人教版八年级数学下册 第23章 第4节《实际问题与一次函数（七大题型）》题型突破

23.4实际问题与一次函数题型突破2025-2026学年

人教版八年级下册（七大题型）

题型一：根据实际问题列出一次函数表达式

1.百货大楼进了一批花布，出售时要在进价（进货价格）的基础上加一定的利润，其长度X

与售价），如下表，下列用长度X表示售价y的关系式中，正确的是（）

长度Wm1234-

售价W元8+0.316+0.624+0.932+1.2•••

A.J=8A+0.3B.y=（8+0.3）x

C.,y=8+0.3xD.y=8+0.3+工

2.平行四边形的周长为240,两邻边长为x、y,则），与x之间的关系是（）

A.y=120-A（0<A<120）B.120-*（0近）W120）

C.），=240-x（0<X<240）D.y=240-x（（XW240）

3.某小汽车的油箱可装汽油3（）升，原有汽油10升，现再加汽油x升.如果每升汽油7.6元，

求油箱内汽油的总价y（元）与x（升）之间的函数关系是（）

A.），=7.6x（0WxW20）B.y=7.6x+76（0WxW20）

C.7.6A+I0（0WxW20）D.y=1.6x+16（10WxW30）

4.汽车由北京驶往相距120千米的天津，它的平均速度是30千米/时，则汽车距天津的路程

S（千米）与行驶时间！（时）的函数关系及自变量的取值范围是（）

A.5=120-30/（0W/W4）B.S=30/（0W/W4）

C.5=120-30/（/>0）D.5=30/（/=4）

5.声音在常温空气中的传播速度是340〃加，则传播距离I（〃?）与传播时间t（5）之间的函

数表达式为.

题型二：行程问题

1.甲、乙两运动员在宜线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步560米，先到终点的运动

员原地休息.已知甲先出发1秒，两运动员之间的距离y（米）与乙出发的时间文（秒）

之间的关系如图所示.给出以下结论：①。=7；②b=63；③c=8（）.其中正确的是（）

c.®@D.@@

2.甲、乙两人分别从笔直道路上的A、B两地出发相向匀速而行，已知甲比乙先出发6分钟,

两人在C地相遇，相遇后甲立即按原速原路返回A地，乙继续向A地前行，约定先到A

地者停止运动就地休息.若甲、乙两人相距的路程y（米）与甲行走的时间x（分钟）之

间的关系如图所示，有下列说法：①甲的速度是6（）米/分钟，乙的速度是80米/分钟；②

甲出发30分钟时，两人在。地相遇；③乙到达A地时，甲与人地相距450米，其中正

C.2个D.3个

3.甲、乙两车分别从4,B两地同时相向匀速行驶，当乙车到达A地后，继续保持原速向远

离B的方向行驶，而甲车到达B地后立即掉头，并保持原速与乙车同向行驶，经过12

小时后两车同时到达距A地300千米的C地（中途为息时间忽略不计）.设两车行驶的

时间为x（小时），两车之间的距离为），（千米），丁与x之间的函数关系如图所示，则当

乙车到达人地时，甲车距八地千米.

4.如图，甲骑自行车与乙骑摩托车沿相同路线由A地到B地行驶，两地之间的路程是60km,

请根据图象解决下列问题：

⑴分别求出甲行驶的路程九(km)、乙行驶的路程力(km)与甲行驶的时间》(九)之间的函数

表达式；

⑵若甲、乙都行驶且甲与乙相距的路程为12km,求x的值.

5.一条公路旁边依次有A,B,C三地，甲、乙两人同时分别从A地、B地骑自行车前往C

地，他们距C地的路程S(km)与行驶时间，(/?)之间的函数关系如图所示，请根据图像

提供的信息解答下列问题:

(1)4,B两地相距千米，A,C两地相距千米；

⑵分别求出甲、乙两人距。地的路程S与行驶时间/之间的函数关系式;

⑶甲、乙两人谁先到达C地，此时另一人距。地的路程还有多少？

题型三：水费与电费问题

1.某地为了鼓励市民节约用水，采取阶梯分段收费标准，共分三个梯段，0〜15吨为基本

段，15〜22吨为极限段，超过22吨为较高收费段，且规定每月用水超过22吨时，超过

的部分每吨4元，居民每月应交水费y（元）是用水量吨）的函数，其图象如图所示.

（1）基本段每吨水费2元；

（2）若某用户该月用水20吨，应交水费为46元；

（3）y与工的函数解析式：y=2x：

（4）若某月一用户交水费48元，则该用户用水21吨，

其中正确的个数为（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

2.为了加强公民节水意识，某市制定了如下用水收费标准：每户每月用水不超过10吨，水

价为每顿L2元；超过1C顿时，超过部分按每顿1.8元收费.该市某户居民5月份用水x吨

（x>10）,应交水费y元，则y关于x的关系式.

3.某城市为了节约用水，采用分段收费标准，若某户居民每月应交水费y（元）与用水量4

（吨）之间关系的图像如图所示，根据图形回答：

⑴该市自来水收费时，每户使用不超过5吨时，每吨收费元；超过5吨时，每吨收

费元；

⑵求该户居民每月应交水费y（元）与用水量x（吨）之间的关系式;

⑶若某户居民某月交水费17元该户居民用水多少吨？

4.世界水日为每年的3月22日，宗旨是唤起公众的节人意识，加强水资源保护.某市节约

用水，采取阶梯分段收费标准，已知用户每月用水量不超过15吨时，水费为。元/吨，每月

应交水费N元）与用水量吨）之间的函数关系如图所示.

⑵当用水量x超过15吨时，求y与x之间的函数表达式；

⑶若某用户3月份交水费45元，求该用户3月份的用水量.

5.电力公司为鼓励市民节约用电，采取按月用电量分段收费办法.若某户居民每月应交电

费y（元）与用电量工（度）的函数图像是一条折线（如图所示），根据图像解下列问题：

（1）请你根据图像所描述的信息，分别求出当0WxW100和100时，y与％的函数关系

式.

（2）利用函数关系式，说明电力公司采取的收费标准.

（3）若该用户某月用电62度，则应缴费多少元？若该用户某月缴费111元时，则该用户这

月用了多少度电？

题型四：利润问题

1.如图是本地区一种产品3（）天的销售图象，图①是产品日销售量y（单位：件）与时间r

（单位：天）的函数关系，图②是一件产品的销售利润z（单位：元）与时间，（单位：天）

的函数关系，已知日销售利润=日销售量x一件产品的销售利润.下列结论错误的是（）

图①图②

A.第24天的日销售量为200件B.第12天的日销售利润是1950元

C.第30天的日销售利润是5元1）.第10天销售一件产品的利润是15元

2.某玩具商店计划购进“汽车”玩具模型和“飞机〃玩具模型，同样花费320元，“汽车〃模型的

数量比“飞机”模型多4个且每个“汽车〃模型成本比每个“飞机〃模型成本少20%.

（1）“汽车”和“飞机”模型的成本各多少元？

⑵该航模店计划购买两种模型共100个，且每个"飞机〃模型的售价为35元，“汽车”模型的售

价为25元.设购买“飞机”模型a个，售卖这两种模型可获得的利润为w元，

①求w与Q的函数关系式（不要求写出a的取值范围）；

②若购进“飞机〃模型的数量不超过“汽车”模型数量的一半，则购进"飞机”模型多少个时，销

售这批模型可以获得最大利润？最大利润是多少？

3.5G时代的到来，给人类生活带来很多的改变.某营业厅现有力、8两种型号的5G手机,

进价和售价如表所示：

进价（元/部）售价（元/部）

A30003400

B35004000

⑴若该营业厅卖出70台八型号手机，30台8型号手机，可获利元；

⑵若该营业厅购进A、6两种型号手机共30台，其中8型号手机的数量不多于A型号手机

数量的2倍，请设计一个购买方案：营业厅购进两种型号的手机各多少台时获得最大利润,

求最大利润是多少？

4.猫猴嬉戏是王屋山景区的一大特色，物;猴玩偶非常畅销.小李在某网点选中A,4两款秘

猴玩偶，决定从该网点进货并销售，两款玩偶的进货价和销伐价如下表：

类别

A款玩偶8款玩偶

价格

进货价（元/个）4030

销售价（元/个）5645

⑴第一次小李用1100元购进了A,B两款玩偶共30个，求两款玩偶分别购进多少个.

（2）第二次小李进货时，计划购进两款玩偶共30个.若设小李购进A款玩偶小个，这也玩偶

全部卖完所获得的利润为卬元.

①请用含机的代数式表示W：

②若网点规定八款玩偶进货数最不得超过B款玩偶进货数量的一半，则有多少种进货方案？

（两种玩偶都要购进）

③在②条件下，求4款玩偶进货数量取最大值时的利涧.

5.某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜，某超市看好甲、乙两种有

机蔬菜的市场价值，经调查甲种蔬菜进价每千克771元，售价每千克16元；乙种蔬菜进价每

千克九元，售价每千克18元.

（1）该超市购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜5千克需要”0元；购进甲种蔬菜6千克和

乙种蔬菜10千克需要200元.求m,n的值.

（2）该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共100千克，且投入资金不少于1160元又不多

于1168元，设购买甲种蔬菜4千克，求有哪几种购买方案.

（3）在（2）的条件下，超市在获得的利润取得最大值时，决定售出的甲种蔬菜每千克捐出

2a亓，乙种蔬菜每千克捐出Q元给当地福利院，若要保证捐款后的利润率不低于20%,求a的

最大值.

题型五：方案问题

1.某学校计划租用甲、乙两种客车送240名师生（其中学生233名、教师7名）集体外出

活动，要求每辆客车上至少要有1名教师.甲、乙两种客车的载客量和租金如下表：

甲种客车乙种客车

载客量（单位：人/辆）4530

租金（单位：元/辆）400280

则最节省费用的租车方案是（）

A.租甲种车4辆，租乙种车2辆B.租甲种车5辆，租乙种车1辆

C.租甲种车2辆，租乙种车5辆D.租甲种车3辆，租乙种车4辆

2.为了发展特色产业，红旗村花费4000元集中采购了4种树苗500株，B种树苗400株，已

知8种树苗单价是A种树荏单价的L25倍.

⑴求小8两种树苗的单价分别是多少元？

⑵红旗村决定再购买同样的树苗100株用于补充栽种，其中力种树苗不多于25株，在单价

不变，总费用不超过480元的情况卜，共有几种购买方案？哪种方案费用最低？最低费用是

多少元？

3.地球上的淡水资源是有限的，为节约用水，某公司准备购进A型和8型两种设备共10台，

用于将雨水和牛产用水再次收集与重勺循环便用.已知购讲A型设备3台、B型设备1台，共

需97万元；购进人型设备2台、B型设备3台，共需116万元.

⑴购买A型设备和B型设等每台各需多少万元？

⑵已知A型和B型设备每台每天处理的循环水量分别为35吨和30吨，若该公司购买A型和8

型两种设备的总费用不超过240万元，为确保这10台设备每天处理的循环水量不少于320吨,

则该公司有几种购买方案？哪种购买方案费用最少？

题型六：运输问题

1.中牟全县西瓜总种植面积12万多亩，中牟西瓜享有“籽如宝石辄如蜜，中牟西瓜甜到皮〃、

“凉争冰雪甜争蜜，香拂笑语牙水生〃的美称.近年来，中牟县委、县政府大力推进西瓜产业

化经营，在甲、乙两村的附近修建了4,3两个冷库，已知A冷库可储存260吨西瓜，B、冷

库可储存240吨西瓜，现甲、乙两村各有200吨和300吨西瓜需运往人，8两个冷库储存,

且甲、乙两村分别运往A,B两个冷库的西瓜运输费用：单位：元/吨）如下表：

AB

甲20元/吨25元/吨

乙15元/吨18元/吨

⑴设甲村运往A冷库工吨西瓜，甲、乙两村运往4,B两个冷库的西瓜运输费用分别用y甲,

y乙表示，请求出y甲，y乙与》之间的函数关系式.

⑵考虑到乙村的经济承受能力，乙村的运输费用不得超过4980元，请问当工的值为多少时，

才能使两村的运输费用之和最小？并求出这个最小费用.

2.现从A、B两个蔬菜市场向甲乙两地运送蔬菜，A、8两个蔬菜市场各有14吨蔬菜，其中

甲地需要蔬菜15吨，乙地需要蔬菜13吨.从A运到甲地运费需要每吨50元，从A地到乙

地需要每吨30元；从A地运到甲地需要每吨60元，从4地到乙地需要每吨4s元.

（1）设A向甲地运送蔬菜x吨，请完成下表：

运往甲地的蔬菜质量（吨）运往乙地的蔬菜质量（吨）

AX

B

（2）设总运费卬元，请用含1的式子表示W

3.某果品公司要请汽车运输公司或火车货运站将60吨水果从A地运到B地.已知汽车和

火车从A地到8地的运输路程都是x千米，两家运输单位除都要收取运输途中每吨每小时5

元的冷藏费外，其他要收取的费用和有关运输资料由下表列出"

运输速度运费单价运输途中冷藏

运输单位装卸总费用（元）

（千米/时）元/（吨•千米）元/（吨•时）

汽车货运公司751.554000

火车货运站1001.356600

⑴用含x的式子分别表示汽车货运公司和火车货运站运送这批水果所要收取的总费用（总运

费=运费+运输途中冷藏费+装卸总费用）；

（2）果品公司应该选择哪家运输单位运送水果花费少？

题型七：费用最低问题

1.一家游泳馆的收费标准为30元/次,若购买会员年卡,则可享受如卜优惠:

会员年卡类型办卡费用（元）每次游泳收费（元）

A类5025

B类20020

C类40015

例如,购买A类会员年卡,--年内游泳20次，消费50+25X20=550元.若一年内在该游泳馆游

泳的次数介于40与50之诃（含40、50）,则最省钱的方式为（）

A.购买A类会员年卡B,购买B类会员年卡

C.购买C类会员年卡I）.不购买会员年卡

2.某单位计划在新年期间组织员工到某地旅游，参加旅游的人数估计为10至25人，甲、乙

两家旅行社的服务质量相同，且报价都是每人200元.经过协商，甲旅行社表示可给予每位

游客七五折优惠：乙旅行社表示可先免去•位游客的旅游费用，然后给予其余游客八折优

惠.该单位选择哪一家旅行社支付的旅游费用较少？

3.某人因需要经常去灯印资料,甲好印社直接按每次印的张数计朝，乙密印社可以加入金员，

但需按月付一定的会员费.两复印社每月收费情况如图所示，根据图中提供的信息解答

下列问题：

（1）乙复印社要求客户每月支付的会员费是元；甲复印社每张收费是元;

（2）求出乙复印社收费情况,，关于复印页数%的函数解析式，并说明一次项系数的实际

意义；

（3）当每月狂印多少页时，两更印社实际收费相同；

（4）如果每月复印200页时，应选择哪家复印社？

4.某种黄金饰品在甲、乙两个商店销售，甲店标价280元/克，按标价出售，不优惠，乙店标

价300元/克，但若买的黄金饰品重量超过3克，则超出部分可打八折出售.

（1）分别写出到甲、乙商店购买该种黄金饰品所需费用y（元）和重量文（克）之间的

函数关系，并写出定义域；

（2）李阿姨要买一条重量不超过10克的此种黄金饰品，到哪个商店购买最合算？请说

明理由.

【答案】

23.4实际问题与一次函数题型突破2025-2026学年

人教版八年级下册（七大题型）

题型一：根据实际问题列出一次函数表达式

1.百货大楼进了一批花布，出售时要在进价（进货价格）的基础上加一定的利润，其长度X

与售价），如下表，下列用长度X表示售价），的关系式中，正确的是（）

长度力帆1234-

售价W元8+0.316+0.624+0.932+1.2•••

A.J=8A+0.3B.y=（8+0.3）x

C.y=8+0.33D.y=8+O.3+x

【答案】B

2.平行四边形的周长为240,两邻边长为x、6则），与X之间的关系是（）

A.y=[20-x(0<x<120)B.y=120-x(0WxW120)

C.,y=240-x(0<x<240)D.y=240-x(0«40)

【答案】A

3.某小汽车的油箱可装汽油30升，原有汽油10升，现再加汽油x升.如果每升汽油7.6元，

求油箱内汽油的总价y（元）与x（升）之间的函数关系是（）

A.），=7.6x（0W%W20）B.y=7.6x+76（0WxW20）

C.），=7.6x+10（0WxW20）D.y=7.6.r+76（10WxW30）

【答案】B

4.汽车由北京驶往相距120千米的天津，它的平均速度是30千米/时，则汽车距天津的路程

S（千米）与行驶时间r（时）的函数关系及自变量的取值范围是（）

A.S=120-30,（0WfW4）B.S=30,（0W/W4）

C.5=120-30/（r>0）D.S=30t（r=4）

【答案】A

5.声音在常温空气中的传播速度是340〃而，则传播距离/（〃?）与传播时间t（s）之间的函

数表认式为.

【答案】/=340/.

题型二：行程问题

1.甲、乙两运动员在直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步560米，先到终点的运动

员原地休息.已知甲先出发1秒，两运动员之间的距离y（米）与乙出发的时间x（秒）

之间的关系如图所示.给出以下结论：①a=7；②6=63；③c=80.其中正确的是（）

C.D.®(3)

【答案】C.

2.甲、乙两人分别从笔直道路上的A、4两地出发相向匀速而行，已知甲比乙先出发6分钟,

两人在C地相遇，相遇后甲立即按原速原路返回人地，乙继续向人地前行，约定先到八

地者停止运动就地休息.若甲、乙两人相距的路程y（米）与甲行走的时间x（分钟）之

间的关系如图所示，有下列说法：①甲的速度是60米/分钟，乙的速度是80米/分钟；②

甲出发30分钟时，两人在。地相遇；③乙到达A地时，甲与A地相距450米，其中正

【答案】D.

3.甲、乙两车分别从A,。两地同时相向匀速行驶，当乙车到达A地后，继续保持原速向远

离B的方向行驶，而甲车到达4地后立即掉头，并保持原速与乙车同向行驶，经讨12

小时后两车同时到达距A地30（）千米的C地（中途味息时间忽略不计）.设两车行驶的

时间为x（小时），两车之间的距离为y（千米），），与x之间的函数关系如图所示，则当

乙车到达A地时，甲车距A地千米.

【答案】150.

4.如图，甲骑自行车与乙骑摩托车沿相同路线由A地到B地行驶，两地之间的路程是60km,

请根据图象解决下列问题：

123456x/h

⑴分别求出甲行驶的路程yi(km)、乙行驶的路程为(km)与甲行驶的时间以八)之间的函数

表达式；

⑵若甲、乙都行驶且甲与乙相距的路程为12km,求x的值.

【答案】⑴%=10%；y2=40%~120

(2)3.6或4.4

(1)

解：设甲行驶的路程为(km)与甲行驶的时间x(h)之间的函数表达式为为=自刈

••・函数图像经过(4,40)点，

40=4的，

解得七=10,

•••甲行驶的路程力(km)与甲行驶的时间》(九)之间的函数表达式为%=10%；

设乙行驶的路程乃(km)与甲行驶的时间M/i)之间的函数表认式为乃=七%+4

•••函数图像经过(4,40)和(4.5,60),

(40=4k2+b

二(60=4.5七+b'

解得心=40,b=-120,

.・.y2=40x—120,

，乙行驶的路程先(km)与甲行驶的时间*(九)之间的函数表达式为为=40%-120；

(2)

解.：甲、乙都行驶且甲与乙相遇前相距的路程为12km时，

10x-(40%-120)=12,

解得％=3.6；

甲、乙都行驶且甲与乙相遇后前相距的路程为12km时，

(40%-120)-10%=12,

解得工=4.4；

甲、乙都行驶且甲与乙相距的路程为12km时，x的值为3.6或44

5.一条公路旁边依次有A,B,C三地，甲、乙两人同时分别从A地、8地骑自行车前往C

地，他们距C地的路程S(km)与行驶时间/Ch)之间的函数关系如图所示，请根据图像

提供的信息解答下列问题：

(1)A,6两地相距千米，A,C两地相距千米；

(2)分别求出甲、乙两人距。地的路程S与行驶时间/之间的函数关系式；

⑶甲、乙两人谁先到达C地，此时另一人距C地的路程还有多少？

【答案】(1)10,40

(2)S9=-20/+40,S乙=-12/+30

⑶甲先到达。地，此时乙距。的路程还有6千米

(1)

解：A,8两地相距40・30=10千米,A,C两地相距40千米;

故答案为：10，40：

(2)

解：由函数图象知，甲距C地的路程S俨与行驶时间，之间的函数图象过(0,40)、(2,0)

两点，

设函数关系式为S/=2”+40,

则有勿即即所以所求函数关系式为：

0=2+40,=-20.Sfp=-20/+40：

因为乙距C地的路程s与行驶时间/之间的函数图象过(0,30)、(2.5,0)两点，

可设函数关系式为5乙=奴+30,

则有即

0=2.5&2+30,k2=~12.

所以所求函数关系式为：S^=-12/+30；

(3)

解：由图象知，当1=2,S甲=0,

即甲到达。地.

而当/=2时，S2,--12x2+30=6(千米).

答：甲先到达。地，此时乙距C的路程还有6千米.

题型三：水费与电费问题

1.某地为了鼓励市民节约用水，采取阶梯分段收费标准，共分三个梯段，0〜15吨为基本

段，15〜22吨为极限段，超过22吨为较高收费段，且规定每月用水超过22吨时,超过

的部分每吨4元，居民每月应交水费y（元）是用水量x（吨）的函数，其图象如图所示.

（1）基本段每吨水费2元；

（2）若某用户该月用水20吨，应交水费为46元；

（3）y与x的函数解析式：y=2x；

（4）若某月一用户交水费48元，则该用户用水21吨,

其中正确的个数为（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B.

2.为了加强公民节水意识，某市制定了如下用水收费标准：每户每月用水不超过10吨，水

价为每顿1.2元；超过1C顿时，超过部分按每顿1.8元收费.该市某户居民5月份用水x吨

（x>10）,应交水费y元，则y关于x的关系式.

9

【答案】y=7x—6.

0

3.某城市为了节约用水，采用分段收费标准，若某户居民每月应交水费y（元）与用水量工

（吨）之间关系的图像如图所示，根据图形回答：

⑴该市自来水收费时，每户使用不超过5吨时，每吨收费元；超过5吨时，每吨收

费元；

（2）求该户居民每月应交水费y（元）与用水量x（吨）之间的关系式;

⑶若某户居民某月交水费17元该户居民用水多少吨？

【答案】（1）2,3.5；

(2)y=[2x(0<X<5).

(3.5x-7.5(x>5)'

⑶7吨.

【详解】(1)解：附0+5=2(元/吨)，

回不超过5吨时，每吨收费2元，

团(20.5—10)+3=3.5(元/吨)，

0超过5吨时，每吨收费3.5元，

故答案为：2»3.5；

(2)解：当03工工5时，设y=mx(mH0),

把x=5,y—10代入得，5m=10,

解得?n=2,

0y=2x：

当x>5时，设y=kx+bf

把(5,10),(8,20.5)代入得,

(5k+b=10

y8k+b=20.5

解得｛k=3.5

b=-7.5

回y=3.5x—7.5；

综上所述，y与％之间的关系式为y=%菖(°

(3)解：a17>10,

团用水量超过5吨，

把y=17代入y=3.5%-7.5得，3.5%-7.5=17,

解得x=7,

答：该户居民用水7吨.

4.世界水日为每年的3月22日，宗旨是唤起公众的节△意识，加强水资源保护.某市节约

川水，采取阶梯分段收费亦准，已知用户每月用水量不超过15吨时，水费为。元/吨，每月

应交水费N元)与用水量•吨)之间的函数关系如图所示.

（1）填空：Q=;

⑵当用水量x超过15吨时，求），与x之间的函数表达式；

⑶若某用户3月份交水费45元，求该用户3月份的用水量.

【答案】⑴2

（2）y=3x—15

（3）20吨

【详解】（1）解：当每月用水量不超过15吨时，），与x之间的函数图象是一条过原点的线

段，为一次函数，

当％=15吨时，y=30元，

水费Q=,=2元/吨.

（2）解：•••当用水量x超过15吨时，根据），与x之间的函数图象可知，y是关于％的一次困

数，设其解析式为团y=kx+b，过点（15,30）、（23,54）,代入解析式得

（30=15k+hk=3

（54=23k+bf解得也=-15'

••・当用水量x超过15吨时，y与x之间的函数表达式为y=3%-15.

（3）解：由45>30可知该用户3月份用水量超过15吨，

令3%-15=45,

解得x=20,

二该用户3月份的用水量为20吨.

5.电力公司为鼓励市民节约用电，采取按月用电量分段收费办法.若某户居民每月应交电

费y（元）与用电量”（度）的函数图像是〜条折线（如国所示），根据图像解下列问题：

（1）请你根据图像所描述的信息，分别求出当0WXW100和％>100时，y与％的函数关系

式.

（2）利用函数关系式，说明电力公司采取的收费标准.

（3）若该用户某月用电62度，则应缴费多少元？若该用户某月缴费111元时，则该用户这

月用了多少度电？

【答案】（1）当OWxWlOO时，y=0.6x；当％>100时，y=0.85x-25；（2）当月用电

量不超过100度时，每度电费0.6元；当月用电量超过100度时，超过部分每度电费0.85

元.（3）应缴费37.2元，该用户这月用了160度电.

【详解】（1）当0WXW100时，设y=将点（100,60）代入,求出七二0.6,

0y=0.6x,

当％>100时,设y=g+b,将点（100,60）和点（140,94）代入,得兽］黑，解得

（k=0.85

Id2=-25*

0y=0.85x—25；

（2）根据y=0.6x（0<x<100）可以得到：当月用电量不超过100度时，每度电费0.6元，

根据y=0.85x—25（%>100）可以得到：当月用电量超过100度时，超过部分每度电费0.85

元；

（3）当％=62时，y=0.6x62=37.2元，

即应缴费37.2元,

当、=111时，0111>60,

团把y=111代入y=0.85X一25中得111=0.85%-25,解得％=160,

即该用户这月用了160度电.

题型四：利润问题

1.如图是本地区一种产品30天的销售图象，图①是产品日销售量y（单位：件）与时间E

（单位：天）的函数关系，图②是一件产品的销售利润z（单位：元）与时间£（单位：天）

的函数关系，已知日销售利润=日销售量x一件产品的销售利润.下列结论错误的是（）

图①

A.第24天的日销售量为200件B.第12天的日销售利润是1950元

C.第30天的日销售利润是5元D.第10天销售一件产品的利润是15元

【答案】C

2.某玩具商店计划购进“汽车”玩具模型和“飞机”玩具模型，同样花费320元，“汽车”模型的

数量比"飞机"模型多4个且每个“汽车”模型成本比每个"飞机〃模型成本少20%.

⑴"汽车"和"飞机"模型的成本各多少元?

（2）该航模店计划购买两种模型共100个，且每个“飞机〃模型的售价为35元，“汽车”模型的售

价为25元.设购买"飞机〃模型Q个，售卖这两种模型可获得的利润为w元，

①求w与a的函数关系式（不要求写出〃的取值范围）；

②若购进“飞机”模型的数量不超过“汽车”模型数量的一半，则购进〃飞机”模型多少个时，销

售这批模型可以获得最大利润？最大利润是多少？

【答案】（1）"飞机〃模型成本为每个20元，“汽车”模型成本为每个16元

⑵①w与Q的函数关系式为w=6a+900：②购讲“飞机〃模型33个时，销佃椒批模型可以

获得最大利润，最大利润是1098元

【详解】（1）解：设"飞机”模型成本为每个工元，则“汽车”模型成本为每个（1-20%）x=0.8x（

元），

根据题意得：-=^-4

x0.8x

解得％=20,

经检验，％=20是原方程的解，且符合实际意义，

0.8%=16（元），

答：“飞机〃模型成本为每个20元，“汽车〃模型成本为每个16元；

（2）①设购买“飞机”模型a个，则购买“汽车〃模型（100-。）个，

则w=（35-20）Q+（25-16）（100-a）=6a+900,

•••w与Q的函数关系式为w=6Q+900；

②团购进“飞机〃模型的数量不超过“汽车”模型数量的一半，

•••a<“100-a）,

解得a<詈，

iv=6a4-900,6>0,。是正整数，

••・当a=33时，w最大，最大值为1098,

答：购进“飞机”模型33个时，销售这批模型可以获得最大利润，最大利润是1098元.

3.5G时代的到来，给人类生活带来很多的改变.某营业厅现有力、8两种型号的5G手机,

进价和售价如表所示：

进价（元/部）售价（元/部）

A30003400

B35004000

⑴若该营业厅卖出70台八型号手机，30台8型号手机，可获利元；

⑵若该营业厅购进A、6两种型号手机共30台，其中8型号手机的数量不多于A型号手机

数量的2倍，请设计一个购买方案：营业厅购进两种型号的手机各多少台时获得最大利润,

求最大利润是多少？

【答案】⑴43000

（2）营业厅购进人型手机10台，8型手机20台时，获得最大利润14000元

【详解】（1）解：70x（3400-3000）+30x（4000-3500）=43000（元），

即卖出70台A型号手•机，30台8型号手机，可获利43000元.

（2）解：设营业厅购进人型手机大台，8型手机（30-丫）台，获得利润），元，根据题意得:

y=（3400-3000）%+（4000-3500）（30-x）

=40Ox+15000—500x

=-100x+15000,

型号手机的数量不多于A型号手机数量的2倍，

（30-%42x

代30-%>0，

解得：10WXV30,

0-100<0,

团），随工的增大而减小，

团当％=10时，丁有最大值，且最大值为：

-100X10+15000=14000（元），

团营业厅购进A型手机10台，8型手机20台时、获得最大利润14000元.

4.狮猴嬉戏是王屋山景区的一大特色，掰猴玩偶非常畅销.小李在某网点选中A,B两款掰

猴玩偶，决定从该网点进货并箱售，两款玩偶的进货价和倘售价如下表：

类别

4款玩偶8款玩偶

价格

进货价(元/个)4030

销售价(元/个)5645

⑴第一次小李用1100元购进了4,8两款玩偶共30个，求两款玩偶分别购进多少个.

⑵第二次小李进货时，计划购进两款玩偶共30个.若设小李购进月款玩偶加个，这些玩偶

全部卖完所获得的利润为W元.

①请用含小的代数式表示W；

②若网点规定A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半，则有多少种进货方案？

(两种玩偶都要购进)

③在②条件下，求A款玩偶进货数量取最大值时的利涧.

【答案】(1)A款玩偶购进20个，8款玩偶购进10个

(2)①W=〃?+450：②有10种进货方案；③A款玩偶进货数量取最大值时的利润为460元

⑴

解：设A款玩偶进购『个.B款玩偶进购)，个，

根据题意，得，

+y=30

U30y=1100

解喉器

答：A款玩偶购进20个，B款玩偶购进10个

⑵

解：(1)A款玩偶进购〃，个，则B款玩偶进购(30-/n)个

根据题意，得，

W=(56-40)m+(45-30)(30-zw)=/n+450

②根据题意，得，

m<1(30—m)

解得m<lQ

因为〃，为正整数，且两种玩偶都要购进，所以有10种进货方案.

（3）vl<w<10

0A款玩偶进货数量的最大值取10，此时的利润为：卬=川+450=10+450=460（元）

答：A款玩偶进货数量取最大值时的利润为460元.

5.某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜，某超市看好甲、乙两种有

机蔬菜的市场价值，经调查甲种蔬菜进价每千克m元，售价每千克16元；乙种蔬菜进价每

千克n元，售价每千克18元.

（1）该超市购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜5千克需要170元；购进甲种蔬菜6千克和

乙种蔬菜10千克需要200元.求m,n的值.

（2）该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共100千克，且投入资金不少于1160元又不多

于1168元，设购买甲种蔬菜》千克，求有哪几种购买方案.

（3）在（2）的条件下,超市在获得的利润取得最大值时,决定售出的甲种蔬菜每千克捐出

2a元，乙种蔬菜每千克捐出a元给当地福利院，若要保证捐款后的利润率不低于20%,求a的

最大值.

【答案】（1）m的值为10,n的值为14；（2）有3种购买方案，方案1：购买甲种蔬菜58

千克，乙种蔬菜42千克；方案2：购买甲种蔬菜59千克，乙种蔬菜41千克；方案3：购

买甲种蔬菜60千克，乙种蔬菜40千克；（3）。的最大值为1.8.

【详解】⑴依题意，得:｛雷+卷工器，

解得:"工

答：zn的值为10,n的值为14.

（2）设购买甲种蔬菜％千克，则购买乙种蔬菜（100-%）千克，

依题意'得：（10%+14（100-°x）<1168,

解得：58<x<60.

既为正整数，

=58,59,60,

回有3种购买方案，

方案1：购买甲种蔬菜58千克，乙种蔬菜42千克；

方案2：购买甲种蔬菜59千克，乙种蔬菜41千克；

方案3：购买甲种蔬菜60千克，乙种蔬菜40千克.

(3)设超市获得的利润为y元，

则y=(16-10)x+(18-14)(100-x)=2x+400.

0/c=2>0,

团y随汇的增大而增大，

团当％=60时，y取得最大值，最大值为2x60+400=520.

依题意，得：（16-10-2a）X60+（18-14-a）x40>（10x604-14x40）x20%,

解得：a<1.8.

答：a的最大值为1.8.

题型五：方案问题

1.某学校计划租用甲、乙两种客车送240名师生（其中学生233名、教师7名）集体外出

活动，要求每辆客车上至少要有1名教师.甲、乙两种客车的载客量和租金如下表：

甲种客车乙种客车

载客量（单位：人/辆）4530

租金（单位：元/辆）400280

则最节省费用的租车方案是（）

A.租甲种车4辆，租乙种车2辆B.租甲种车5辆，租乙种车1辆

C.租甲种车2辆，租乙种车5辆D.租甲种车3辆，租乙种车4辆

【答案】A

2.为了发展特色产业，红旗村花费4000元集中采购了4种树苗500株，B种树苗400株，已

知8种树苗单价是A种树荏单价的1.25倍.

⑴求小8两种树苗的单价分别是多少元？

⑵红旗村决定再购买同样的树苗100株用于补充栽种，其中人种树苗不多于25株，在单价

不变，总费用不超过480元的情况K,共有几种购买方案？哪种方案费用最低？最低费用是

多少元？

【答案】（1乂种树苗的单价是4元，则8种树苗的单价是5元

⑵有6种购买方案，购买A种树苗，25棵，购买8种树苗75棵费用最低，最低费用是475

元.

【详解】（1）解：设4种树苗的单价是x元，则8种树苗的单价是1.25、元，根据题意得:

500x+400x1.25%=4000,

解得：x=4,

01.25.¥=5,

答：力种树苗的单价是4元，则3种树苗的单价是5元；

(2)解：设购买A种树苗。棵，则购买B种树苗(100-“)棵，其中〃为正整数，根据题意

得：

(0<a<25

(4a+5(100-a)<480'

解得：20Wa三25,

加为正整数，

加取20,21,22,23,24,25,

因有6种购买方案，

设总费用为w兀，

团w=4Q+5(100-a)=-a+500,

0-KO,

同卬随。的增大而减小，

B当。=25时，w最小,最小值为475,

此时100-4=75,

答：有6种购买方案，购买A种树苗，25棵，购买8种树苗75棵费用最低，最低费用是475

元.

3.地球上的淡水资源是有限的，为节约用水，某公司准备购进A型和8型两种设备共10台，

用丁•将雨水和生产用水再次收集与重复循环使用.已知购进A型设备3台、B型设备1台，共

需97万元；购进A型设备2台、8型设备3台，共需116万元.

⑴购买A型设备和B型设等每台各需多少万元？

(2)已知A型和8型设备每台每天处理的循环水量分别为35吨和30吨，若该公司购买4型和B

型两种设备的总费用不超过240万元，为确保这10台设备每天处理的循环水量不少于320吨,

则该公司有几种购买方案？哪种购买方案费用最少？

【答案】⑴购买A型设备需25万元，购买3型设备需22万元.

(2)有3种方案：方案一：设购买人型设备4台，则需要8型设备6台；

方案二：设购买A型设备5台，则需要8型设备5台；

方案三：设购买4型设备6台，则需要B型设备4台;

方案一费用最小.

(1)

解：设购买A型设备需工万元，购买8型设备需y万元，由题意得：

(3x+y=97得(x=25

(2x+3y=116J解得：jy=22'

答：购买A型设备需25万元，购买3型设备需22万元.

(2)

解：设购买A型设备Q台，则需要B型设备(10-Q)台，由题意得：

.俎

1(2355a+322。(110。-迫a)<>23420。'解得：名"了20

刖为整数，

团。可以取：4,5,6,

故有3种方案：

方案一：设购买A型设备4台，则需要8型设备6台；

方案二：设购买A型设备5台，则需要8型设备5台；

方案三：设购买A型设备6台，则需要8型设备4台；

设总费用为w万元，贝lj：W=25(Z+22(10-Q)=3Q+220,

03>0,团w随着Q的增大而增大，

回当Q=4时，w最小=3x4+220=232；

团方案一费用最小.

答：有3种方案：方案一：设购买A型设备4台，则需要8型设备6台；

方案二：设购买A型设备5台，则需要8型设备5台；

方案三：设购买4型设备6台，则需要3型设备4台；

方案一费用最小.

题型六：运输问题

1.中牟全县西瓜总种植面积12万多亩，中牟西瓜享有“籽如宝石觐如蜜，中牟西瓜甜到皮〃、

“凉争冰雪甜争蜜，香拂笑语牙水生'’的美称.近年来，中牟县委、县政府大力推进西瓜产业

化经营，在甲、乙两村的附近修建了A,8两个冷库，已知A冷库可储存260吨西瓜，8冷

库可储存240吨西瓜，现甲、乙两村各有200吨和300吨西瓜需运往A,8两个冷库储存,

旦甲、乙两村分别运往A,6两个冷库的西瓜通输费用；单位：元/吨)如下表：

AB

甲20元/吨25元/吨

乙15元/吨18元/吨

⑴设甲村运往A冷库x吨西瓜，甲、乙两村运往A,B两个冷库的西瓜运输费用分别用y甲，

y乙表示，请求出y甲，y乙与》之间的函数关系式.

(2)考虑到乙村的经济承受能力，乙村的运输及用不得超过4980元，请问当》的值为多少时，

才能使两村的运输费用之和最小？并求出这个最小费用.

【答案】⑴y甲=-5%+5000,y乙=3%+4620

(2)当x=120,运输费最少，为9380元

【详解】(1)解：由题意，得：甲村运往8冷库(200-工)吨西瓜，乙村运往八冷库(260-切

吨西瓜，运往B冷库