广东省广州市2026届高三年级下册一模数学试卷

广东省广州市2026届高三下学期一模数学试卷

学校：___________姓名：班级:一考号：—

一、选择题

1.若z(2+i)=5,则1=()

A.-2+iB.2-iC.2+iD.-2-i

答案：C

55(2-i)5(2-i)

解析：因为z（2+i）=5,=2-i,

2+T-(2+i)(2-i)--F

所以5=2+3

2.集合A=卜£Z|f-2]<0）的子集个数为（）

A.3B.4C.7D.8

答案：D

解析：解不等式d_2xW0得0WXK2,则集合4={0,1,2},^*3个元素,

则集合A的子集个数为23=8.

3.已知函数/。）=吃（：[）'">L则/（〃噫2））=（

)

A.-lB.OC.log32D.2

答案：B

解析：因为所以〃题32）=3%2=2,所以

/（/（log32））=/（2）=log3（2-l）=0,故选B.

4.函数"X）=sin（x+e）sin（m-x）的最小正周期是（）

3兀

A.2nB.—C.71

2

答案：C

解析：因为/（x）=sinx+-sin--x

I6j16J2I3)

所以最小正周期为T二竹=兀.

5.已知向量〃=（2,3）,8二（0,1）,向量c满足c・（〃叫=1,则，的取值范围是（）

答案：A

解析：设。=（%），）.

已知4=（2,3）,^=（0,1）,所以力=（2,2）.

则演（&-〃）=2工+2y=1,HPx+y=—.

因同=jf+y2表示点a到原点的距离，

而点（x,y）是直线工+丁=；上的点，

10+0—I—

故|c|的最小值即为原点到直线x+y=|的距离d______2__也，

一天+F-4

因为点（芭丁）在直线x+y=；上，所以同可无限大，

所以同的取值范围是宁，+8.

./

6.函数/（x）=sinx-xcosx在区间（-3兀,3兀）上的极值点个数为（）

A.4B.5C.6D.7

答案；A

解析：由函数/（”=sincosx,

可得了'（X）=cosx-（cosx-xsinx）=xsinx,

令广（力=0,B[Jxsinx=0,可得x=°或sinx=°，

因为五«-3兀,3兀）,可得了二一2兀，一兀,0,兀,2兀,

当xe（—3九,一2兀）时，x<0,sinx<0,所以/'（x）—xsinx>0,单调递增;

当X£（—2兀,一兀）时，x<0,sinx>0,所以/'（x）=xsinx<0,/（可单调递减；

当XE（TI,O）时，x<0,sinx<0,所以/'（x）=xsinx>0,/（x）单调递增；

当xe（O,兀）时，x>0,sinx>0,所以/'（x）=xsinx>0,/（x）单调递增；

当工£（兀,2兀）时，x>0,sinx<0,所以/'（x）=xsinx<0,/（工）单调递减；

当X£（2兀,3兀）时，x>0,sinx>0,所以/'（x）=xsinx>0,/（x）单调递增，

所以/（可在（-3元,-2兀）上递增，在（-2兀,-冗）上递减，在（一九,0）上递增，

在（0,兀）上递增，在（兀,2兀）上递减，在（2兀,3兀）上递增,

其中x=0两侧函数的单调性相同，可得x=0不是函数/"）的极值点，

所以/（X）在区间（-3兀,3兀）的极值点为工=-2兀，-兀，兀,2兀，共有4个.

故选:A.

7.已知抛物线。:丁2=2后（〃>0）的焦点为「，圆M:（x+l）2+y2=l6与C交于A,B

两点，若直线AM与直线8M的斜率之积为-3,则6目二（）

7

A.3B.-C.4D.5

2

答案：C

解析：解法一：由题意知”（-L0）,由对称性知直线4M与直线关于x轴充称，所

以及3=-压人不妨设点A在第一象限，如图，则脑=右.设4小，%），则

k

AM=,y0=V3（x0+l）,又（Xo+l『+y；=16,所以（/+1）z+3（%+1）?=16,

玉）十1

得%=1或%=-3（舍去）.又X；=2〃叫），所以3（%+1『=2p/,得〃=6,故

|A尸|=/+5=1+号=4,选C.

解法二：因为抛物线C：V=2〃x（〃>0）与圆M:（X+1）2+V=I6（圆心M（TO）在不轴

上）均关于x轴对称，所以圆M与抛物线C的交点A,3关于x轴对称，设力（％%），

则8a。，一为），所以心.三^二尸3二-3,又点A（x。,），。）在圆M上，

X。十1式0+1\X0+1）

所以（题+1『+北=16,所以（\+1）得/=1或%=-3（舍去），下同解法

（%+1）~

8.在正三棱柱43C-A4G中，AB=2,点。是平面ABC上的动点，则

4。+立CO的最小值是（）

2

A5A/2R3应R5A/3n35/3

4242

答案：B

解析：如图，连接AD,因为AA，平面ABC,AOu平面ABC,所以AALAD.

因为A4j=l，所以+4D，=J1+4。，.因为AD+CDNAC=2,即

CD>2-ADf所以AQ+当8〃Jl+m+争2—AD）,当且仅当点。在线段AC

上时等号成立，因此当点Z）在线段AC上时，AQ+手C。取得最小值，此时令

______B____历

AD=x.则0Wx<2,yJ\+AD2+—(2-4D)=Vl+x2+V2-—x.4-

22

/(x)=VPTT—等x+应，X£[0,2],贝=xx/22x-y/2yJx2+\

Vx2+1、2&+i

二拒（G+X当X£［O,1）时，八幻<0,当X£（l,2］时，f\x）>0,所以

2&+i

/⑶在［0,1）上单调递减,在（1,2］上单调递增，所以“X）之穴1）=亚-1+&=¥

所以当点。为AC的中点时，正CO取得最小值还，故选B.

022

二、多项选择题

9.某自动流水线生产的一种新能源汽车零配件产品的质量X（单位：g）服从正态分

布N（〃,/），且P（X<14）=：,P（XW18）=:.从该流水线上随机抽取4件产品，这4

OO

件产品中质量X在区间［14,18］上的件数记为J,则（）

3

A.〃=16B.P(14<X<18)=-

27

C3FD.%)=3

答案：ABD

I71

解析：A(V)因为尸(X<14)=「P(X<18)=-,所以P(X>18)=P(X<14)=J所

OOO

以〃二学”=6

ii3

B(0P(14<X<18)=1-P(X<14)-P(X>18)=1----=-^

3

错误项分析：C（x）4~川4,：,尸e=i）=c；x31二*

4J4646464

3

DN)EC)=〃p=4x，=3.故选ABD.

4

10.已知xwy,则下列命题正确的是（）

_„71

A.ye0,-sinx+siny<sin(x+y)

B.Vx,y,sinA+siny<2sin工;)

C.3x,yG0,yj,sin^-siny<sin(x-y)

(冗、x—V

D.Dx,ye0,一,sinA-siny<2sin:——-

I2J2

答案：BC

解析：对于A：已知°，］｝则cosxvl,cosyvl,

根据和角公式：sin(x+y)=sinxcosy+cosxsiny

<sinx-1+1-siny=sinx+siny,故A错误；

对于B：利用和差化积公式：sinx+siny=2sin^^-cos---

22

因为x,yc(0,$且xwy,所以Ovcos^^vl,

则sinx+siny<2sing工对任意的x,y成立，故B正确；

对于C；已知x,“士儿不妨设贝ijx-yu（0,；）,

cx+y.x-y./,_.x-yx-y

因为sinx—siny=2cos-----sm------,sin(x-y)=2sin-----cos------

且占”（0,外，所以审>

>0,

\）22

又因为余弦函数在（。与上单调递减，所以cosW<cos?,

222

p、」「缶十业LC.x-y_x+y.x-y_.x-yx-y

两边同乘正数2sin,2）得：2cos―丁-sin，［）<2sin—厂cos2，

gpsinx-siny<sin（x-y）,故C正确；

对于D：因为sinx-siny=2cos芝）$也七｝,

所以原不等式等价于28s受sin字v2sin平，

两边同时除以2,得…s妥sin号＜sin寸

当工＞丁时：sin三＞0,两边除以正数sin三，得cos当工＜1,

因为尤），/。5）,所以^COS昼£（0,1）,此时不等式成立;

当XV，时；Sin中＜0,两边除以负数sin?,不等号方向改变，

22

得cosd?＞l,但cos卓的最大值为1,不可能大于1,

22

此时不等式不成立，故D错误.

H.已知曲线c的方程为Rxy）=o,集合〕｛（内）怛（羽y）=。｝,若对任意的

（不）［）£/，都存在（七,为）£丁，使得-2）=WK成立，则称曲线。为夕曲线.下

列方程所表示的曲线为。曲线的是（）

A.x2+/=5B.x-y-1=0C.y=lnxD.y=e-x-2

答案：ABD

解析:令P（%,yJwT,。（明%”丁，朗（%—2）=他,

等价于过定点A（0,2）且与直线op平行或重合的直线与曲线网x,），）=0有交点Q,

对于A：/+）,2=5如下图，x,）,£［一石,振］,

如图示，其中任意点尸在曲线上运动，都存在一点。，

使直线ORAQ平行或重合，满足题设，

对于B：X一）1=0如下图，且x,yeR,

如图示，其中任意点尸在曲线上运动，都存在一点。,

使直线OR4Q平行或重合，满足题设，

!x

若QP与曲线相切且尸为切点，则攵8=一，故。P：y=一,此时P（x，i）

x\x\

令lnx=l,则x=e,即*=e,故P（e,l）,

即有OP：），=土与y=加工相切于尸（e,l）,

e

如图示，此时不存在一点0,使直线OP,AQ平行或重合，不满足,

对于D：y=e-x-2如下图，xeR,je（-2,+oo）,

如图示，其中任意点尸在曲线上运动，都存在一点。,

使直线。足4。平行或重合，满足题设，

三、填空题

12.已知椭圆上—+工=1（机＞0）的离心率为且，贝卜〃=_____________

m+1m5

答案：4

解析：显然〃=〃叶1,b2=m,故£=J"-^-=亚,解得〃?=4.

aV〃z+l5

13.已知函数〃工+1)为奇函数，当x<l时，f(x)=ax2-x(〃工0),若/(工)在

［1，|上单调递增，则。的取值范围是______.

答案：口,”)

解析：因为函数/(X+1)为奇函数，所以/(“关于点(1,0)中心对称，

又小)在［1，|上单调递增,则小)在区间上也单调递增,

又当工<1时，f(x}=ax2-x(aw。)，对称轴为x=

2a

当av。时，/(%)=加-)的图象开口向下，且5<°，

此时〃力=⑪2一不在区间上单调递减，不合题意，

-27

a>0

所以o<_L<_L，解得。加，所以实数。的取值范围是［i，y).

.<2a~2

14.某公园里有一块边长分别为30米，40米，50米的三角形草坪(记为,

点O,E在△A8C的边上，线段DE把草坪分成面积相等的两部分.如果沿力E铺设灌

溉水管，则水管的最短长度为米.

答案：20

解析：由3()2+4()2=5()2知△A8C为直角三角形，△A8C的面积

S08c=2x3()x4()=600.不妨设AC=30，BC=40,AB=50.

①当。在8C上，E在AC上时，如图1,设CQ=x,CE=yf则gw=300,

孙=600,DE=yjx2+y2>^2xy=20A/3,当且仅当x=y=106时等号成立.

图1

②当。在AC上，E在A8上时，如图2,设4。=%，AE=y],则△ADE的面积

4_

S△叱=；XXsinA=300又sinA=y,所以xy=75O,

DE-=x；+y；_2xycosA>2xy,-2xyx-=600,当且仅当不y=5\/30时等号成立,

ttt]}5

所以OENIO".

③当。在8C上，£在A8上时，如图3,设8。=々，BE=），2,则△加比的面积

13

S泅DE=5/为sin5=300,又sinB-1,所以电力=1。。。,

JJ

4

=%=1°而时等号成

DE-=戈;+£-cosB>2x2y2-2x2y2x-=400,当且仅当吃

立，所以DE220.

B

72

D

图3

综上，水管的最短长度为20米.

四、解答题

15.已知数列｛总的首项4=：,且满足」一=若

⑴证明：数列为等比数列;

（2）若数歹“」~+的前〃项和S”小于120,求〃的最大值.

答案：（1）证明见解析

⑵14

解析：（1）令上-1=",则%二」：，

于是。用=~――，结合已知有为+1=―yr

〃川+1%+1

22

「々+1/+1-2

所以I―7即2=2〃向.

%+1_L+1X勿+2

2+12+1

因为十°，

所以数列｛2｝是以;为首项，；为公比的等比数列.

即数歹U1为等比数歹4.

i-iJ1Y,则L邛［+.，

(2)由(1)知,

++Q+2++〃)+〃

T)n(l+n)।13n+n*23

122”2

2

令S”<120,整理得〃2+3〃一2~<238,

而y=/+3〃-2~在〃工上单调递增，

且14、3x-238一壶<238<152+3X15—2T=27()$，

所以S“vl20,〃的最大值为14.

16.如图，在四棱锥。-工38中，底面钻8是边长为2的菱形，ZABC=60°,

PAJ_平面点E是棱总的中点.

3

⑵若点B到平面尸CO的距离为5,求平面PA8与平面尸C。夹角的余弦值.

答案：(1)证明见解析

⑵W

2

解析：(1)取4?的中点F,连接ERCEAC,

因为点E是棱所的中点，所以EF//PA,

又因为PA_L平面AB8,且ABu平面ABC。，所以R4_LAN,

因为EF//PA,所以斯LAB,

由底面A8C。为菱形，且乙钻C=60。，可得△ABC为等边三角形，

因为尸是的中点，所以CbJ_A8,

又因为EFlCF=F,且"；C"u平面CM,

所以AB_L平面CM,因为C£u平面CM,所以A8_LCE.

(2)取8的中点M,连接AM,因为尸是A8的中点，

可得AM〃Cb,因为CFJLA8,所以AMJ_4h

又因为尸4_L平面AACD,且平面/WC。，

所以％_LA3,PA±AM,

以A为坐标原点，以A及AM,A尸所在直线分别为右),,z轴,

建立空间直角坐标系，如图所示，

设以=人,可得40,0,0),3(2,0,0),

C(l,>^,0),D(-l,x/3,0),P(0,0,h),

所以BC=(—1,6,0),PC=(\,8「h),CD=(-2,0,0),

n-PC=A+>/3y-Az=0

设平面PC。的法向量为〃二(九,yz)可得，

yn-CD=-2x=0

令y=h,可得x=0,z=&,所以〃=(0,〃,百),

因为点3到平面PCD的距离为g,

BCn\网3

可得d=

HI而+配+(6y5'

则言W

解得好=9,

所以〃=3,所以P(0,0,3),且〃=(0,3,百).

乂因为平面的与)，轴所在直线垂直，

所以平面RW的一个法向量为〃2=(0,1,0),

设平面与平面PCD夹角为0,

可得85。小双孙"）|=摘=品=等，

所以平面与平面PCD夹角的余弦值立.

2

17.甲、乙进行射击比赛，两人依次轮流对同一目标进行射击，直至有人命中目标，

比赛结束，命中目标者获胜.假设甲每次射击命中目标的概率均为。（0<«<1）,乙

每次射击命中目标的概率均为£（0<^<1）,各次射击结果互不影响.

⑴若甲先射击，甲第2次射击且获胜的概率为p,求〃（用a,4表示）；

⑵若乙先射击，且乙获胜的概率恒大于甲获胜的概率，求£的最小值.

81

参考公式：若0vq<l,贝jZ/=l+4+q2+/+…一.

i=。"q

答案：（1）〃=（1_二）。一夕）a

吗

解析：（1）甲第2次射击且获胜，即甲第1次未命中，

乙第1次未命中，甲第2次命中.所以〃=（l-a）（l-7/）a.

（2）设乙先射击并获胜的概率为七，甲获胜的概率为4.

乙获胜的情况为：

乙第1次射击并命中，概率为夕；

第1轮甲乙均未命中，乙第2次射击并命中，概率为

第2轮甲乙均未命中，乙第3次射击并命中，概率为

第〃轮甲乙均未命中，乙第〃+1次射击并命中，概率为［（1-0（1-a）］”；

这是一个首项为夕，公比为（1-0（"。）的无穷等比数列，

所以2二,

甲获胜的情况为：

第1轮乙未命中，甲命中，概率为（1-夕）。；

第2轮乙未命中，甲命中，概率为(1-尸

第3轮乙未命中，甲命中，概率为

第〃轮乙未命中，甲命中，概率为［(1—6)(1一。)了，(1-0。；

这是一个首项为(1-夕)公比为(1-尸)(1-a)的无穷等比数列，

所以格=而湍F

由题意知，生>为恒成立，

即匚彼扁为>福品为恒成立'

因为Ovavl,0</?<1,所以1—(1一月)(1一<)>0,

所以〃>。一夕)。恒成立，即/>丁乙=1—

1+a1+a

因为Ovcvl,所以lvl+a<2,0<1一一—所以42L.

l+a22

所以《的最小值为;.

18.已知函数f(x)=(l-2x)lnx+at-l.

⑴若a=l,求.f(x)的单调区间；

⑵若/(力有且仅有1个零点，求〃的值；

⑶若存在m使得/(同4。+力对任意x>0恒成立，证明：a-b<4.

答案:(1)案(力的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+8).

(2)1

⑶证明见解析；

解析：(1)当。=1时，/a)=(l-2^)lnx+x-l,定义域为(0,转),

求导得至jlr(x)=-21nx+^l!_~7^r+l=-21nj+L1-l,

-X-1

4-/?(-v)=-21nA：4---l,贝I当xe(0,+oo)时〃'(x)=_2__!7<0,

所以人(可在(0,收)内单调递减，且〃(i)=o,

即广(X)在(。，笆)内单调递减，且尸(1)=0,

所以当xe(O,l)时，/'(力>0,函数/(可单调递增；

当“£。内)时,rq)<o,函数/(X)单调递减；

综上所述，“力单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，+8).

(2)因为“X)有且仅有1个零点，

所以方程(1-2可1旧+公-1=0有且仅有1个解，

即a=21nx-叱+"!■有且仅有1个解，

xx

人/\…Inx1八,/、2x-2+lnx

令g(x)=21nx----+—，x>0,则nilg(x)=----------,

XXX

令〃z(x)=2x-2+lnx,则M(x)=2+—>0,

所以机(可在区间(0,”)上单调递增，又因为机⑴=0,

所以当0<x<l时，加(力<0,即g'(x)<0,g(x)单调递减;

当%>1时，m(x)>0,即/(x)>0,g(x)单调递增;

所以函数g(x)在x=l处取得极小值也是最小值屋1)=1,

当x->0+时，g(x)f+oo,时，g(x)f+co,

因为〃=21nx-皿+L有且仅有i个解，所以〃=].

XX

(3)因为/(x)Wa+方对任意R>0恒成立，

所以/(力皿“〃+仇即处/(力皿一。，因此。-江八7⑴”

要证白-。<4,只需证明只)1mxV4即可,

对函数求导得到r(x)=-21nx+‘—2+a,

X

121

令〃(x)=-21nx+——2+々，贝ij4(x)=-----7<0,

XXrX

所以〃⑺在区间(0,”)单调递减，即广⑴在区间(0,”)单调递减,

存在唯一极大值点餐,满足以为）=0,即。=21叫+2——，

在（。,小）内广（力＞0函数/（力单调递增，

■，”）内r（H＜o函数/⑴单调递减，

所以当X=X。时取得极大值也是最大值

/（%）=（1-2xu）m.%+aq-1

/、（1、

=（1-2飞）In毛+21nx°+2x0-1

\"01

=In%+2M-2.

zx（i「、

因此2。一/（为）=221nxo+2----（lnx0+2x0-2）

kxo

2?

=31nx0-2x0---+6,令f（x）=31nx-2x——+2,

%x

则（』）=3_2+马=（2/+32）,

XXX

当0vxv2时，r（x）＞0,4%）单调递增,

当x＞2时，“幻＜0,7卜）单调递减，

故，（x）在x=2时取得最大值，（2）=31n2-4—1+2=31。2—3＜0,

2

因此3In/-2A---+2v0,

%

2

所以2々_/（/）=3111工0_2占—一+6＜4,

所以2〃-/伍）＜4,故勿-〃％）＜4得证.

22

19.已知双曲线C：5—2=l（。〉0，人＞0）的焦点到其渐近线的距离为正，点

a~b~

（71&）在。上.

（1）求c的方程.

（2）点48分别在C的两条渐近线上运动，且|A8|=2后，线段48的中点为M.

⑴设夙0,G）,F（0,-我,求IMEHMFI的最大值;

Gi）设岭。），点M不在工轴上，若NMQINMPQ,求防的

取值范围.

答案：⑴人口二I

(2)(i)4

解析：（1）设双曲线C的右焦点坐标为90）,一条渐近线方程为区-畋=0,

严I

因为双曲线C的焦点到其渐近线的距离为行，所以=b=V2

y1a1+b2

22

又点（夜,&）在。上，所以r-7=1,解得。=1,

a~2

2

所以。的方程为/-乙=1.

2

（2）设/（%,%）,A（XQJ,B（x,,y2）,

（i）解法一：双曲线C的渐近线方程为），=±0x,

不妨设点A在直线y=J*上，点8在直线y=-&x上,

则y}=5/2^,y2=-\[2X2.

因为线段A3的中点为M,

所以%=七邃，％=卡考（…）.

因为|AB|二2夜，

所以（X-%）2+（y=8,即（玉一次2）2+（正工1+"展2）=8,

得（友城+（2&%『=8,整理得其+手=1,

则点M的轨迹为椭圆一+二=1,其上、下焦点分别为£（0,百），尸（0,-石）,

4

根据椭圆的定义得|ME|+|Mf=4,

M|MEh|MF|<f|M£|+|MF|T=4,当且仅当IMEHM用=2时等号成立，

所以|ME|.|M用的最大值为4.

解法二：双曲线C的渐近线方程为丁=±0工，

不妨设点A在直线y=J5x上，点B在直线y=上.

若直线A3的斜率不存在，则直线A8的方程为％=±1,

此时点M的坐标为（1,0）或（-1,0）.

若直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为），=kx+m（k*土0）,

\y=kx-\-m-m41m、

由|缶+广。’得8

、叵+k'叵+k；

由|4例=2&,得（1+公）/=（2-公）［

由M是4B的中点,

m-mI_mk

得天）二2T1层J向4厂2T2

消去上m,得需+44=4①.

又点（1，。）和（T，。）满足方程①，

当攵=±亚时，点M的坐标为（士半,±羊［此时满足方程①.

JJ

所以点M的轨迹方程为/十二=1,

4

其上、下焦点分别为反0,打），F（0,-3,

根据椭圆的定义得IMEI+IM/1=4,

则|ME|•|MF|<f|M£|^|MF|Y=4,当且仅当IMEHMb|=2时等号成立,

所以的最大值为4.

（ii）解法一：由于且