人教八年级数学下册专项练习-二次根式性质与化简（练习）

二次根式性质与化简

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.

1.（二道区期末）将强化简后的结果是（）

A.2B.V2C.2V2D.4V2

2.（道里区期末）下列计算正确的是（）

A.V16=±4B.7（-2）2=-2C.D.V80=8^10

3.（卢龙县期末）实数5不能写成的形式是（）

A.V57B.J（-5/C.（V5）2D.-7^57

4.（乐亭县期末）若J（3—x）2=%-3成立,则满足的条件是（）

A.x>3B.x<3C.x>3D.x<3

5.（荔湾区月考）若J（3—x）2=x-3,则x的取值范围是（）

A.x>3B.x>3C.x<3D.烂3

6.实数a,b在数轴上对应点的位置如图所示，则化简必+后的结果为（）

〃・10b

A.b-aB.a+bC.abD.2a-b

7.（石鼓区校级月考）化简b口的结果是（）

A.VbB.-vbC.D.一口

8.（石鼓区校级月考）若J（x_5）2=5_%,则x的取值范围是（）

A.x=5B.%5C.烂5D.任意实数

9.（长清区月考）a、A在数地上的位置如图所示，那么化简|Q-b|-旧的结果是（）

boa

A.a-2bB.aC.-aD.-a+2b

10.（射洪市期中）把（2・x）区的根号外的（2・x）适当变形后移入根号内，得（）

yJx-2

A.—xB•yjx—2C•一，2-xD・_yJx—2

填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上

11.（绿园区期末）计算：-（遮）2=

12.（德惠市期末）使J（x_l）2=1-x成立的x的取值范围是

13.（虹口区二模）化简：j（l-V3）2=

14.（浦桥区校级月考）已知当1V〃V2时，代数式，（。-2）2-|〃-1|的值是

15.（自贡月考）如图，字母〃的取值如图所示，化简：\b-l|+Vb2-10b+25=

1111.

02b5

16.已知点P（〃?+2,8・〃z）在第四象限，化简依+2]—J（8—m）2的结果为

17.（静安区校级期中）化简V7花环（b>0）=.

18.（杨浦区校级期中）若以2:十]=1,那么x的取值范围是

l-3x-----------

三、解答题（本大题共6小题，共46分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

19.（漉河区校级期中）①计算底=（）,J5=（）,=（）.

②探索规律，对于任意的有理数。，都有后=（）.

③有理数。、b、c在数轴上对应点的位置如图所示，化简+-叱-J（a-b）2+

J(a-c)2.

cb0a

20.某同学在作业本上做了这样一道题：“当。=•时，试求（6）2+二五率I的值”.其

中，•是被墨水弄污的，该同学所求得的答案为最该同学的答案是否正确？请说明理由.

21.（三台县期中）实数eb在数轴上对应点A,8的位置如图，彳匕简|。+〃|_府_J（a_b）z.

BA

-----J-----1-।----►

b0a

22.（内江期末）某班数学兴趣小组在学习二次根式时进行了如下题目的探索研究：

（1）填空行=；后引=；

（2）观察第（1）题的计算结果回答：而一定等于

A.aB.-aC.\a\D.不确定

（3）根据（1）、（2）的计算结果进行分析总结的规律，计算：J（a-b）2®Vb）.

（4）请你参照数学兴趣小组的研究规律，化简：JS-2限.

23.（长岭县期末）观察下列各式：①广^=2£②口m=3③^1=心…

（1）请观察规律，并写出第④个等式：；

（2）请用含〃（/z>l）的式子写出你猜想的规律：；

（3）请证明（2）中的结论.

24.（芝呆区期中）阅读下列解题过程：

例：若代数式J（2-a）?+J（Q-4尸=2,求。的取值.

解：原式=|a-2|+|。-4|,

当〃V2时，原式=(2-«)+(4-«)=62a=2,解得a=2(舍去)；

当2S〃V4时，原式=(〃・2)+(4・〃)=2,等式恒成立；

当定4时，原式=(。・2)+Ca-4)=2。・6=2,解得。=4；

所以，a的取值范围是2<4i<4.

上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述理解，解答下列问题:

(1)当3%S7时，化简：J(3—a)2+-7尸=；

(2)请直接写出满足J(a-+J(a-6尸=5的。的取值范围；

(3)若J(a+1)2+J(a—3)2=6,求。的取值.

二次根式性质与化简（解析版）

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.

1.（二道区期末）将强化简后的结果是（）

A.2B.V2C.2V2D.472

【分析】直接根据一次根式的性质化简即可.

【解析】V8=V4x2=2鱼，

故选：C.

2.（道里区期末）下列计算E确的是（）

A.V16=±4B.J-=-2C.=jD.V80=8>/10

【分析】根据二次根式的性质，进行逐一化简即可判断.

【解析】40话=4,故A选项错误，不符合题意；

注上型="=2,故3选项错误，不符合题意；

C.J|==（,故C选项正确，符合题意；

D.V80=4县,故。选项错误，不符合题意.

故选：C.

3.（卢龙县期末）实数5不能写成的形式是（）

A.5B.J（-57C.（V5）2D.-J（_5）2

【分析】根据二次根式的性质计算，判断即可.

【解析】A、归=5,

B、:5,

C、（V5）2=5,

D、-V（-S）2=-5,

故选：D.

4.（乐亭县期末）若J（3—x）2=x-3成立,则满足的条件是（）

A.x>3B.x<3C.x>3D.烂3

【分析】直接利用二次根式的性质分析得出答案.

【解析】,**J（3-x）2=x-3成立，

••x-3>0,

解得:x>3.

故选：C.

5.（荔湾区月考）若J（3—x）2=犬-3,则/的取值范围是（）

A.x>3B.x>3C.x<3D.x<3

【分析】根据二次根式的性质得出x的取值范围即可.

【解析】因为，（3—x）2=x—3,

所以X・320,

解得：x>3,

故选：B.

6.（江岸区校级月考）实数小b在数轴上对应点的位置如图所示，则化简必+"的结果

为（）

---------------------►

。・10b

A.h-aB.a+bC.ahD.2a-b

【分析】先利用数轴表示数的方法得到〃V-1力>0,再利用二次根式的性质得原式=同十|州

然后去绝对值即可.

【解析】由数轴得-1,/?>0,

所以原式=同+|。|

=-a+b.

故选：4.

7.（石鼓区校级月考）化简匕R的结果是（）

A.VbB.-历C.D.一口

【分析】根据二次根式有意义的条件-：K）,可得〃<0,再根据二次根式的性质b=-府，

b

即可得到bR7b即可得出答案.

【解析】・・・一：>0,

n

bR=邛2x（一｝=­Q

故选：D.

8.（石鼓区校级月考）若J0_5）2=5_x,则1的取值范围是（）

A.x=5B.%5C.烂5D.任意实数

【分析】由二次根式的性质可得，J（%—5）2=|X_5|,再根据绝对值的意义即可得出答

案.

【解析】由J（x-5）2=|x-5|,

当x-5<0时，仅-5|=5-x,

所以x的取值范围为：烂5.

故选：C.

9.（长清区月考）a、人在数地上的位置如图所示，那么化简|a-例-府的结果是（）

-i―匕-

A.a-lbB.aC.-aD.-a+2b

【分析】根据。、b在数轴上的位置可知，。>0,Z?<0,可得a-Z?>0,=\b\=—b,

代入即可求出答案.

【解析】由题意可知，。>0,b<0,

所以〃-匕>0,g=网=-b,

原式=（a・b）-（-/?）=a-b+b=a.

故选：B.

10.（射洪市期中）把（2-x）区的根号外的（2-x）适当变形后移入根号内，得（）

x-2

A.A/2—xB.yjx—2C.-V2—xD.-y/x—2

【分析】根据二次根式有意义的条件可以得到2-xVO,根号外的（2-x）提出负号后移

入根号内即可.

【解析】（2・X）=-（X-2）=_J（X_2）2X£=—y/x—2,

故选：D.

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上

11.（绿园区期末）计算：-（V5）2=-5

【分析】根据二次根式的性质求出即可.

【解析】-（店）2=-5,

故答案为：-5.

12.（德惠市期末）使-1尸=1-X成立的x的取值范围是」

【分析】根据必二|4|得到-1）2=卜-1|,则有|工-1|=1-X,根据绝对值的意义即可

得到X的取值范围.

（解析［J（x-1）2=\x-1|,

：.\x-1|=1-X,

Ax-1<0,即x<\.

故答案为后1.

13.（虹口区二模）化简：J（l-V3）2=_V3-1_.

【分析】根据二次根式的性质，算术平方根的值必须是正数，所以开方所得结果是

然后再去绝对值.

【解析】因为V5>1,

所以J（1一遮）2=遍一1

故答案为：V3—1.

14.（潮桥区校级月考）已知当1V〃V2时，代数式，①一2）2一|〃-1|的值是-2a+3.

【分析】利用二次根式的性质得到原式1=1。-2|-I4-1|,再利用。的范围去绝对值，然后

去括号合并即可.

【解析】Vl<6/<2,

・•・J（a_2.一|〃-l|=|a-2|-|〃-1|

=-（67-2）-（6/-1）

=-a+2-a+\

=-2a+3.

故答案为-2〃十3.

15.（自贡月考）如图，字母匕的取值如图所示，化简：\b-l|+Vb"-10h+25=4.

1111.

02b5

【分析】先利用数轴表示数的方法得到2V〃V5,再利用二次根式的性质得原式=口・1|十救

-5|,然后去绝对值后合并即可.

【解析】由数轴得2V8V5,

所以原式=|A-（匕-5产

=\h-5|

—b-1+5-b

=4.

故答案为4.

16.（沙坪坝区校级月考）已知点P3n+2,8。在第四象限，化简|〃汁2|—，（8—星）2的结

果为10•

【分析】根据题意可求出.，〃的范围，然后根据绝对值以及二次根式的性质即可求出答案.

【解析】由题意可知：『+2>。，

（8-m<0

・、原式=〃?+2-|8-m\

=〃z+2+8-m

=10,

故答案为：10.

17.（静安区校级期中）化简V7而访">0）=.

【分析】根据二次根式的性质，进行化简即可.

（解析】由"5a汕（力>0）可得应。

所以夜5苏b=V52x3xa2xaxb=5cN3ab,

故答案为：5a>/3^b.

18.（杨浦区校级期中）若1,那么x的取值范围是A-<1.

®l:-3一x-冲-:3一

【分析】先根据二次根式的性质进行计算，再得出关于X的不等式，最后求出不等式的解

集即可.

2

r1・・Vox-6x+l|3X-1|1

【解析］.F^=K=1'

：.\3x-1|=1-3x,

A1-3x>0,

解得：

故答案为：x<l，

A

三、解答题（本大题共6小题，共46分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

19.（渡河区校级期中）①计算停=（2）,（_二），/三及二（2）.

②探索规律，对于任意的有理数小都有必=（H）.

③有理数4、。、C•在数轴上对应点的位置如图所示，化简信+归一必一J（a-b）2+

J（a-C）2.

----1—J----1----------1----->

cb0a

【分析】①②直接由二次根式的化简法则计算即可.③由数轴可得：c<b<O<a,再根据

二次根式的化简法则计算即可.

【解析】①停=2,肾=5

故答案为：2,p2.

②=\a\.

故答案为：\a\.

③由数轴可得：cVYOVa,

—Vc^——b）2+J（a—c）2

=a-h+c-（a-h}+a-e

=a-b+c-a+b+a-c

=a.

20.（瑶海区期中）某同学在作业本上做了这样一道题：“当4=•时，试求（迎）2+yJa2-2a+l

的值其中，•是被墨水弄污的，该同学所求得的答案为（该同学的答案是否正确？请

说明理由.

【分析】根据二次根式的性质进行化简并分类讨论即可.

【解析】该同学的答案不正确.理由如下：

V(4a)2+yja2—2a+1=\a\+\a-1|,

①当定1时，原式=。+。-1=2。・1N1；

②当OSaVl时，原式=。・。+1=1；

・••在满足条件的范围内，无论。取何值，原式都是大于等于1的，不可能为也

.•.该同学的答案不正确.

21.(三台县期中)实数a,b在数轴上对应点A,B的位置如图，化简|。+例-府-d(a-by.

BA

----------1---------1-।--------->

bOa

【分析】根据数轴得出b<O<a,依>|〃|,再根据二次根式的性质和绝对值进行计算，最

后合并同类项即可.

【解析】,・•从数轴可知：b<O<a,附>同，

/.a+b<Ofci-/?>O,

：.\a+h\-^-J(a—b)2

=-Ca+b)-\h\-\a-h\

=-a-b+b-(a-b)

~-a-b+b-a+b

=-2a+b.

22.(内江期末)某班数学兴趣小组在学习二次根式时进行了如下题目的探索研究：

(1)填空行=3；5(-5)2=5；

(2)观察第(1)题的计算结果回答：曲一定等于C

A.aR.-aC.同D.不确定

(3)根据(1)、(2)的计算结果进行分析总结的规律，计算：J(a-b)2(a。).

(4)请你参照数学兴趣小组的研究规律，化简：V5-2V6.

【分析】(1)依据被开方数即可计算得到结果；

(2)观察计算结果不一定等于m应根据〃的值来确定答案；

(3)原式利用得出规律计算即可得到结果.

(4)直接利用完全平方公式，变形化简即可.

【解析】（1）存=3,=V25=5;

故答案为：3,5.

（2）Va2不一定等于〃，也不一定等于-〃，Va2=\a\,

故答案为：C.

（3）•:a<b,

：.a-b<0,

：・d（a—b）2=b—a.

（4）V5-2V6=V3-2V6+2

=j（V3）2—2遍+（或/

=J（g一回

=V3—V2.

23.（长岭县期末）观察下列各式：①J1+；2卡,②J2+；=3#③（3+g=4

（1）请观察规律，并写出第④个等式：一口

（2）请用含〃（//>1）的式子写出你猜想的规律：Ju+±=（〃+l）忌；

（3）请证明（2）中的结论.

【分析】（1）认真观察题中所给的式子，得出其规律并根据规律写出第④个等式；

（2）根据规律写出含〃的式子即可；