抛物线的对称轴为直线，∴，设，，，，∴，，∴，令，解得或，∴，设直线解析式为，将、代入得，，解得，∴直线解析式为，∵连接，交对称轴于点M，∴联立，即，解得，同理直线的解析式为，联立与抛物线解析式可得，∴，整理得，∴．（10分）24．（10分）【详解】（1）解：∵，，∴，∵，∴，∴，即为直角三角形，∵，∴为等腰三角形，∴是的“奇妙分割线”；（3分）（2）证明：∵四边形是平行四边形，∴，，，，∴，，∴，为直角三角形，∵，