2023年甘肃省中考数学试题及答案解析

2023年甘肃省初中学业水平考试

数学试卷

一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项.

1.（3分）9的算术平方根是（）

A.±3B.±9C.3D.-3

2.（3分）若g=—,则ab=（）

2b

A.6B.3C.1D._2

23

3.（3分）计算：a（a+2）-2a=（）

A.2B.a2C.a2+2aD.a2-2a

4.（3分）若直线y=h（左是常数，20）经过第一、第三象限，则”的值可为（）

A.-2B.-1C.-AD.2

2

5.（3分）如图，8。是等边△48C的边力C上的高，以点。为圆心，08长为半径作弧交8C的延

长于点£则NQ£C=（）

D.35°

6.（3分）方程的解为（）

XX+1

A.x=-2B.A=2C.x=-4D.x=4

7.（3分）如图，将矩形纸片,48。对折,使边48与OC,BC与4）分别重合，展开后得到四边形

EFGH.若月6=2,6c=4,则四边形£72〃的面积为（）

D.6

8.（3分）据统计，数学家群体是一个长寿群体，某研究小组随机抽取了收录约2200位数学家的《数

学家传略辞典》中部分90岁及以上的长寿数学家的年龄为样本，对数据进行整理与分析，统计图

表（部分数据）如下，下列结论错误的是（）

年龄范围（岁）人数（人）

90-9125

92-93■

94-95■

96-9711

98-9910

100-101m

100-101岁

A.该小组共统计了100名数学家的年龄

B.统计表中〃?的值为5

C.长寿数学家年龄在92・93岁的人数最多

D.《数学家传略辞典》中收录的数学家年龄在96-97岁的人数估计有110人

9.（3分）如图I,汉代初期的《淮南万毕术》是中国古代有关物理、化学的重要文献，书中记载了

我国古代学者在科学领域做过的一些探索及成就.其中所记载的“取大镜高悬，置水盆于其下，

则见四邻矣”，是古人利用光的反射定律改变光路的方法，即“反射光线与入射光线、法线在同一

平面上；反射光线和入射光线位于法线的两侧；反射角等于入射角为了探清一口深井的底部情

况，运用此原理，如图在井口放置•面平面镜可改变光路，当太阳光线48与地面8所成夹角

ZABC=50°时，要使太阳光线经反射后刚好垂直于地面射入深井底部，则需要调整平面镜"

与地面的夹角NE8C=（）

AE

淮

工

，

南

8“

线

苒

举

<

10.（3分）如图1,正方形/14C。的边长为4,£为。边的中点.动点尸从点力出发沿/出一4。

匀速运动，运动到点C时停止.设点尸的运动路程为工，线段尸E的长为y,y与x的函数图象如

图2所示，则点AY的坐标为（）

二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分.

11.（3分）因式分解：ax2-2ax+a=.

12.（3分）关于x的一元二次方程/+2x+4c=0有两个不相等的实数根，则。=（写

出一个满足条件的值）.

13.（3分）近年来，我国科技工作者践行“科技强国”使命，不断取得世界级的科技成果.如由我

国制的中国首台作业型全海深自主遥控潜水器“海斗一号”，最大下潜深度10907米，填补了中国

水下万米作业型无人潜水器的空白；由我国自主研发的极目一号in型浮空艇“大白鲸”，升空高度

至海拔9050米，创造了浮空艇原位大气科学观测海拔最高的世界记录.如果把海平面以上9050

米记作”+9050米”，那么海平面以下10907米记作“.

14.（3分）如图，△48C内接于。。，4?是。。的直径，点。是。。上一点，NCDB=55：则N

ABC=°.

15.（3分）如图，菱形48。中，ND4B=60：BEVAB,DF±CD,垂足分别为8,D,若AB=

16.（3分）如图1,我国是世界上最早制造使用水车的国家.1556年兰州人段续的第一架水车创制

成功后，黄河两岸人民纷纷仿制，车水灌田，水渠纵横，沃土繁丰.而今，兰州水车博览园是百

里黄河风情线上的标志性景观，是兰州“水车之都”的象征.如图2是水车舀水灌溉示意图，水

车轮的辐条（圆的半径）0力长约为6米，辐条尽头装有刮板，刮板间安装有等距斜挂的长方体

形状的水斗，当水流冲动水车轮刮板时.，驱使水车徐徐转动，水斗依次舀满河水在点4处离开水

面，逆时针旋转150°上升至轮子上方8处，斗口开始翻转向下，将水倾入木槽，由木杷I导入水

渠，进而灌溉，那么水斗从4处（舀水）转动到8处（倒水）所经过的路程是米.（结

果保留IT）

图1图2

三、解答题：本大题共6小题，共32分.解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（4分）计算：V27^--X2V2-672.

2

x〉-6-2乂

18.（4分）解不等式组：3+x.

x《丁

22

19.（4分）化简：之也.・£±_+—匚上----.

22

a+ba-2ba-4ab+4b

20.（6分）1672年，丹麦数学家莫尔在他的著作《欧儿里得作图》中指出：只用圆规可以完成一切

尺规作图.1797年，意大利数学家马斯凯罗尼乂独立发现此结论，并写在他的著作《圆规的几何

学》中.请你利用数学家们发现的结论，完成下面的作图题：

如图，已知4是。。上一点，只用圆规将的圆周四等分.（按如下步骤完成，保留作图

痕迹）

①以点力为圆心，04长为半径，自点力起，在。。上逆时针方向顺次截取标=标=而；

②分别以点4点。为圆心，力C长为半径作弧，两弧交于。。上方点E：

③以点彳为圆心，长为半径作弧交。。十G,〃两点.即点4,G,。，〃将。。的恻周四等

分.

21.（6分）为传承红色文化，激发革命精神，增强爱国主义情感，某校组织七年级学生开展“讲好

红色故事，传承红色基因”为主题的研学之旅，策划了三条红色线路让学生选择：A.南梁精神

红色记忆之旅（华池县）；8.长征会师胜利之旅（会宁县）；C.西路军红色征程之旅（高台县）,

且每人只能选择一条线路.小亮和小刚两人用抽卡片的方式确定一条自己要去的线路.他们准备

了3张不透明的卡片，正面分别写上字母4,B,C,卡片除正面字母不同外其余均相同，将3张

卜片正面向下洗匀，小凫先从中随机抽取张K片，记下字母后正面向下放回，洗匀后小刚再从

中随机抽取一张卡片.

（1）求小亮从中随机抽到卡片A的概率；

（2）请用画树状图或列表的方法，求两人都抽到卡片。的概率.

22.（8分）如图1,某人的一渊官后面力处长了一个新生物，现需检测其到皮肤的距离（图I）.为

避免伤害器官，可利用一种新型检测技术，检测射线可避开器官从侧面测量.某医疗小组制定方

案，通过医疗仪器的测量获得相关数据，并利用数据计•算出新生物到皮肤的距禽方案如下:

(参考数据：sin35°=0.57,cos350~0.82,tan350~0.70,sin220^0.37,cos22°^0.93,tan22°

^0.40)

四、解答题：本大题共5小题，共40分,解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

23.（7分）某校八年级共有200名学生，为了解八年级学生地理学科的学习情况，从中随机抽取4（）

名学生的八年级上、下两个学期期末地理成绩进行整理和分析（两次测试试卷满分均为35分，难

度系数相同；成绩用x表示，分成6个等级：A.x<10；8.10WxV15；C.15Wx<20；D.20

16,16,18,18；

。.八年级学生上、下两个学期期末地理成绩的平均数、众数、中位数如下:

学期平均数众数中位数

八年级上学期17.715m

八年级下学期18.21918.5

根据以上信息，回答卜列问题：

（1）填空：w=:

（2）若x225为优秀，则这200名学生八年级下学期期末地理成绩达到优秀的约有人;

（3）你认为该校八年级学生的期末地理成绩下学期比上学期有没有提高？请说明理由.

24.（7分）如图，一次函数丁=加叶〃的图象与y轴交于点力，与反比例函数卜=2（》>（））的图象交

于点B（3,。）.

（1）求点片的坐标；

（2）用〃？的代数式表示〃；

（3）当△。48的面积为9时，求一次函数y="v+〃的表达式.

25.（8分）如图，△/14C内接于/也是的直径，。是上的一点，CO平分N8C£>,CE

_1_力。，垂足为E,/也与CD相交于点足

（1）求证：CE是0。的切线；

（2）当。。的半径为5,sinB=S寸，求CE的长.

5

C

E

B

AO

D

26.(8分)【模型建立】

(1)如图1,△力AC和△台0石都是等边三角形，点。关于力。的对称点尸在边上.

①求证：AE=CD；

②用等式写出线段4。，BD,OE的数量关系，并说明理由;

【模型应用】

(2)如图2,△ABC是直角三角形，AB=AC,CDLBD,垂足为。，点。关于力。的对称点尸

在BD边上.用等式写出线段4。，BD,。尸的数量关系，并说明理由;

【模型迁移】

(3)在(2)的条件下，若力。=4近，BD=3CD,求cosN/lA3的值.

x交于点8(4,・4),点C

(0,-4)在)，轴上.点尸从点〃出发，沿线段80方向匀速运动，运动到点。时停止.

(1)求抛物线^=-^+bx的表达式；

(2)当82=2勺项时，请在图1中过点P作PQ_LO力交抛物线于点。，连接PC,OD,判断四边

形OCPO的形状，并说明理由;

(3)如图2,点尸从点〃开始运动时，点。从点。同时出发，以与点尸相同的速度沿x轴正方

向匀速运动，点P停止运动时点0也停止运动.连接80,PC,求CP+8。的最小值.

2023年甘肃省初中学业水平考试数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项.

I.（3分）9的算术平方根是（）

A.±3B.±9C.3D.-3

【分析】根据算术平方根的定义即可求出答案.

【解答】解：9的算术平方根是3,

故选：C.

【点评】本题考查算术平方根，解题的关键是熟练运用算术平方根的定义，本题属「基础题型.

2.（3分）若包=3,则裙=（）

2b

A.6B.3C.1D.2

23

【分析】直接利用比例的性质，内项之积等于外项之积即可得出答案.

【解答】解：=3,

2b

•・ab=6.

故选：A.

【点评】此题主要考查了比例的性质，正确将原式变形是解题关键.

3.（3分）计算：a（0+2）-2a=（）

A.2B.a2C.a2+2aD.a2-2a

【分析】直接利用单项式乘多项式运算法则化简，再合并同类项得出答案.

【解答】解：原式=『+2q-2a

故选：B.

【点评】此题主要考瓷了单项式乘多项式运算，正确掌握相关运算法则是解题关键.

4.（3分）若直线y=h（片是常数，左W0）经过第一、第三象限，则左的值可为（）

A.-2B.-IC.-AD.2

2

【分析】正比例函数y=Ax（人是常数，GW0）的图象经过第一、三象限，则Q0.

【解答】解：.・•直线），=依（攵是常数，AH0）经过笫一、第二象限，

・・・A>0.

故选：D.

【点评】本题考查的是•次函数的图象与系数的关系，先根据题意得出左的取值范围是解答此题

的关键.

5.（3分）如图，8。是等边。的边AC上的高，以点。为圆心，长为半径作弧交3C的延

长于点E,则NQEC=（）

【分析】根据等功三角形的性质可得//8。=60°,根据等功三角形三线合一可得NC8D=30。，

再根据作图可知BD=ED,进一步可得NOEC的度数.

【解答】解：在等边△48C中，ZABC=60°,

•••8。是力。边上的高，

・・・8。平分N力8C,

・・・NC8O=」N48c=30°,

2

YBD=ED,

：.ZDEC=ZCBD=30°,

故选：C.

【点评】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键.

6.（3分）方程解为（）

XX+1

A.x=-2B.x=2C.x=-4D.x=4

【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式

方程的解.

【解答】解：去分母得：2r+2=x,

解得：x=-2,

经检验x=-2是分式方程的解，

故原方程的解是X=-2.

故选：A.

【点评】本题考查了解分式方程，掌握转化思想，把分式方程转化为整式方程求解是关键.

7.(3分)如图，将矩形纸片对折，使边48与。C,3C与力。分别重合，展开后得到四边形

EFGH.若AB=2,4C=4,则四边形的面积为()

【分析】由折叠可知N4G£=N8G£=90°,AG=BG,NAFH=/DFH=90：AF=DF,由同

旁内角互补，两直线平行得4Q〃GE_L4C,AB//FH//CD,由平行线的性质可得/7/_LGE,GE

=BC=4,FH=AB=2,()F=()H,()G=()E,再根据对角线互相垂直平分的四i力形为菱形可知四

边形EFGH为菱形,最后利用菱形的面积公式计算即可求解.

【解答】解：如图，设EG与FH交于点0,

•・•四边形力〃。。为矩形，

：,AD//BC,AB//CD.N力=/8=NC=NO=90°,

根据折叠的性质可得，NAGE=/BGE=90°,AG=BG,/AFH=/DFH=90°,AF=DF,

:・AD〃GELBC,AB//FH//CD,

:・FHIGE,GE=BC=4,FH=AB=2,OF=OH,OG=OE,

・•・四边形为菱形，

・・・S变形机G〃=^E・FH=£X2X4=4•

故选：B.

【点评】本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、菱形的判定、菱形的面积公式，熟知折叠的性

质和菱形的判定方法是解题关键.

8.(3分)据统计，数学家群体是一个长寿群体，某研究小组随机抽取了收录约2200位数学家的《数

学家传略辞典》中部分90岁及以上的长寿数学家的年龄为样本，对数据进行整理与分析，统计图

表（部分数据）如下，下列结论错误的是（）

年龄范围（岁）人数（人）

90-9125

92-93■

94-95■

96-9711

98-9910

100-101m

100-101岁

A.该小组共统计了100名数学家的年龄

B.统计表中用的值为5

C.长寿数学家年龄在92-93岁的人数最多

D.《数学家传略辞典》中收录的数学家年龄在96-97岁的人数估计有110人

【分析】根据统计表和扇形统计图给出的数据分别对每一项进行分析，即可得出答案.

【解答】解：力、该小组共统计的人数为：10・10%=100（人），故不符合题意；

B、统计表中小的值为100X5%=5（人），故不符合题意；

C、长寿数学家年龄在92・93岁的人数为100X35%=35,长寿数学家年龄在94・95岁的人数为

100X14%=14（人），所以长寿数学家年龄在92・93岁的人数最多，故不符合题意：

。、《数学家传略辞典》中收录的数学家年龄在96-97岁的人数估计有2200X」L=242（人），

100

故符合题意.

故选：D.

【点评】此题考查了统计表和用样本估计总体，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决

问题的关键.从扇形图上可以清楚地看出各部分数量和总数量之间的关系.

9.(3分)如图1,汉代初期的《淮南万毕术》是中国古代有关物理、化学的重要文献，书中记载了

我国古代学者在科学领域做过的一些探索及成就.其中所记载的“取大镜高悬，置水盆于其下，

则见四邻矣”，是古人利用光的反射定律改变光路的方法，即“反射光线与入射光线、法线在同一

平面上；反射光线和入射光线位;法线的两侧；反射角等「入射角”.为了探清一口深井的底部情

况，运用此原理，如图在井口放置一面平面镜可改变光路，当太阳光线48与地面C。所成夹角

ZABC=50°B'j,要使太阳光线经反射后刚好垂直于地面射入深井底部，则需要调整平面镜环

与地面的夹角NE8C=()

淮

南

苒

举

<

【分析】根据AA/_LCO，得NC4.M=9()°,所以N/4E+/厂区”=40°,再根据//"£=/厂区”,

得N4BE=NFBM=20°,即可得NE8C=20。+50°=70°.

【解答】解：如图，

M

图2

V5M1CD,

.•・NC8M=90°,

'：ZABC=50°，

/.ZABE+ZFBM=180°-90°-50°=40°,

*/ZABE=/FBM,

:・NABE=/FBM=20°,

:・NEBC=200+50°=70°.

故选:B.

【点评】本题主要考杳了垂线和角的计算，解题的关键是熟练掌握垂线的性质等知识.

10.（3分）如图1,正方形力8CO的边长为4,E为C。边的中点.动点P从点力出发沿力

匀速运动,运动到点C时停止.设点P的运动路程为工，线段PE的长为y,y与x的函数图象如

图2所示,则点A7的坐标为（）

C.（4,2遥）D.（4,5）

【分析】根据图2确定M点的横坐标为48的长度，纵坐标为8E的长度，然后求值即可.

【解答】解：由题意可知，当点P在边48上时，y的值先减小后增大,

当点。在边8C上时，y的值逐渐减小,

・・・加点的横坐标为AB的长度，纵坐标为BE的长度,

•・,4?=4,£C=£Q=L"」X4=2,

22

：•^=VBC2<E2=V42+22=2^5，

・・・M（4,2函）,

故选：C.

【点评】本题考查动点问题的函数图象，关键是根据佟12确定M点的坐标与正方形的边之间的关

系.

二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分.

11.（3分）因式分解：4』-加工+“=a（x-I）?

【分析】直接提取公因式。，再利用完全平方公式分解因式.

【解答】解：ax2-2ax+a

=a（x2-2x+1）

=a（x-1）2.

故答案为：aCx-\）2.

【点评】此题主要考查了提取公因式法、公式法分解因式，正确运用乘法公式是解题关键.

12.（3分）关于x的一元二次方程x2+2x+4c=0有两个不相等的实数根，则。=0（答案不唯•）

（写出一个满足条件的值）.

【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出A=4-16c>0,解之即可得出c的取值范围，

任取其内的一个数即可.

【解答】解：•••方程f+2好4c=0有两个不相等的实数根，

AA=22-16c>0,

解得：

4

故答案为：0（答案不唯一）.

【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当△>（）时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关

键.

13.（3分）近年来，我国科技工作者践行“科技强国”使命，不断取得世界级的科技成果.如由我

国制的中国首台作业型全海深自主遥控潜水器“海斗一号”，最大下潜深度10907米，填补了中国

水下万米作业型无人潜水器的空白；由我国自主研发的极目一号in型浮空艇“大白鲸”，升空高度

至海拔9050米，创造了浮空艇原位大气科学观测海拔最高的世界记录.如果把海平面以上9050

米记作”+9050米”，那么海平面以下10907米记作“70907米.

【分析】根据正数与负数的实际意义即可得出答案.

【解答】解：•・•海平面以上9050米记作”+9050米”，

・・・海平面以下10907米记作“70907米”，

故答案为：-10907米.

【点评】本题考查正数与负数的实际意义，正数和负数是一对具有相反意义的量，此为基础知识

点，必须熟练掌握.

14.（3分）如图，△〃完?内接于。。，/也是的直径，点。是OO上一点，NCQ4=55°,则N

ABC=35°.

【分析】根据圆周角定理和三角形的内角和定理即可得到结论.

【解答】解：:/18是。0的直径，

AZACB=90o,

VZA=ZD=55°,

AZJ5C=1800-ZACB-ZJ=35°,

故答案为：35.

【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心：熟练掌握三角形的外心的定义与性质.也考查了圆

周角定理.

15.（3分）如图，菱形N8CQ中，ND4B=60°,BEA.AB,DF1CD,垂足分别为8,若48=

6cm,则EF=_2A/2.cm.

【分析】连接4。交力。于。，则/O=CO,BO=OD根据菱形的性质得到力。=/从ZDAC=

NBAC=NDCA=NBCA,ACA,BD,求得BD=4B=6cm,根据勾股定理得到力C=24O=2X

7AB2-B02=6V3（c/n）,求得力E=CG根据三角函数的定义即可得到结论.

【解答】解：连接交水;于O,

贝。O=CO,BO=OD

•・•四边形片〃。。是菱形，

:・AD=AB,/DAC=NBAC=NDCA=/BCA,AC1BD,

•••/。48=60°,

•••△力8。是等边三角形，ZDAC=ZBAC=ZDCA=ZBCA=30°,

:,BD=AB=6cm,

・UO=JAB2-B02=3近（cm），

：.AC=2AO=6^/3（cm）,

VBE1AB,DELCD,

:・/CDF=/4BE=9G,

:,ACDF沿丛ABE（ASA）,

:・AE=CF,

,,"E=b=c。黑脸=4«（©〃），

:.EF=AE+CF-AC=243（cm）,

故答案为：2勺分.

【点评】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，正确地作出辅

助线是解题的关键.

16.（3分）如图1,我国是世界上最早制造使用水车的国家.1556年兰州人段续的第一架水车创制

成功后，黄河两岸人民纷纷仿制，车水灌田，水渠纵横，沃土繁丰.而今，兰州水车博览园是百

里黄河风情线上的标志性景观，是兰州“水车之都”的象征.如图2是水车舀水灌溉示意图，水

车轮的辐条（圆的半径）。片长约为6米，辐条尽头装有刮板，刮板间安装有等距斜挂的长方体

形状的水斗，当水流冲动水车轮刮板时，驱使水车徐徐转动，水斗依次舀满河水在点力处离开水

面，逆时针旋转150°上升至轮子上方8处，斗口开始翻转向下，将水倾入木槽，由木杷I导入水

渠，进而灌溉，那么水斗从月处（舀水）转动到3处（鱼水）所经过的路程是5乂米.（结果

保留7T）

1・

•

1

•

：*席

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*木

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s

即图2

解.

值求

入数

接代

式直

长公

据弧

】根

【分析

.

（米）

X6

0°.

=15

：标

】解

【解答

180

m

为：5

故答案

.

即可

计算

，认真

不大

难度

情况，

的掌握

公式

对弧长