专项训练03 数列（学生版）

数列及其综合应用

题型归纳

题型1等差数列与等比财I证明题型4错位相减法朔洌的前n项和

题型2分蛆转化法法求数列的前n项和。—数歹（J及其综合应用——°题型5数列与不等式成立问题

题型3裂项相消法求数列的前n项和—,、一题型6数列中的探究性问题

题型一：等差数列与等比数列证明

蔻龙》大题典例

（23-24高三下•内蒙古包头・三模|已知数列｛4｝的前〃项和为5“，4=3,5„=1+^+1.

⑴证明：数列｛S“-1｝是等比数列，并求S“；

⑵求数吟的前”项和「•

蔻能〉港式训级

1.（24-25高三上•上海期中）某人购买某种教育基金，今年5月I日交了M）万元，年利率5%,以后每年

5月1日续交2万元，设从今年起每年5月1日的教育基金总额依次为4,%,…….

⑴写出的和4,并求出%与〃“之间的递推关系式；

（2）求证：数列｛q+40｝为等比数列，并求出数列｛q｝的通项公式.

1

2.（24-25高三上•山东淄博月考）记S“为数列｛a”｝的前〃项和，已知5.=3+〃2+1,.

⑴求4+生，并证明｛〃“+，♦｝是等差数列；

（2）求S2fl.

题型二：分组转化法求数列的前n项和

................................................

（24-25高三上・北京・月考）已知｛q｝是各项均为正数的等比数列，％=1,且％,电，-3%成等差数列.

（1）求｛仆｝的通项公式；

⑵求数列｛〃,「〃｝的前〃项和S”.

茏焚》要型悔

（1伉-8,“为奇数

1.（24-25高三上•河北衡水・月考）已知数列｛%｝的前〃项和为S.,%=13,%.|=匕；〃为偶数.

⑴证明：数列｛%小-12｝为等比数列；

⑵若§2向=16〃+1469,求〃的值.

2

2.（24-25高三上•海南海口・月考）已知数列｛q｝是公差为3的等差数列，数列也｝满足4=1,,

a也+i+2+尸血，

⑴求数列｛q｝,｛a｝的通项公式；

（2）求数列+2｝的前2〃项和S2f..

题型三：裂项相消法求数列的前n项和

茏塞＞大题典例

（24-25高三上♦湖北期中）记工是等差数列｛〃“｝的前〃项和，。=2，且2-2,%-4,4-6成等比数列.

⑴求4和S”；

（2）若力£=2，求数列也,｝的前20项和心.

茏处要式训练

1.（24-25高三上•广东深圳•模拟预测）若一个数列从第二项起，每一项与前一项的差值组成的新数列是一

个等差数列，则称这个数列是一个“二阶等差数列”，已知数列｛4｝是一个二阶等差数列，其中

%=I,%=3g=6.

⑴求%及也｝的通项公式；

⑵设2rM，求数列也:的前〃项和s…

O«„-477-1

3

2.（24-25高三上•宁夏石嘴山・月考）已知数列｛册｝的首项为1,且4z=2a“（〃wN）

⑴求数列｛的｝的通项公式；

2"一|

(2)若包=,而，求数列出工的前〃项和

题型四：错位相减法求数列的前n项和

基丽................................................

（24-25高三上•广东广州模拟预测）已知数列｛4｝的前〃项和公式为S”=3〃2—2〃，数列也｝满足〃=q.

⑴求数列｛q｝的通项公式；

（2）若q=2”（%一幻,求数列｛"｝的通项公式.

蔻龙》要其训纸

1.（24-25高三上•贵州贵阳月考）已知数列5｝满足:4=2〃-10,数列｛b｝满足：

b.++•••+-^-r=5n,nGN,.

'5525~

⑴求数列｛kJ｝的前15项和S15；

⑵求数列R的前〃项和9.

4

2.(24-25高三上•湖北•期中)已知｛4｝是公差不为0的等差数列，4=21,且q,生,%成等比数列，数

列包｝满足：％=徵-3，且&=2q-l.

⑴求｛〃"｝和｛a｝的通项公式；

(2)若，为数列的前〃项和，求人

题型五：数列与不等式综合问题

龙》处大题典例

(23-24高三下・河北邢台:模)已知数列｛q｝的前〃项和为5“，且'=24「1,(〃21).

⑴求数列｛%｝的通项公式；

11I1c

⑵求证：「「三+…十—2

口“，

茏能》要型悔

,、44凡.1,

1.(24-25高三上・吉林•模拟预测)已知数列｛4｝的首项q二不，且满足。7=了W，设勿=7-1.

Jn

(1)求证：数列出｝为等比数列；

111I

⑵若一+—+—+…+—>2024,求满足条件的最小正整数〃.

a\a2a3an

5

2.（24-25高三上•辽宁•开学考试）已知S”为数列—｝的前〃项和，刀,为数列也,｝的前〃项和

为奇数

3=2%川[2』为偶数也===15.

⑴求｛%｝的通项公式；

(2)若&-S2,<2025,求〃的最大值;

]]“3

(3)设或=,证明：<：.

l2n%”1r=l4

题型六：数列中的探究问题

龙麓》大题典例

s

（23・24高三下•福建.模拟预测）已知数列｛&｝的前〃项和为S”，4=1,数列的｝满足广=",且％也均

为正整数.

⑴是否存在数列｛4｝,使得｛2｝是等差数列？若存在，求此时的S”;若不存在，说明理由；

⑵若,求｛《,｝的通项公式.

6

蔻卷》莫兴训级

1.（24-25高三上•天津・月考）已知等比数列1｝的前〃项和为1，且­=2S”+2（〃eN"）.

⑴求数列｛an｝的通项公式；

⑵在勺与。日之间插入〃个数，使这〃+2个数组成一个公差为可的等差数列.

2n-l

（i）求数列｛4｝的通项及；

*=1

（ii）在数列｛4｝中是否存在3项%44（其中，〃，Z,〃成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的

3项；若不存在，请说明理由.

2.（24-25高三上•江苏无锡期中）在下面〃行、〃列的表格内填数：第一列所填各数自上而下构

成首项为1,公差为2的等差数列｛an｝；第一行所填各数自左向右构成首项为1,公比为2的等比数列｛5｝；

其余空格按照''任意一格的数是它上面一格的数与它左边一格的数之和”的规则填写•设第2行的数自左向右

依次记为0，。2，。3,

第1列第2列第3列•••第“列

第1行1222・・・2"T

第2行359

第3行510

・・・・・・

7

第〃行2〃一1

⑴求数列｛&｝通项公式；

⑵对任意的meN.，将数列｛即｝中落入区间也”，内项的个数记为4,,

①求4和4。的值：

②设数列卜％4“｝的前〃，项和乙；是否存在〃?cN'，使得9（7；”+2）=5"3"，若存在，求出所有机的值，

若不存在，请说明理由.

必刷大题

茏第＞.姮模拟.

1.（24-25高三上•贵州铜仁履拟预测）已知正项等差数列｛an｝满足：4=1且4,小，2%-1成等比数列.

⑴求数列｛卅｝的通项公式；

（2）若数列｛九｝满足："=2%,，求数列｛q+4｝的前〃项和小

8

为奇数

2.(24-25高三上•江苏镇江•模拟预测)已知数列也｝满足％=1,%

4“+4,〃为偶数

(1)记々=出”，写出4,打，证明数列协」是等差数列，并求数列色』的通项公式;

(2)求｛q｝的前20项和.

3.(24-25高三上•湖南长沙•月考)已知数列｛叫的前〃项和为S-q=l,满足2S“=%z.

(1)求4；

(2)若2=3"q,求数列低｝的前〃项和，.

3Y

4.(24-25高三上•江西上饶・月考)设函数/("二不『，数列｛4｝满足％=1,且%=/(q),〃eN".

/八十J

⑴求证：数列p-是等差数列；

⑵令d=%«(〃22)，4=3,，=4+4+~+2，若，＜丝詈对一切〃eN成立，求最小正整数机的值.

5.(24-25高三上•江苏泰州•期中)已知数列也｝为等差数列，公差〃工0,前〃项和为S”，生为《和火的

等比中项，S“=121.

9

（I）求数列｛q｝的通项公式；

⑵是否存在正整数“，〃（3<〃7<〃），使得’，’成等差数列？若存在，求出加，〃的值；若不存在，

a3aman

请说明理由；

«+>।2

（3）求证：数列2三<三.

6.（24-25高三上•山东青岛月考）已知数列｛%｝的前〃项和.若2+久=3咏,，且

数列｛%｝满足g=。"也一

⑴求证：数列也｝是等差数列；

⑵求证：数列匕,｝的前〃项和7；;

⑶若&