广东某中学2025-2026学年高二年级下册中段模块考试数学试卷（含答案）

广东实验中学2025-2026学年下学期高二级中段模块考试数学试卷

一、单选题

1.已知圆加：（》-。）2+3-。）2=1与直线），=1恰有2个交点，则。的取值范围是（）

A.(0,1)B.(-1,1)C.(-1,2)D.(0,2)

32

2.已知cos(a-/7)=w，cosacos/?=w，则cos(2a+2/7)=()

2323「7

AA.nDB.--C.-

3.已知函数/(工)=/+/,则lim1」—')一•/⑴二()

AY

A.2eB.3eC.-2-eD.2+e

侑闾z则4BC的形状

4.△48C中，4£C的对边分别为。力,c若且

是（）

A.顶角为120。的等腰三角形B.等边三角形

C.等腰直角三角形D.顶角为3（/的等腰三角形

5.若1尸的展开式中父的系数为30,则〃=（）

A.9B.-9C.10D.-10

6.省实2026年科技节展演活动，需要安排小明、小红等共七位志愿者到三个路口当引导员，每位志愿者

去一个路口，每个路口至少需要两名引导员，且小明、小红去不同的路口，则满足条件的不同安排方法数

为（）

A.600B.540C.480D.420

7.已知数列｛%｝满足q=1,加=%”+2"，则数列｛4｝的前10（）项的和为（）

A.252-154B.252-150C.251-154D.25,-150

8.已知双曲线£＞：?-1的左、右顶点分别为4、B,M是上上一点，为等腰三角形，且外接

圆面积为则双曲线E的离心率为

A.V2B.V2+1C.百D.x/3+l

二、多选题

9.甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（）

A.如果甲、乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法有24种

B.最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法关有40种

C.甲、乙不相邻的排法种数为72种

D.甲、乙、丙按从左到右的顺序排列的排法有20种

10.如图，已知正方体片8。。的棱长为4,P,。分别是线段HQ上的动点，加是线段也的中

点，且满足产。=2遥，过尸。作平面使得8C〃a,则()

A.当羽=；的时，4”_L平面8cA

B.当。与4重合时，直线也与平面4c。所成角的正弦值为1

3

C.当尸为线段48中点时，直线&C到平面a的距离为凶1

11

D.祝•砺的最小值为22-4师

11.已知函数/(x)=eX-x,g(x)=Alnx,则下列说法正确的是()

A.g(lnx)在(1，+8)上不是增函数

B.若关于x的方程g(x)=a有两个不相等的实根司，x2,且内＜与，则占+2々＞3

C.若/(xj=g(x2)="a＞e-l),且与＞芯＞0,则“('+")一'—的最大值为-1

Irac

D.若。＞0,Vx＞0,不等式/詈之/(x-liK+l)恒成立，则。的取值范围为住,女)

三、填空题

12.从6名男生和4名女生中选出3人参加人工智能技能培训.在至少抽到一名女生的情况下，恰好抽到

一名男生的概率为.

210

13.若xI1)'=«0IIazxI­•'I^|Ox,贝1J|勺|+|%|+…+|/o|—.

14.若x'+xe，Nc'(Hnx+l)对于任意xe(l,+8)恒成立，则。的取值范围是

四、解答题

15.设数列｛/｝的前〃项积为7；,满足2a.+7；=l(〃Nl,〃eN).

⑴设。=1+",求证：数列｛4｝是等比数列：

(2)设数列｛cn｝满足g="心,求数列｛5｝的前〃项和S..

16.已知函数/(.丫)=、2-(24+l)x+alnr,aeR.

⑴若/(X)在x=l处取得极值，求“X)的所有极值；

(2)若/⑴在［Le］上的最小值为-2a,求。的取值范围.

17.在出/18。中，NACB=±,4c=4,8C=2,M为力。的中点，如图，沿8时将△CM8翻折至ADWB位

3

置，满足=

(1)证明：平面DW81平面；

(2)线段力8上是否存在点。，满足〃在平面D4M内的射影恰好落在直线D股上.若存在，求出NP的长度及

三棱锥P-4WZ)的体积：若不存在，请说明理由.

18.已知椭圆。：5+,=1(空方＞0)过点力(2,&),且C的右焦点为尸(2,0).

(1)求。的方程：

(2)设过点(4,0)的一条直线与C交于产,。两点，且与线段AF交于点S.

(i)证明：S到直线尸产和尸。的距离相等;

(ii)若△/尸5的面积等于的面积，求。的坐标.

19.已知函数=

(1)若a=l,求/(x)在(-lj(-l))处的切线;

⑵当时，证明：

(i)g")<2；(参考数据：e«2.7)

(ii)若〃O)2g(O),则/(x"g(x).

参考答案

1.D

【详解】解：由题意得，半径，,=1,直线为y-l=0,

设圆心M到直线的距离为d,则由点到直线的距离公式，可得d=[=k-i],

若圆与直线有2个交点，则de,即卜解得0<a<2,所以4£(0,2).

2.B

32

【详解】由8$(。一尸)=8$。。0$夕+而。$后尸=《，而cosacos/?=1,可得sinasin6,

所以cos(2a+20)=2cos2(a+/?)-1=2(cosacos〃一sinasin/-1=2x2」,=_

5-5■B

3.C

t详解】函数/(x)=/+ex,求导得/"(x)=2.丫卜e',

所以丽川一的一/⑴二.Hm，飞-拉)■/⑴一,(”？

Ar-+0A.v-AT0—&

4.C

【详解】由题意,•8C=0,

ABAC

乂因为反?=%-而，所以同同­(JC-Z5)=O,

~AB~AC~ABAC

展开得FT-\AB\+\AC\-=0

因为卜,=c,%c[=A4=8ccos力，

代入上式，得也受bcccsA八

—:—=()>

b

即bcosA-c+b-ccosJ=0,整理得(〃一c)(1+cos/)=0,

由于三角形内角满足0<力<兀，

故1+cos4>0,于是b-c=0,

即6=c,所以△4AC是以力为顶角的等腰三角形.

由1A/抽1O。I=/+"4一°且b=c,得」

另一方面，S4ABe~—^siivi=-b2sitvi.

又由余弦定理，/=b~+c2-IbccosA=2/)2(1-cos^J.

从而得到

解得5〃sirU=-/?2(1-cosJ),

即sin/i=1-cos/i,

即2sin-cos-=2sin2—,

222

.A(A.1)八

所以sin—cos——sin—=0,

2V22)

A

因为0</<兀，所以sin^)。，

AAA

故cos^=sin3,于是C=45°,

222

从而4=90°,因此△/!△(?是等腰直角三角形.

5.A

【详解】由二项式定理，(x+1尸的通项为&尸Go/-。=。』二,…,10).

(x2-Q)(X+Ip。=x2(x+1?。-a(x+a°.

其中产生一项的来源有两部分：

①/与(X+1尸中/项相乘:令10f=7,得厂=3,该项系数为a；

②-a与(x+l尸中.一项相乘：令10-厂=9,得r=1,该项系数为-4・C：o.

因此家的系数为:C：o-aC；0=3O.

]0x9XR

代入组合数计算：c；=——=120,C；=10,up120-10«=30,

o3x2x10

解得10a=90,a=9.

6.C

【详解】根据题意，七位志愿者分配到三个路口，则按2,2,3的分法，

所有的分配方法为：里4不；=630,

当小明和小红去同一个路口且该路口只有两人的分法为C；,

再安排剩下两个路II按2,3分法共有C；C：A；种分法,

则总的安排方法为C；C；C；A；=60种分法，

当小明和小红去同一个路口且该路口有三个人的分法为c£!,

再安排剩下的两个路口按2.2的分法共有C；C；,

则总的安排方法为C；C[C：C；=90种分法，

所以小明、小红去不同的路口，则满足条件的不同安排方法数为630-60-90=480.

7.A

【详解】％向=%“+2”=的小+(-1)"+2"，即％向-a2M=(T)"+2”.

ain-\=(生1-a2A3)+(%”-3-)+…+(%-%)+%

=[+[(T)'T+2"2]+...+[T+2]+]=^^_1_(；)+1

2"、㈠广一5I「2一(一广3

222

%+(T”2”+学-次可=2”+空-1

故$00=(4+%+…〃99)+(〃2+4+…〃100)

\

493

2+(-0°3.2、(-『3..(-I)

222222

/

+(2+(一)32*3

+L+-----------+ZH--------

2224—<2

2乂35,

=2x—---------X2X50=252-I54.

1-22

8.C

详解：不妨设时在第二象限，则在等腰A/18M中，\AB\=\AM\=2a,

设N力8M=N4W8=9,则/64%=2。，。为锐角.

AJ3M外接圆面积为3不力,则其半径为VJa，・・・28.=当,

sin6,

••_瓜

••sin0=—,cos0=—9

33

•-GV6_2X^2_c/痴\2-I

••sin260=2x—x—=--,cos2夕=2x(—)—1=一，

33333

设M点坐标为(x,y),则x=-o-|,4,8$2。=一?，y=\AM\s\n20=^^a，

即M点坐标为(-卑,警)，

5a/缶2

2整理得「

由M点在双曲线上，得（一丁）（一厂）=2»

故选C.

9.ACD

【详解】对于A,如果甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，口」将甲乙捆绑看成一个兀素,

则不同的排法有A：=24种，故A工确；

对于B,最左端排甲时，有A：=24种不同的排法，

最左端排乙时.，最右端不能排甲，则有A；A；=18种不同的排法，

最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，

则不同的排法共有24+18-42和I故B错误；

对于C,因为甲乙不相邻，先排甲乙以外的三人，再让甲乙插空，

则有A；A：=72种，故C正确；

对干D,甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有聋=20利故D正确.

A3

10.BCD

【详解】以。为原点，以。4方向为1轴，以DC方向为V轴，以。口方向为z轴,

建立如下图所示的空间直角坐标系。-QZ,

则。(3,0,4),P(4,〃?,0)且04机44,又PQ=2瓜,

7H

所以1+/+16=24,可得加=々，则P(4,后,0),此时"(夕己-,2),

又4(4,0,0),C(0,4,0),4(4,4,4),D,(0,0,4),

则加=(—今日,2),^C=(0,4,-4),甄=(4,4,0),

而不=2"-8/0、寂•丽=-2+2行工0,

则4Ml平面々CR不成立，所以A错误；

对于B选项,令尸（4,肛0）且04用44,

因为。与4重合，所以0（4,0,4）,PQ=26,

则阳2+16=24,得〃?=2上，所以>0=(0,-2拒,4),

由太=(一4,4,0),Z))C=(0,4,-4),

设1=（〃,匕vv）是面力的一个法向量,

b-AC=-4u+4v=0

所以_____令〃=1,则［=(1,1,1),

b♦Z)1C=4v-4iv=0

所以直线尸。与平面ACD.所成角的正弦值为

4-2及4-2及_拉-1

cos6,呢卜

-所以B正确;

&2瓜6&一二

对于C选项，2(«,0,4)K0</7<4,尸(4,2,0),又PQ=2瓜,

则(〃一4-+4+16=24,可得〃=2

所以。(2,0,4),则炉=(2,2,-4),而函=(4,0,4),

若a=(x,y,z)是。的一个法向量，

\aQP=2x+2y-4z=0

aCB1=4.r+4z=0

令r=l,则£=(1,—3,-1),而函二(2,4,0),

显然直线4。到平面a的距离，

即为用到平面a的距离d=|七"|=平=吧1,所以C正确；

|a|VI111

令尸(4,/%0)且0W〃?W4,。(〃,0,4)且0«〃44,PQ=2几

则(〃-4>+m2+16=24,可得(〃-4)2+〃/=g,

所以(3n)在圆(〃-4>+加2=8的四分之一圆弧上,

因为M是线段的中点，所以"(一,£,2),

则沅=(一审,4-卜2),砺=(-等,-斤2),

所以祝砺=(—)2_第4一次+4="卢彼卢，

令4-n=2五cos/机=2&sin。且OKOK1,

所以〃=4-20COSO,加=2及sin。，

则沅砺=22-4应(sin6+2cos⑶=22-4疝in(e+Q),且tane=2,

所以双3砺的最小值为22-4祈，所以D正确.

11.ABD

【详解】因为〃x)=e'7,则/'(x)=e；l,

当%>0时，ra)>o；当X<OHT,r(x)<o；

可知/(x)在(e,0)内单调递减，在(0,+8)内单调递增，且/(x)2/(O)=l；

乂因为g(x)的定义域(0，+“)，且g'(x)=l-，=三口，

XX

当al时，g'(x)>0；当0<x<l时，gr(x)<0；

可知g(x)在(0,1)内单调递减,在(1,+的内单调递增，且g(、)Zg⑴=L

对于选项A：因为0<1n2vlne=l,则g(ln2)>g(lne),

所以g(lnx)在(1,+。)上不是增函数，故A正确；

对于选项B：因为关于x的方程g(x)=〃有两个不相等的实根为，8，

x-hixx=a

可知。>1,0<x,<1<x2,且〈，

x2-Inx2=a

整理可得再一.0=111%一[110,即I；：t，

结合对数不等式।<土产，可得1<色手，即再+々>2,

InX]-Inx222

所以$+2/=(百+0)+/>3,故B正确；

对于选项C：若于(xj=g(%2)=a(a>e-l),且覆>占>0,

则c"-X1=a,即$+4=e”,可得In"]+。)=Ine”=玉，

且即/—aTn/,可得=对小=%，

1nlnX2

又因为g(》2)=工2-=c-lnx2=/(lnx2)=/(x,),

且%>0,Inx2>0,/(x)在(0,+3)内单调递增，可得占=112,

则ln($+“)-e'i=再/-In与=__a_,

InaInaInaina

构建a>c-\,则°，(a)=1?"，

当e-l<a<e时，^r(«)>0；当a>e时，Q<a)<。;

可知尹(。)在(e-l,e)上单调递增,在(e,+8)上单调递减,

则q(a)(e)=-e,所以皿士4二二的最大值为-e,故C错误；

Ina

对于选项D：因为。>0,Vx>0,则贮>0,

且g(x)=x-lnx21,可得x-lnx+122〉0,

又因为/(到在(0,+8)内单调递增，—>x-lnx+l,则〃「(“一晨+1),

Xc'

构建力3=式、二；上力x>0,则〃，(加曰曰,

因为g(x)=xTnx?l>0,可知：

当工>1时，//(x)<0；当0<x<l时，^(x)>0；

可知/?(x)在(0,1)内单调递增，在(1,+。)内单调递减，且力(工)及(1)=9

e

2「2、

可得所以。的取值范围为一,+8,故D正确.

cLe

9

12.—/0.36

25

【详解】设事件4：至少抽到一名女生，事件8：恰好抽到一名男生，

2l

则尸(止等小P(j5、)=C^PC-=—3

,)。10

3

故所求概率为产⑻4)=缪空=当=2

尸⑷225

6

13.242

【详解】解：设/(X)=(x2-x+1)=〃0+”+..+“］庐I。,

易观察多项式展开后，偶次项的系数为正，奇次项的系数为负,

即与，a2,4,%，4，/()均大于0：4，4，%，/，49均小于0,

所以kJ+kzl+…+=_。|+%_。3+%_牝+%_%+4-。9+《0，

令工=0,则/⑼=(()2-0+1)'=%=1,

令工二-1,则/(_1)=[(_1)2_(_1)+1]=40_6+%—4+….+《。=243,

因此，K|+|fl2|+-+|«10|=/(-1)-/(0)=243-1=242.

14.(73,3]

v

【详解】不等式d+xe>e'(Hnx+1)可化为《+'一1>a\nx,

eT

因为xe(l,+8),所以lnx>0,

A,

所以

InA-

3

rJnP31nx31m,i

又L=J=J=e31nxt,所以-----

exexev\nx

令〃x)=e—-1,/'(x)=eT,

当工<0时，r(x)<0,当x>0H[,/'(x)>0,

所以函数/(x)在(F,0)上单调递减，在(0,+8)上单调递增，

所以/(x)N/(0),即e-",即e'Nx+1，

所以、…+尸]>31nxr+l+l=3,

llLV111V

当且仅当31nx-x=0时，等号成立，

令g(x)=31nx-x,g(l)=-l<0,g(e)=3-e>0,

所以Hxoe(l,e),使得g(xo)=0,即31nx-x=0在(1,+8)上有解，

所以〃43,即。的取值范围是(—,3].

15.(1)证明见解析；

(2电=；\1].

JZ—1

【详解】(1)当〃=1时，由2《+7；=1且(=/可得3弓=1,所以％=；,7]=1,

当〃之2时，由/=隼汹”得勺(2+射)=1,

所以当〃之2时结合q=g,(=g，

可得当时,q尸0,故(尸0,

所以4=?,

代人己知条件2《+7；=l,得2-；+北=1,

2112

两边同除以4,得k+1=〒，即〒=1+尸,

〃ln4-1

由4=1+"，得”=l+l+3=21+；=2〃

n-I>

n4-1\，〃-1，

所以数列也｝是等比数列.

又4=号=1+3=4，

故数列｛"｝是首项为4,公比为2的等比数列.

（2）因为数列也｝是首项为4,公比为2的等比数列.所以4=421=2用

因为“=1+5,所以1+'=2"\

1n1n

从而9=77M-：»则T/i=不力-7'

Z-12—1

解得S”=g—导7・

J2-1

16.(1)极大值/(；)=_j_|n2,极小值/(1)=-2

⑵[fl]

【详解】(1)r(x)=〃—(2/+l)x+alnrM+R定义域为(0,+oo),

则f'（x）=2x—（2a+l）+—,

X

由于/（力在X=］处取得极值，故/'（l）=2_（2a+l）+a=0,/.a=l,

则小）=27+二型士^=>fl）,

XXX

令「（力>0,则0<x<T或X>1,函数/（x）在（0，；）（1，+动上均单调递增,

令ra）<o,则;<x<l,函数/（“在上单调递减，

2'乙）

故当X=：时，/(X)取到极大值=1-1+ln|=-^-ln2,

当x=l时,/(X)取到极小值/(1)=1-3=-2；

(2)由于/'(x)=Z.伽+1)+4=(2/7)(工―〃)心防］,

XX

当时，/'("20,仅在。=l,x=l时等号成立，/(X)在口闾上单调递增,

则f(xL.=〃l)=-2a，符合题意；

当leave时,则l<x<a时，/'⑴<0,/(x)在口,可上单调递减，

acxce时,f(x)>0,/(x)在［a,e］上单调递增，

故"x)min=/(〃)</⑴=—2%不符合题意;

当〃Ne时，/”(x)V0,/(X)在［l,e］上单调递减，

故/(x)min=/(e)</(1)=-2。,不符合题意：

综上，可知。的取值范围为(-8川.

17.(1)证明见解析；

(2)存在，好写,^WD=|

【详解】(1)

证明：在出49C中，由余弦定理得：AB2=AC2+BC2-2ACBCcos^,代入数据得力4=2百，则/出_L8C,

又因为M为AC中点，

则=MB=MZ)=14C=2,

2

作。。_L8M,垂足为O,显然O为中点，

在“MO中，ZAMO=—由余弦定理可得：AO2=AM2+MO2-2AMMDcos—

3t3f

代入数据得：力。=々，而0。=百

所以。42=。。2+。42,则。〃

又8A/C/1O=O,BAKQWu平面480，

故。。_L平面月4A1

又因为OZ)u平面。所以平面QA/4J_平面相M.

(2)因为OQ_L平面48历，所以。QJLOC,因为。为8M中点，所以8历J.OC,

以。为原点，建立空间直角坐标系如图所示:

则C(0,V5,0),仅1,0,0),M(-1,0,0),4(-2,-6,0),。(0,0,我,

故而二(一1,一石,0),A/D=(1,0,^5),［豆=(3,6,0),

记P在。M上的射影点为。，设花=4寤，MQ=juMD,

可得：画=而一而一力=(〃+1—32,6-⑻/)

A=-

PQM4=0,7

由题可知：，——，代入解得：

PQMD=02

所以存在尸符合题意，此时»=5加诙=5砺，力。=喳

计算可得：P

所以至='*¥，¥],则冏卜亚,

iJ7

D42+MT-MD210+4—4而

而COS/D4”

2DAMA~2x710x2-4

所以sinNDAM=旦,

则S/)“=—xDAxMAxsinNDAMxVnix2x=2

424TT

VP-AMD=；XSg.X卜;x零X|

3113z77

x2v2

18.⑴二+2L=i

84

（2）（i）证明见解析：（ii）

42

【详解】⑴根据题意有/+

且由椭圆的几何性质可知=口+度=口+4,

所以。2=8万=七

所以c的方程为工+仁=1.

84

（2）（i）显然产。的斜率存在，设。。的方程为y=M、-4）,代入。的方程有:

（2公।1）/16公丫|32公8=0,其中△》（）.

设尸（石，必），。（再，必），则X】+W=1，再工2=1j,

乙K十I乙K十1

若S到直线FP和FQ的距离相等，则直线SF平分4PFQ,

易知//_Lx轴，故只需满足直线户户与FQ的斜率之和为0.

设小，尸。的斜率分别为配右，则：

凹।%_N'_4)2〃(玉十々-4)

2f-2x2-2X)-2X2-2xix2-2(x(+x,)+4

XjX,-3(^+x)+8

=2kx2

X]X2-2(X]+x2)+4

16k232k2-S

代入石+x2亦小中"左丁

有左+&=（）,故命题得证.

（ii）由（i）知直线//平分/尸世，^^AFP=Z.AFQ.

因为的面积等于△/70S的面积，

故必阳=附|闻|,即肆黑,故PFUAQ.

故Z.AFQ=NAFP=NFAQ=>|4。|=|硝，。在线段AF的垂直平分线上.

易知线段AF的垂直平分线为y=与