人教版高中数学必修第二册第11周单元检测【原卷+答案】

第11周单元检测（统计）

一、选择题:本题共8小题,每小题5分.共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.（2024江苏苏州高一期末）某科研单位对ChatGPT的使用情况进行满意度调查，在一批

用户的有效问卷（用户打分在50分到100分之间的问卷）中随机抽取了100份，按分数分

成5组:[50,60）,[60,70）,…,[90,100],得到如图所示的频率分布直方图，估计这批用户问卷

的得分的第75百分位数为（）

A.78.5B.82.5

C.85D.87.5

2.某企业六月中旬生产4员C三种产品共300（）件，根据分层随机抽样的结果，企业统计

员制作了如下的统计表格：

产品类别ABC

产品数量/件1300

样本量130a

由于不小心，在表格中A,C产品的有关数据已被污染看不清楚，统计员只记得A产品的样

本量比。产品的样本量多10,请你根据以上信息确定表格中。的值是（）

A.70B.80

C.90D.100

3.某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位:小时），制成了如图所示的频率分布直

方图，其中自习时间的范围是[17.5,30],样本数据分组为

[17520）,[20,225）,[22525）,[25,275）,[27.5,30].根据频率直方图，这200名学生中每周的

自习时间不少于22.5小时的人数是（）

A.56B.60

C.120D.140

4.（2024海南高一期末）从两个班级各随机抽取5名学生测量身高（单位:cm）,甲班的数据

为169,162,150,160,159,乙班的数据为180,160,150,150,165.据此估计甲、乙两班学生的

平均身高^甲1乙及方差的关系为（）

A5甲>五乙，s*>s：B.元甲>元乙,s帝Vs；

C&甲V三乙，s*>s；D.元甲〈土乙用Vs：

5.2023年考研成绩公布不久，对某校“软件工程”专业参考的200名考生的成绩进行统计,

可以得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为

[340,360),[360,380),[380,400),[400,420],同一组中的数据用该组区间的中间值作代表值，

则下列说法中不正确的是(

A.这200名学生成绩的众数为370分

民这200名学生成绩的平均分为377分

C.这200名学生成绩的样本数据的第70百分位数为386

D.这20()名学生成绩在[4(X),420]中的学生有3()人

6.(2024浙江宁波高一期末)在如图所示的两种分布形态中()

Q)

A.(l)中的中位数大于平均数

B.(l)中的众数大于平均数

C.(2)中的众数小手中位数

D.（2）中的平均数小于中位数

7.（2024陕西渭南高三二模）在测量某物理量的过程中,因仪器和观察的误差，使得〃次测

量分别得到加，也…用共〃个数据.我们规定所测量物理量的“最佳近似值％应该满足与

所有测量数据的差的平方和最小.由此规定，从这些数据得出的“最佳近似值为应是

（）

8.样本（犬1/2,…m）的平均数为匕样本（V1J2,…,y加）的平均数为歹（元H9）,若样本

（XIJ2,…K“J1J2,…，加）的平均数为2=4元+（1-4）歹，其中0<4<：,则〃，机的大小关系为（）

A.n<mB.n>m

C.n=mD.不能确定

二、选择题:本题共3小题,每小题6分洪18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题

目要求，全部选对的得6分,部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.某健身房为了解运动健身减肥的效果,调查了2（）名肥胖者健身前（如图1所示）和健身

后（如图2所示）的体重（单位:kg）变化情况.

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0

图2

对比数据,关于这20名肥胖者，下面结论正确的是（）

A.他们健身后，体重在区间［90,100）内的人数较健身前增加了2人

B.他们健身后,体重原在区间［100/10）内的人员一定无变化

C.他们健身后,20人的平均体重大约减少了8kg

D.他们健身后，原来体重在区间［110,120］内的肥胖者体重基本都有减少

10.（2024甘肃兰州高三开学考试）某省2024年美术联考约有500（）名学生参加，现从考试

的科目素描（满分100分）中随机抽取了500名考生的考试成绩，记录他们的分数后，将数

据分成7组:［20,30）,［30,40）,…,［80,90］,并整理得到如图所示的频率分布直方图，则下列说

法错误的是（）

A.由频率分布直方图可知，全省考生的该科目分数均不高于90分

B.用样本估计总体，全省该科目分数小于70分的考生约为3000人

C.若样本中分数小于40的考生有30人,则可估计总体中分数在区间［40,50）内约200人

D.用样本估计总体,全省考生该科目分数的第80百分位数为80分

11.若数据…RO的平均数为2,方差为3,则（）

A.数据3巾+2,3工2+2「・,3刈）+2的平均数为20

10

B.E%=2（）

i=l

C.数据3X1+2,3x2+2,…,3幻0+2的标准差为373

10

D.£xf=70

i=l

三、填空题:本题共3小题,每小题5分洪15分.

12.（2024河南南阳高一期末）最近某区域举办了“教师大比武”活动，其中评委分为专家评

委（10人）和大众评委（40人）两组.某位青年教师参加比赛的得分情况如下:专家评委组的

平均分为9分,方差为0.02;大众评委组的平均分为8.5分,方差为0.02.则该教师本次比

赛得分的方差是.

13.已知有8个样本数据分别为4,7,811,13,15,2（）,22,则估计该组数据的总体的第75百分

位数为

14.(2024广东中山高一期末)记一组数据才4,…用的平均数为1.6,方差为1.44,则数据

好，据,…,%W的平均数为.

四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(13分)对甲、乙两名同学的学习成绩进行抽样分析，各抽5门功课，得到的观测值如

下：

甲6080709070

乙80607()8()75

(1)甲、乙的平均成绩谁较好?

(2)谁的各门功课发展较平衡?

16.(15分)某学校为了解高三学生的联考情况，随机抽取了100名学生的联考数学成绩作

为样本并按照分数段[50,70),[70,90),[90,110),[110,130)口30,150]分组，绘制了如图所示的

频率分布直方图.

频率/组距

0.016

0.014

0.013

507090110130150成绩/分

(1)求出图中。的值并估计本次考试及格率(“及格率”指得分为90分及以上的学生所占

比例)；

⑵估计该校学生联考数学成绩的第8()百分位数；

(3)估计该校学生联考数学成绩的众数、平均数.

17.(15分)为了解学生参加体育活动的情况，学校对学生进行随机抽样调查，其中一个问

题是“你平均每天参加体育活动的时间是多少?”，共有4个选项:A.1.5小时以上乃.1〜1.5

小时,C0.5~l小时,。.().5小时以下.图①②是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图,

请你根据统计图提供的信息，解答以下问题：

(1)本次一共调查了多少名学生？

(2)在图①中将B对应的部分补充完整.

(3)若该校有3000名学生，估计全校有多少名学生平均每天参加体育活动的时间在0.5

小时以下.

18.(17分)(2024安徽黄山高一期末)为进一步推动防范电信网络诈骗工作,预防和减少电

信网络诈骗案件的发生，某市开展防骗知识大宣传活动.举办了“网络防骗''知识竞赛，从

所有答卷中随机抽取100份作为样本,将样本的成绩(满分100分，成绩均为不低于40分

的整数)分成六组:[40,50),[50,60),…,[90,100]得到如图所示的频率分布直方图.

(1)求图中。的值,根据频率分布直方图计算样本成绩的平均数和第25百分位数；

(2)已知若总体划分为2层、通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本

方差分别为加元sf;七歹,s*记总的样本平均数为矶样本方差为P

证明:小二总后｛"心工+(土—万沟+九度+(7—CO)21!；

⑶已知落在[50,60)的平均成绩是59,方差是7,落在[60,70)的平均成绩为65,方差是4,求

两组样本成绩的总平均数，和总方差

19.(17分)某工厂生产了10000件产品，为了解这批产品的质量情况,从中随机抽取100

件作为样本，测出它们的某一项质量指数按数据分成

[10,⑵,(12,14],(14,16],(16,网,(18,20],(20,22],(22,24]7组，得到如图所示的频率分布直方

图.已知当该产品的质量指数在(16,18]内时，该产品为一等品，每件可获利12元;当该产品

的质量指数在（14,16］或（18,20］内时，该产品为二等品，每件可获利10元;当该产品的质量

指数在（12,14］或（20,22］内时，该产品为合格品，每件可获利8元;当该产品的质量指数在

［10,12］或（22,24］内时，该产品为不合格品，每件亏损6元.

(1)估计该工厂生产的这批产品中不合格品的数量；

⑵估计这批产品的总利润.

答案：

1.B因为(0.01+0.025+0.035)x10=0.7<0.75,

(0.01+0.025+0.035+0.02)x10=0.9>0.75,

所以第75百分位数位于[80,90),设为乂

则(0.01+0.025+0.035)X10+0.02(x-80)=0.75,

解得x=82.5.

2.B设样本的总量为尤则上"X1300=130,.・・/=300.

3000

・,・A产品和。产品在样本中共有300-130=170(件).

由表格知,C产品的样本量为。，则4+4+10=170,

・・・。=8().故选B.

3.D自习时间不少于22.5小时为后三组，其频率和为(0.16+0.08+0.04)x2.5=0.7,故人数

为200x0.7=140.故选D.

—169+162+150+160+159,〃八一180+160+150+150+165…

4.D%甲=---------------=160,%/=------------------------------=161,

S*=-[(]69-160)2+(162-160)2+(10-|60)2+(160-160)2+(159-160)2]=37.2,

'F55

S；=i[(180-161)2+(I6()-161)2+(150-161)2+(150-161)2+(165-161)2]=124,

乙5

所以三甲<元乙,S冷<S；.

5.C显然众数是370,故A正确;

平均分为0.01X20X350+0.02X20X370+0.0125x20x390+0.0075x20x410=377,故B正

确；

设第70百分位数为风则0.01x20+0.02x20+(力380)x0.0125=。7,得*388,故C错误;

0.0075x20x200=30,故D工确.

故选C.

6.D众数是最高的矩形的中点横坐标，因此(1)中的众数在第二列矩形的中点处，

⑴中数据在第二、三列的较多，且右侧拖尾，所以平均数大于中位数，即在(1)中，众数〈中

位数〈平均数；

同理在(2)中,平均数v中位数〈众数.

7.A令人〃)=(4-加)2+(。-工2产+…+(〃-犬〃>=〃〃2_2(x［+x2+…+X〃)〃+(*+…+解)，由于〃>(),所

n

yx.

以共公是关于a的二次函数,因此当以小+必："+”即『千时人〃)取得最小值.

8.A

XI+X2+…+Xn=nx,y\+>2+…9/I+X2+…+x〃+y1+V2+…+)'〃］=(/〃+H)Z=(/??+??)［d%+(l-

4)训=(〃2+〃)4元+(〃?+〃)(1/)歹,所以nx+my=(m+n)dx+(m+n)(］-a)歹，所以

{:—a)故•因为所以所以n-

〃z<0,即n<m.

9.AD体重在区间［90,100)内的肥胖者由健身前的6人增加到健身后的8人,增加了2

人，故A正确;他们健身后，体重在区间［100,110)内的百分比没有变，但人员组成可能改变，

故B错误;他们健身后,20人的平均体重大约减少了(0.3乂95+0.5乂105+0.2乂115)-

(0.1x85+0.4x95+0.5xl05)=5(kg),&C错误;因为图2中没有体重在区间［110,120］内的

人员,所以原来体重在区间［110,120］内的肥胖者体重基本都有减少，故D正确.

10.AB由题意可知，在500个样本中，该科目分数是均不高于90分，样本可以用夫估计

总体，但不能代替总体,在其余4500名考生中，该科目分数中可能有高于90分的,故选项

A错误；

在样本中，分数不低于70分的频率为(0.04+0.02)x10=0.6,则样本中分数小于70分的频

率为0.4,若用样本估计总体，则全省该科目分数小于70分的考生约为5000x0.4=2000

人,故选项B错误；

在样本中，成绩低于50分的频率为1-(0.04+2x0.02+0.01)x10=0.1,当样本中分数小于40

的考生有30人时，其频率为*=0.06,则分数在区间［40,50)内的频率为0.04,用样区估计

总体，则全省考生中分数在区间［40,50)内约有5000xQ.04=200人,故选项C正确;

因为第七组的频率为0.02x10=0.2,所以用样本估计总体，全省考生该项科目分数的第80

百分位数为80分，故D正确.

11.BCD因为数据xg,・・・,xio的平均数为2,所以薮据3用+2,3x2+2,…,3加o+2的平均数

10

为3x2+2=8,故选项A错误；Xx尸10x2=20,故选项B正确;数据3»+2,3也+2,…,3笛o+2

i=l

的方差为32x3=27,所以数据3川+2,3也+2,…,3xio+2的标准差为3次,故选项C正确;由

10

方差的计算公式可得,E*=10x3+10x22=70,故选项D正确.

i=l

12.0.06设本次比赛的总方差为s,易知总平均数为吧*2=8.6,由总方差公式得

S=赢。02+(9・8.6)2]+赢[0.02+(8.5-8.6)2]=0.06.

13.17.5

14.4因为xi,X2,…/〃的平均数为1.6,方差为1.44,

所以元=i(xi+X2+,,,+X/»)=1.6,

S2=-[(X|-X)2+(X2-X)2+…+(斯广制2]

n

(%I-2AIX+X2+X2-2XIX+±2+…十辞-2M沅+/)=1.44,

12

52=-[(%!+%2+***)-2%(Xl+X2+***+Xn)+llX]=1.44,

即《二；[(%£+蟾+…+麓)-反2]=1.44,

即/士江*-产=1.44、

n

所以产产=1.44+16=4,

所以数据必，若，…,形的平均数为4.

15.解(网=ix(60+80+70+9()+70)=74,

=1x(80+60+70+80+75)=73,

故甲的平均成绩较好.

(2吗=1X[(60-74)2+(80-74)2+(70-74)2+(90-74)2+(70-74)2]=104,

正,=ix[(8()-73)2+(60-73)2+(70-73)2+(80-73)2+(75-73)2]=56,

乙5

由sj>s，知乙的各门功课发展较平衡.

16.解⑴由(0.004+4+0.013+0.014+0.016)x20=1,得。=0.003,

则及格率为(0.016+0.014+0.003)x20=0.66=66%.

(2)得分在110分以下的学生所占比例为(0.004+0.013+0.016)x20=0.66,得分在130分以

下的学生所占比例为0.66+0.014x20=0.94,所以第80百分位数位于[110,130)内，由

1I0+20X悬黑二120,估计第80百分位数为120.

(3)由图可得,众数估计值为10().

平均数估计值为0.08x60+0.26x80+0.32x100+0.28x120+0.06x14()=99.6.

17.解(1)从题图中知，选A的共60人,占总人数的百分比为30%,所以总人数为

60930%=200,即本次一共调查了200名学生.

(2)在被调查的学生中，选B的人数为200-60-30-10=100,补充完整的条形统计图如图所

示.

(3)3000x5%=150,估计全校有150名学生平均每天参加体育活动的时间在0.5小时以

下.

18.(1)解由题意可知,(0.005+0.010+0.020+，+0.025+0.010)xl0=l,解得4=0.030;

平均数为(45x().()()5+55xO,Ol+65xO.02+75xO.03+85x().()25+95x().()1)x10=74,

前2组的频率和为(0.005+0.010)x10=0.15,

前3组的频率和为0.15十0,02x10=0.35,

所以第25百分位数在第3组，设为x,

则0.15+(x-60)x0.02=0.25,ffx=65.

所以第25百分位数为65.

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