北师大九年级数学下册-垂径定理 同步练习

第三章圆

第三节垂径定理

基础过关全练

知识点1垂径定理

1.如图，0c是0。的直径，弦力于凡连接8C,DB,则下列结论不一定正确的是

（）

A.AD=BDB.AF=BFC.OF=CFD.AC=BC

2.（2022云南中考）如图，已知力3是OO的直径，C。是0。的弦，ABLCD,垂足为£若

48=26,CD=24,则NOCE的余弦值为（）

712713

A-UB&C-D-

3.（2022黑龙江鸡西中考）如图，在0。中，弦力8垂直平分半径。C,垂足为。，若00的半

径为2,则弦48的长为.

［变式1］（2022上海中考）如图1,小区内有个圆形花坛，。为圆心，点。在弦48上，AC=llf

8c=21,OC=13,则这个花坛的面积为_______.（结果保留花）

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［变式2］如图2,。。的半杼为5,弦相=X,点历是弦相上的动点，则线段的长度的

取值范围为.

［变式3］0。的直径8=10,是0。的弦，ABLCD,垂足为若OM：OC=3：5,则

4。的长为.

4.（2021山东东营广饶期中）如图，已知在以点。为圆心的两个同心圆中，大圆的弦48交小

圆于点C、D.

(1)求证：.40=84

⑵若大圆的半径为8,小圆的半径为6,且圆心O到直线48的距离为4,求4。的长.

知识点2垂径定理的推论

5.下列说法：①平分弧的直径垂直平分弧所对的弦；②平分弦的直径平分弦所对的弧；③垂

直于弦的直线必过圆心；④垂直于弦的直径平分弦所对的弧.其中正确的是（）

A.②③B.①③C.②④D.①®

6.（2022辽宁大连普兰店期末）如图，OO的半径为5,。是弦45的中点，003,则45的长

是（）

7.（2021贵州黔东南州中考）小明很喜欢钻研问题，一次数学杨老师拿来一个残缺的圆形瓦片

（如图所示），让小明求瓦片所在圆的半径，小明连接瓦片弧线两端力8,量得弧48的中心。

至U/B的距离CO=L6cm,4B=6.4cm,很快求得圆形瓦片所在圆的半径为cm.

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能力提升全练

8.（2022湖北宜昌中考）石拱桥是我国古代人民勤劳和智慧的结晶，隋代建造的赵州桥距今约

有1400多年历史，是我国古代石拱桥的代表.如图是根据某石拱桥的实物图画出的几何图形,

桥的主桥拱是圆弧形，表示为藤・桥的跨度（弧所对的弦长）48=26m,设两所在圆的圆心为

O,半径OCA.AB,垂足为。拱高（弧的中点到弦的距离）CZ>5m.连接OB.

⑴直接判断AD与BD的数量关系；

⑵求这座石拱桥主桥拱的半径（精确到1m）.

9.（2022江苏东台月考）已知。。的直径为10,AB、是两条平行的弦，且45=6,。。=8,

求44、C。之间的距离.

［变式］一下水管道横截面为圆形，直径为100cm,下雨前水面宽为60cm,一场大雨过后，

水面宽为80cm,则水面上升了.

素养探究全练

10.某广场内欲建造一个如图所示的圆形大花坛，并在大花坛内的必点处建一个亭子，再经

过亭子修一条笔直的小路（小路的两端均在圆上）.

⑴如何设计小路才能使亭子必位于小路的中点处?在图中画出表示小路的线段.

（2）若大花坛的直径为30米，花坛中心。到亭子M的距离为10米，则（1）中设计的小路有多

长?（结果保留根号）

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第三章圆

第三节垂径定理

答案全解全析

基础过关全练

1.C・・・。。是。。的直径，弦48_LC。，

・••点。是诉的中点，点。是丽的中点，且上BF,

故选项A、B、D中的结论一定正确；无法证明故选C.

2.B・.・43是。。的直径，AB±CDf;・CE=DEJCD=12,・・1B=26,

CE12一,

・・・・・；.故选

OC=13..COSNOCEFOC=713B.

3.2V3

解析连接0%（图略），由43垂直平分。C,得。D』OC=1,。为43的中点，则

AB=2AD=2ylo/^-0D2=2V22-I2=20.

[变式l]400n

解析如图，连接OB,过点。作于Q,9：OD±AB,OQ过圆心，力3是弦，

111

4）=8。7AB=3（ZC+8C）G<a1+21）=16,；・CD=BC-BD=2l-T6=5,

在RtACOD中，OD2=OC-CD2=132-52=144,

在RtABOZ）中，OBi=OD，BD?=144+256=400,

・•・这个花坛的面积为兀xO82=400兀，故答案为400兀

[变式2]3WOMS5

解析当"与4（3）重合时，OW的值最大，为5；当OM垂直于45时，OW的值最小.

当时，如图，连接04

'COMYAB,：.AM=~AB=4f在RtA40W中，根据勾股定埋得OMih之-4?=3.

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A3<au<5.

[变式3]4逐或2逐

解析①如图1,连接04,•/0M：0C=3：5,・••设0C=5x,0M=3xfWJDM=2xf:

CZ>10,・\0M=3,0A=0C=5f'：ABVCD,

：.AM=y/(JA2-OM2=V52-32=4,丁CM=OC+OM=5+3=8,

在RtA/4CM中，AC=VAM2+CM2=V42+82=4石；

②如图2,由①知4A1=4,CM=OC-OM=5-3=2f

在RtA/iCM中,AC=y/AM2+MC2=V42+22=2y/5.

综上所述，4c的长为4b或2逐.

I)1)

4.解析（1）证明：如图，作于七,

则CE=DE,

故AE-CE=BE-DE,B|JAC=BD.

（2）如图,连接。C,OA,

由题意可得。/=8,。。=6,0E=4,

JC^VOC2-OE2=<62-42=2V5,J£：=VOA2-OE2=V82-42=473,；・心4E-

CE=46-2A/S.

5.D平分弦（不是直径）的直径平分弦所对的弧，故②错误；垂直于弦且平分弦的直线必过圆

心，故③错误.①④正确.故选D.

6.B是OO的弦，点C是48的中点，:・AB=2BC,OCVAB,

在RtZXBOC中，*：OB=5,OC=3,/.5C=VoB2-OC2=752-32=4,

・・・43=25C=2x4=8.故选B.

7.4

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解析・.,C点是无§的中点，过圆心，

・・・4O=3Z>|AB=；x6.4=3.2(cm),设圆心为0,连接04,0D,

如图，易知。、D、C三点共线，

C

X

设OO的半径为Rem,

则(?£>=(/?-1.6)cm,

在RSONO中，(R-1.6)2+3.22=R2,解得衣=4,

・•・圆形瓦片所在圆的半径为4cm.故答案为4.

能力提升全练

8.解析⑴TOC：.AD=BD.

(2)设主桥拱半径为Rm,由题意可知/8=26m,CD=5m,

222222

：.BD^AB=\3m,0D=0C-CD=(R-5)m,VZODB=90°t：.OD+BD=OB,A(/?-5)+13=/?,

解得/?=19.4^19,

,这座石拱桥主桥拱的半径约为19m.

9.解析・・・。0的直径为10,・・・。。的半径为5,分为两种情况：①如图1,过。作。少，

于F,交CD于E,连接OC、OA,•:AB〃CD,：.OE±CDfVAB=6,CD=8,/.

11

CE=EDfCD=4,4F=BF=#B=3,

在RtZXOCE中，0C=5,CE=4,：.OE=yJ()C2-CE2=V52-42=3,

在RCON/7中，04=5,AF=3,：.C?F=VOA2-AF2=\52-32=4,

：.EF=OF-OE=4-3=\,

即两条平行弦44与CO之间的距离是1：

②如图2,由①知两条平行弦力8与CO之间的距离是3+4=7.

综上所述，两条平行弦力3与C。之间的距离是1或7.

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［变式JOcm或70cm

解析如图，48为下雨前