平面向量的综合应用 主观题8种重难点题型（学生版）

平面向量的综合应用主观题8种重难点题型

题型归纳

题型一:平面向量共线定理及其应用

题型二:平面向最基本定理的应用

题型三:平面向量数量积的运算

题型0:平面向量的叁直问题

题型五:平面向量的模是问题

题型六:平面向量的昊角问题

题型七:平面向量与三角函数的修合

题型八:平面向量的新定义题

题型专练

题型一，平面向,共线定理及其应用

1.设苴苞是两个不共线的向量，已知彳江=茸-4芭，丽=琶+3£,历=2周一最.

⑴求证：A3,。三点共线；

⑵若说=3有一成且加〃防,求实数E的值.

2.已知向量日=(―1,2),6=(义~,—

(1)求|4+4同；

⑵若石+41与日-需平行，求实数4的值

3.已知向量右，方不共线，且况=24—儿OB=3a+b,OC=a-^Ab.

⑴若刀//55,求4的值；

(2)若/1=-3,求证：A,B,。三点共线.

题型二，平面向量基本定理的应用

4.如图，在△A6C中，M是线段8。上一点，且满足点。满足#=3用1过P的一条直线2

分别交线段43、A。于点E、尸.设通=2助，刀=加而，其中小”(0,1).记荏=江，而=日

(1)就用a＞日表示AP\

(2)求c+2g的最小值;

(3)若直线I交CB的延长线于点G,并有=3G,求2的值.

V

...........»

5.如图，已知△46。的面积为14,。、石分别为边AB,6C上的点，且力O：D5=6K：KC=2:1,AE与CD

⑴求4及〃；

⑵用乙日表示加；

⑶求的面积.

6.如图所示，是△力3。的一条中线，点。满足汨5=2比，过点。的直线分别与射线A8,射线力。交

于M,N两点.

⑴用NB和表示N3：

⑵设由？=7出而，京=,泊方，实数成＞0,九＞0,求」-+工的值；

mn

⑶如果△4DC是边长为。(a＞0)的等边三角形，求OAT+ON2的取值范围.

7.如图，在△43。中，NB4C=90°,AB=2f4。=3,。是8c的中点，点E满足说=2后BE与AD

交于点G.

(1)设旗=4房,求实数4的值；

⑵设H是右£上一点，且凡4_£。，求丽・历的值.

题型三3平面向量数•积的运算

8.已知同=4,吼=2,且二与1的夹角为卷.

<5

⑴求B+2同;

(2)求(a+3b)•(a—?)

(3)若向量(2a-Ab)_L(而+3?),求实数％的值.

9.如图，在△043中，司=4,同=2,尸为人右边上一点，且加=2两.

⑴设以Wi+gOS,求实数①，v的值；

(2)若35与5s的夹角为号，求5?•丽的值.

<5

10.如图，在等腰梯形ABCD中，AB//CD,\AB\=2\DC\=2^BAD=与后是BC边的中点

⑴试用刀,4方表示AE.BD,

(2)求加•，石的值.

q..................

11.在平行四边形ABCD中，46=4,力。=6,乙区4。=看,厂是线段AD的中点，点E在直线。。上，且反

⑴当4=；时，求荏♦加的值；

⑵当2时，AE与BF交于点N,京=i荏+y而，求z-v的值.

12.如图,在矩形ABCD中，点E是线段6。上一动点(含端点)，F是CD上靠近点。的三等分点.

⑴设刀存+〃初，求/1+〃的值；

(2)若43=3,6。=2,求幺方♦品的取值范围.

...........»

13.在平行四边形4BCD中，AB=4,AD=6,乙区4。=看,R是线段AD的中点，点E在直线。。匕且反

=/i5S(-1&K1).

BC

AFD

⑴当4一4•时，求戏•乐的值；

O

⑵当4=]■时，4E与所交于点M俞=c通+以万，求心一沙的值；

(3)求乐•丽的最小值.

14.如图，已知△ABC是边长为2的正三角形,点P在边BC1.,且3BP=瓦，点、Q为线段AP上一点.

⑴若府=履5++比,求实数4的值;

1•)

(2)求3.比的最小值；

15.“四叶回旋镖”可看作是由四人相同的直角梯形围成的图形，如图所示，AB=2,CD=1,N4=45°,

4ABe=90°,点P在线段4B与线段BL上运动.

6若面？=血？+〃丽(/1,〃€/1),求义+2以的值；

(2)求助・丽的取值范围.

题型四:平面向量的垂直问题

16.已知向量4,立若同=2,吼=1,4,力夹角为120°.

⑴求|2a-d|；

(2)当4为何值时，向量足+日与向量4一3日互相垂直？

17.已知a=(2,-1),?=(1,-3)，

⑴求|a|和(a,6)；

(2)已知c=b-ka，且c±a，求实数k的值.

18.如图，在△ABC中，已知AB=2,AC=4,ZBAC=600"［是BC的中点，N是AC上的点，且亦=

xAC,AM,6N相交于点P.设存二日，灰=G

⑴若1试用向量入广表示翁，丽:

O

⑵若AMJ.PN,求AN=*

19.在△43。中，/84。=90°,48=2,4。=6,。为/。边上的中点，E为8。边上一点，且丽=4反?(0

</!<!).

(1)当4时，若4£=切3。+2/4。,求0：+9的值；

乙

(2)当AE?_LBD时，求J的值.

20.已知平行四边形4BCD中，力3=2,6。=4,/。46=60°,点七是线段3。的中点.

⑴求荏•标的值；

(〃)若布=屈+1而，且而_1_布，求4的值.

21.已知由及才是同一平面内的三个向量,其中日=(3,4).

(1)若|c|=10,且才〃4,求K的坐标；

⑵若同=痴,且日+2号与2"日垂宜，求日在日方向上的投影向量.

题型五:平面向量的模长问题

22.已知向量4=(3,2),?=(x,-l),c=(-8,-1)

(1)求日与才夹角余弦值.

(2)当(a+26)_L(2a—?)且i>0时，求|a—?|；

23.已知向量4,儿同=4,吼=3,若(2"3»(2总+初=61.

⑴求日小的值；

⑵求4与日的夹角公

(3)求B+目的值.

24.在△43。中，已知|无研=2,|而|=4,荏和配的夹角为，9,且cos~=1.

⑴若。为AB的中点，求4S・ci5.

(2)已知BE=犯日,若\AE\=隼，求实数4的值.

.............国

25.已知向量4=（2,1）,帆=函，

⑴若〉与〉夹角为120°，求僮+2时；

（2）若云与日夹角为60°,求偿+同取最小值时t的值.

26.如图，在正方形ABCD中，E是线段AB的中点，R在线段上（不包含端点）,线段力相交于点

⑴若|荏|=4,行,下=4,求|朋|的值.

⑵若人一尸=冬54一八求之|BF的|值.

12\FC\

27.在直角梯形ABCD中，已知N5=255,AD±AB,\AD\=|历|=1,动点E、R分别在线段。。和BC

上，且=屈=(1—4)皮.

DEC

AB

求I崩可的取值范围.

题型六,平面向量的夹角问题

28.已知向量4=(1,-2),同=3』.

⑴若正〃E,求］的坐标;

⑵若(8右一研(4—力求日与日夹角的余弦值.

29.已知向量4=(3,-4),6=(-1,3).

⑴求4+及五一2日的坐标；

(2)求L+4与石一2日夹角的余弦值.

30.已知同=2,冏=V2,|a+b|=|a—2d|.

(1)求，+2同:

⑵若24-需与的夹角为锐角,求实数X的取值范围.

31.已知在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点力(1,一2),6(2,4).

(1)。是线段46上靠近A的三等分点，求点。的坐标；

(2)若晶与。N+AOB的夹角为锐角，求实数4的取值范围.

32.已知向量胸满足同=/,吼=1,设立与广的夹角为仇

（1）若对任意实数C,不等式＞b+M恒成立，求COS。的值;

（2）根据（1）中日与日的夹角。值,求日与4+2日夹角的余弦值.

33.如图，在△43。中，己知43=6,4。=9,/氏4。=60°,丽=2觉,点可为力。边的中点，力M,BN相交

于点P

⑴求回|；

⑵求cosNATPN；

⑶求网.

..........................................................................

34.如图，在△45。中，AB=3,4C=2,乙84。=等,。是反7边的中点，CE_L0与CE交于点R.

J

⑴求。E和/。的长度;

⑵求cos/CRD

题型七，平面向■与三角函数的融合

35.已知向量庆=(-1-,—2~)f五=(cosGsinz).

⑴若成//元，求tanx的值；

⑵若庆•云=:且％W(0,当),求cos4的值.

36.已知向量日=(cosx,sinx),6=(3,—V3),xG[0,7：].

⑴若d_L九求c的值；

(2)记f(x)=W+1,求f(x)的最大值和最小值以及对应的富的值.

37.已知向量房=(sin54-x),V3sinx),n=(sin%—c),cose),设函数/(⑦)=m*n.

(1)求函数/①)的最小正周期：

⑵若/(木_+1)=~^Y~，且普Va〈兀,求sina的值；

(3)在△48。中,若/(等)=1,求sin8+sinO的取值范围.

..........................................................................

38.已知平面向量4=(sinx,cosx),6=(V3cosx,—cosx),c=(l,2cosx-1).

⑴设函数/Q)=2小几求/⑸的最小正周期、对称轴方程和等］上的值域;

L4J」

(2)设函数v=/(c)+4•落

①记£=sin:r—coSa;,试用1表示sine•cosc,并写出t的取值范围；

②求"的最大值.

39.如图，点P,Q分别是矩形力BCD的边。。，及7上的两点，46=3,40=2.

⑴若加=4皮，耳=4屈,04aW1,求万•质的范围；

⑵若/D4Q=^，求布•旗的最小值：

⑶若加=2万，连接力尸交及7的延长线于点T,Q为8。的中点，试探究线段4®上是否存在一点

使得4THQ最大.若存在，求的长；若不存在，说明理由.

J■型八，平面向量的新定义题

40.在平面直角坐标系xOy中，对于非零向量4=3，gJ,X=(勘,仍)，定义这两个向量的“相离度”为4(由。

=山纥瓶L,容易知道五5平行的充要条件为d(&g)=0.

(1)己知4=(3,4),?=(2,1),求d值国;

(2)(i)设向量由日的夹角为仇证明：4伍,丹=&11。；

(ii)已知非零向量日了满足同=|3=同b],求d((3

眇

41.如图所示，设Qr,Oy是平面内相交成。(0＜。＜兀)角的两条数轴，其，房分别是与轴正方向同向的单

位向量，则称平面坐标系zOg为6仿射坐标系，若在。仿射坐标系下面=+g最，则把有序数对

(电始叫做向量曲的仿射坐标，记为OM=(心切.

⑴在6仿射坐标系中，若4=(-3,7),b=(4-5zn,Tn+15),且4〃儿求实数m；

(2)在6仿射坐标系中，若65=(3,1),丽=(1,1).

①当。=4"时，求cosZAOB；

②设N4C汨=0,若对任意实数3|OT4-£OB|恒成立，求cost?的最大值.

42.设平面内两个非零向量庆，n的夹角为仇定义一种运算"靖扇＜3）B=\m|n|sin^.试求解下列问题:

（1）已知向量知［满足同=，15/目=3,0一0_L-求。的值;

⑵若向量£1满足3=31,幼）（犹+婿工0）,1=（如如）（忌+m*0），求证：a0?=\x}y2-x2y\\；

⑶已知向量w=（M—,4—），日=（3,—一」），°£（0,告），求a区日的最小值.

\3cosasina''sinacosa/x27

43.设。,,Og是平面内相交成。角(悻专)的两条不共线射线，则称该平面坐标系为斜坐标系夕-。曲.

向量局和最分别是与c轴和y轴正方向同向的单位向量，若向量而=1居+亦;，则把有序实数对

(电妨叫做向量6(?在斜坐标系。一O费/中的坐标，记作=(x,y).在如图所示的斜坐标系。一。阴/

中，若。虫=(3,0),。芯=。2),加=(3,2),民厂分别是0旦即的中点，4£?)N分别与。。交于几丁两

点.

⑴试求向量前的坐标，并求出当0=看时|必|的值；

⑵若/ETA为锐角，求sinO的取值范围；

⑶若E7与相交于点M,求证：四边形BEMF与OAPE的面积之比为定值.

44.如图所示，设ON,Oy是平面内相交成火OVJVTT)角的两条数轴，翦，苞分别是与/,