2024年高考数学试题分类汇编：概率统计

2024高考真题汇编

专题12概率统计

1.（新课标全国H卷）某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩

产量（均在［900,1200）之间，单位：kg）并部分整理下表

亩产量[900,950)[950,1000)[1000,1050)[1100,1150)[1150,1200)

频数612182410

据表中数据，结论中正确的是（）

A.100块稻田亩产量的中位数小于1050kg

B.100块稻田中亩产量低于1100kg的稻田所占比例超过80%

C.100块稻田亩产量的极差介于200kg至300kg之间

D.100块稻田亩产量的平均值介于900kg至1000kg之间

【答案】C

【分析】计算出前三段频数即可判断A：计算出低于1100kg的频数，再计算比例即可判断B：根据极差计

算方法即可判断C；根据平均值计算公式即可判断D.

【详解】对于A,根据频数分布表可知，6+12+18=36<50,

所以亩产量的中位数不小于1050kg,故A错误；

对于B,亩产量不低于UOOkg的频数为24+10=34,

所以低于1100kg的稻田占比为当沪=66%,故B错误；

对干C,稻田亩产量的极差最大为1200-900=300,最小为1150-950=200,故C正确；

对于D,由频数分布表可得,亩产量在［1050,1100）的频数为100-（6+12+18+24+10）=30,

所以平均值为，x（6x925+12x975+18x1025+30x1075+24x1125+10x1175）=1067,故D错误.

100

故选；C.

2.（新高考天津卷）下列图中，相关性系数最大的是（）

【分析】由点的分布特征可直接判断

【详解】观察4幅图nJ知，A图散点分布比较集中，且大体接近某一条直线，线性回归模型拟合效果比较

好，呈现明显的正相关，卜|值相比于其他3图更接近I.

故选：A

3.（全国甲卷数学（文））甲、乙、丙、丁四人排成一列，丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是（）

A.-B.-C.~D.：

4323

【答案】B

【分析】分类讨论甲乙的位置，得到符合条件的情况，然后根据古典概型计算公式进行求解.

【详解】当甲排在排尾，乙排第一位，丙有2种排法，丁就1种，共2种；

当甲排在排尾，乙排第二位或第三位，丙有1种排法，丁就1种，共2种；

于是甲排在排尾共4种方法，同理乙排在排尾共4种方法，于是共8种排法符合题意；

基本事件总数显然是A：=24,

Q1

根据古典概型的计算公式，丙不在排头，甲或乙在排尾的概率为^二3.

故选：B

4.（新高考上海卷）已知气候温度和海水表层温度相关，且相关系数为正数，对此描述正确的是（）

A.气候温度高，海水表层温度就高

B.气候温度高，海水表层温度就低

C.随着气候温度由低到高，海水表层温度呈上升趋势

D.随着气候温度由低到高，海水表层温度呈下降趋势

【答案】C

【分析】根据相关系数的性质可得正确的选项.

【详解】对于AB,当气候温度高，海水表层温度变高变低不确定，故AB错误.

对干CD,因为相关系数为正，故随着气候温度由低到高时，海水表层温度呈上升趋势，

故C正确，D错误.

故选:C.

5.（新课标全国I卷）（多选）为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得

到推动出口后亩收入的样本均值了=2.1,样本方差『=0.（）1，已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布

川（1.8,。1），假设推动出口后的自收入y服从正态分布N（元一）,则（）（若随机变量z服从正态分布

N（诙吟,P（Z<u+a）»0.8413）

A.P（X>2）>0.2B.P（X>2）<0,5

C.P（Y>2）>0.5D.P（r>2）<0.8

【答案】BC

【分析】根据正态分布的3b原则以及正态分布的对称性即可解出.

【详解】依题可知，元=2.1,/=0.01,所以yN（2.1,0.1）,

故『（丫>2）=〃（丫>2.1—0.1）=尸（/<2.1+0.1）之0.8413;>0.5,C正确，D车首误；

因为XN（1.8,0.1）,所以尸（X>2）=尸（X>1.8+2x0.1）,

因为p（X<1.8+0.1）之0.8413,所以尸（X>1.8+0.1）^1-0.8413=0.1587<0.2,

而P（X>2）=P（X>1.8+2x0.1）<P（X>1.8+0.1）<0.2,B正确，A错误，

故选:BC.

6.（新课标全国I卷）甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1,

3,5,7,乙的卡片上分别标有数字2,4,6,8,两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有

的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得。分，然后各自

弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率

为•

【答案】1/0.5

【分析】将每局的得分分别作为随机变量，然后分析其和随机变量即可.

【详解】设甲在四轮游戏中的得分分别为X，X2，X3，X4,四轮的总得分为X.

对于任意一轮，甲乙两人在该轮出示每张牌的概率都均等，其中使得甲获胜的出牌组合有六科，从而甲在

该轮获胜的概率P（X,=1）=^=1,所以E（XJ=|住=1,2,3,4）,

4433

从而E（X）=E（X|+X2+X3+Xj=Z£（Xj=Z6=j

A-lA-1*2

记0=P（X=%）（k=O,l,2,3）.

11

如果甲得0分，则组合方式是唯一的：必定是甲出1,3,5,7分别对应乙出2,4,6,8,所以Po=Q=五；

如果甲得3分，则组合方式也是唯一的：必定是甲出1,3,5,7分别对应乙出8,2,4,6,所以〃3===:.

A424

3

而X的所有可能取值是0,I,2,3,故为+8+〃2+〃3=1，PI+2P2+3〃3=E（X）=5.

所以〃]+〃2+纭=1,P1+2Pz+f,两式相减即得〃2+*=g，故"2+Pa=3,

所以甲的总得分不小于2的概率为〃2+“3=3.

故答案为：.

【点睛】关键点点睛：本题的关键在于将问题转化为随机变量问题，利用期望的可加性得到等量关系，从

而避免繁琐的列举.

7.（全国甲卷数学（理））有6个相同的球，分别标有数字I、2、3、4、5、6,从中不放回地随机抽取3次，

每次取1个球.记机为前两次取出的球上数字的平均值，〃为取出的三个球上数字的平均值，贝]团与〃差的

绝对值不超过g的概率是.

.7

【答案陛

【分析】根据排列可求基本事件的总数，设前两个球的号码为。力，第三个球的号码为。，则

u-i-b-3<2c<u+b+3,就。的不同取值分类讨论后可求随机事/牛的概率.

【详解】从6个不同的球中不放回地抽取3次，共有A：=120科，

设前两个球的号码为。力，第三个球的号码为。，则巴誓一竽

故|2C-(〃+M<3,故-3W2c—3+。)W3,

故〃+Z?-3W2rKa+b+3,

若c=l,则4+E5,则(48)为：(2,3),(3,2),故有2种,

若c=2,则$+647,则(9)为:(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(3,4),

(3,1),(4,1),(5,1),(6,1),(4,3),故有10#,

当。=3,贝IJ3K1+人工9,贝1」(。涉)为：

(1,2),(1,4),(1,5),(1,6),(2,4),(2,5).(2,6),(4,5),

(2,1),(4,1),(5,1),(6,1),(4,2),(5,2),(6,2),(5,4),

故有16种,

当c=4,M5<a+/><11»同理有16种,

当c=5,则7W〃+/?WI3,同理有10种，

当c=6,则9<〃+〃<15,同理有2种，

共阳与〃的差的绝对值不超过;时不同的抽取方法总数为2(2+10+16)=56,

故所求概率为言=郎.

14UID

7

故答案为：—

8.(新高考天津卷)A8,C,DE五种活动，甲、乙都要选择三个活动参加.(1)甲选到A的概率为:

已知乙选了人活动，他再选择8活动的概率为.

【答案】|4

(分析】结合列举法或组合公式和概率公式可求甲选到A的概率；采用列举法或者条件概率公式可求乙选

了A活动，他再选择8活动的概率.

【详解】解法一：列举法

从五个活动中选三个的情况有：

ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE,BCD,BCE,BDE,CDE洪10种情况，

其中甲选到A有6种可能性：ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE,

则甲选到A得概率为：P=^=|；

乙选A活动有6种可能性：ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE,

其中再选则B有3种可能性：ABC,ABD,ABE,

故乙选了A活动，他再选择8活动的概率为=3=不1

62

解法二：

设甲、乙选到A为事件乙选到8为事件N,

C23

则甲选到A的概率为2(")=潜=三；

C53

乙选了A活动，他再选择B活动的概率为p(MM)=皆篝=会=g

百

故答案为：g;；

9.(新高考上海卷)某校举办科学竞技比赛，有4B、C3种题库，A题库有5000道题，3题库有4000

道题，C题库有3000道题.小申已完成所有题，他A题库的正确率是0.92,8题库的正确率是0.86,。题

库的止确率是0.72.现他从所有的题中随机选一题，止确率是.

【答案】0.85

【分析】求出各题库所占比，根据全概率公式即可得到答案.

【详解】由题意知，题库的比例为：5:4:3,

543

各占比分别为二，二»

121212

543

贝I］根据全概率公式知所求正确率P=五x0.92+方x0.86+石x0.72=0.85.

故答案为:0.85.

10.(新课标全国II卷)某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一

阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成员为。分；若至少投中一次，

则该队进入第二阶段，由该队的另一名队员投篮3次，每次投中得5分，未投中得()分.该队的比赛成绩为

第二阶段的得分总和.某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为〃，乙每次投中的概率为夕，

各次投中与否相互独立.

(1)若〃=04,^=0.5,甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率.

⑵假设。＜〃＜，/，

(i)为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？

5)为使得甲、乙，所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？

【答案】(1)0.686

(2)(1)由甲参加第一阶段比赛；(1)由甲参加第一阶段比赛；

【分析】(1)根据对立事件的求法和独立事件的乘法公式即可得到答案；

⑵(i)首先各自计算出品=[|-。-〃)[心再作差因式分解即可判断；(ii)首先得

到x和y的所有可能取值，再按步骤列出分布列，计算出各自期望，再次作差比较大小即可.

【详解】(1)甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分，则甲第一阶段至少投中।次，乙第二阶段也至少投中1

次，

匕赛成绩不少于5分的概率2=(1一。.63)(1-0.53)=0.686.

(2)(i)若甲先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为扁

若乙先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为2=[1-(1-9)31〃3,

0</?<<7,

.,・脩-2="一(g-〃1)，一〃，+(〃-pg)，

=(9-P)(4?+〃。+J/)+(P-4){(P-"4)2+(4-pqS+(P-pq)(q-〃9)]

=(〃-/(3/"-3〃％-3/犷)

=3pq(p-q)(pq-p-q)=3pq(p-q)[(\-p)(l-<7)-1]>0,

•••%>也，应该由甲参加第一阶段比赛.

(ii)若甲先参加第一阶段比赛，比赛成绩X的所有可能取值为()，5,10,15,

P(X=O)=(l-p)3+[l-(l-p)3].(l-^)3,

32

P(X=5)=[1-(1-P)]C^-(1-<|,

32

P(X=1O)=[1-(1-P)].C^(1-<7),

P(X=15)=[l-(l-p)3]V，

.•.E(X)=15[l-(l-〃)[q=15(p3-3p2+3〃)p

记乙先参加第一阶段比赛，比赛成绩y的所有可能取值为0,5,10,15,

同理E(y)=150-3d+3办〃

：.E(X)-E(Y)=\5[pq(p+q)(p-q)-3Pq(p-q)]

=15(〃一。)〃“(〃+。—3),

因为。<〃<g,jjlijp-</<0,/?+^-3<l+l-3<0,

贝Ij(〃一夕)〃式〃+q—3)>o,

・•・应该由甲参加第一阶段比赛.

【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是计算出相关概率和期望，采用作差法并因式分解从而比较出大

小关系，最后得到结论.

11.（全国甲卷数学（理））某工厂进行生产线智能化升级改造，升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的

产品中随机抽取150件进行检验，数据如下:

优级品合格品不合格品总计

甲车间2624050

乙车间70282100

总计96522150

（1）填写如下列联表:

优级品非优级品

甲车间

乙车间

能否有95%的把握认为甲、乙两左间产品的优级品率存在差异？能否有99%的把握认为甲，乙两车间产品

的优级品率存在差异？

（2）已知升级改造前该工厂产品的优级品率〃=0.5,设万为升级改造后抽取的〃件产品的优级品率.如果

»>p+165*F

则认为该工厂产品的优级品率提高了，根据抽取的150件产品的数据，能否认为生

产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？（洞才12.247）

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2>k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

【答案】（1）答案见详解

（2）答案见详解

【分析】（1）根据题中数据完善列联表，计算K2,并与临界值对比分析；

（2）用频率估计概率可得万=0.64,根据题意计算〃+1.65出乎二结合题意分析判断.

【详解】（1）根据题意可得列联表：

优级品非优级品

甲车间2624

乙车间7030

可得心嚓粽空吟E

因为3.841<4.6875<6.635,

所以有95%的把握认为甲、乙两左间产品的优级品率存在差异，没有99%的把握认为甲，乙两车间产品的

优级品率存在差异.

（2）由题意可知：生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品的频率为哥=0.64,

用频率估计概率可得万=0.64,

又因为升级改造前该工厂产品的优级品率

则P+L65、严=0.5+1恪产Ea0.5+1.65x°，h0.568»

VnV15012.247

可知万>P+1.65秒科，

所以可以认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了.

12.（新高考北京卷）已知某险种的保费为0.4万元，前3次出险每次赔付0.8万元，第4次赔付0.6万元

赔偿次数01234

单数80()100603010

在总体中抽样100单，以频率估计概率：

⑴求随机抽取一单，赔偿不少于2次的概率;

（2）（i）毛利润是保费与赔偿金额之差.设毛利润为X,估计X的数学期望；

（ii）若未赔偿过的保单下一保险期的保费下降4%,已赔偿过的增加20%.估计保单下一保险期毛利润的

数学期望.

【答案】（诘

（2）⑴0.122万元（ii）0.1252万元

【分析】（1）根据题设中的数据可求赔偿次数不少2的概率；

（2）（i）设4为赔付金额，则J可取0,080.1.6,2.4.3,用频率估计概率后可求4的分布列及数学期望，从

而可求E（X）.

（ii）先算出下一期保费的变化情况，结合（1）的结果可求七（丫）.

【详解】（1）设A为“随机抽取一单，赔偿不少于2次”,

60+30+10_1

由题设中的统计数据可得P（4）=

800+100+60+30+10-10

（2）（i）设4为赔付金额，则J可取0,0.8,1.6,2.4,3,

41（Y）1

由题设中的统计数据可得〃（。=0）=.=W，P（4=0.8）=嗝=历,

P(^=|.6)=—=—,P(^=2.4)=—=—,

100050,1000100

10_1

%=3)=io66-To6

4O1

^E(^)=0x-+().8x—+1.6x—+2.4x—+3x——=0.278

351050100100

故E(X)=0.4-0.278=0.122(万元).

4]

(ii)由题设保费的变化为0.4'/96%+0.4、二乂1.2=0.4032,

故E(V)=0.122+0.4032-0.4=0.1252(万元)

13.（新高考上海卷）为了解某地初中学生体育锻炼时长与学业成绩的关系，从该地区29000名学生中抽取

58。人，得到日均体育锻炼时长与学业成绩的数据如下表所示：

时间范围学业成绩[0,0.5)[0.5,1)[U.5)[1.5,2)[2,2.5)

优秀5444231

不优秀1341471374027

(1)该地区29000名学生中体育锻炼时长不少于1小时人数约为多少？

(2)估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长(精确到0.1)

(3)是否有95%的把握认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关？

2

(附：r=7­其中〃=a+"c+d,P(z>3.841)«0.05.)

(a+b)(c+d)(a+c)(b^-d)'/

【答案】(1)12500

⑵D.9h

⑶有

【分析】(1)求出相关占比，乘以总人数即可;

(2)根据平均数的计算公式即可得到答案；

(3)作出列联表，再提出零假设，计算卡方值和临界值比较大小即可得到结论.

179+43+2825

【详解】(1)由表可知锻炼时长不少于1小时的人数为占比

58058

则估计该地区29000名学生中体育锻炼时长不少于1小时的人数为29000x==12500.

(2)估计该地区初中生的日均体育锻炼时长约为

10.5....0.5+11+1.5.....1.5+22+2.5

————x139+--------X11O91I+---------XI79+x43+x28

580222

则估计该地区初中学生FI均体育锻炼的时长为0.9小时.

(3)由题列联表如下:

[1,2)其他合计

优秀455095

不优秀177308485

合计222358580

提出零假设该地区成绩优秀与日均锻炼时长不少于1小时但少于2小时无关.

其中a=0.05.

580x(45x308-177x5())2

/=«3.976>3.841.

95x485x222x358

则零假设不成立，

即有95%的把握认为学业成绩优秀与日均锻炼时长不小于I小时且小于2小时有关.

2024高考模拟试题汇编

一、单选题

1.（2024•山东•二模）一组数据按从小到大的顺序排列为1,4,加，12,14,21,若该组数据的中位数是极

差的］3,则该组数据的第45百分泣数是（）

A.4B.6C.8D.12

【答案】D

【分析】利用对极差及中位数的概念理解，就可解得.

【详解】由已知可得极差是：21-1=20,而中位数是极差的|,即中位数是12,

根据六个数的中位数是：竺詈=12,解得〃?=12,

故选：D.

2.（2024・福建•二模）己知线性回归方程§，=八+0.6相应于点（2,5.5）的残差为41,则/；的值为（）

A.-2.4B.-2.5C.2.4D.2.5

【答案】D

【分析】根据线性回归方程估计）'，再根据残差定义列方程，解得结果即可.

【详解】因为相应于点（2,5.5）的残差为-0.1,所以5.5-R-0.1,

所以5.5+0.1=20+0.6，解得％=2.5.

故选:D.

3.（2024・湖北•三模）根据变量丫和x的成对样本数据，由一元线性回归模型（a、八八/\2得到经验

E（e）=0,D（e）=a~

回归模型$，="+》,求得如图所示的残差图模型误差（）

A.满足一元线性回归模型的所有假设

B.不满足•元线性回归模型的凤6）=0的假设

C.不满足一元线性回归模型的。(e)=〃假设

D.不满足一元线性回归模型的E(e)=0和D(e)=，的假设

【答案】D

【分析】根据一元线性回归模型::":二:2的有关概念即可判断.

E(e)=O,D(e)=b

y—bx+a+p

【详解】用一元线性回归模型厂一、八~、2得到经验回归模型£=小-3

眉e)=0,0(e)=b

根据对应的残差图，残差的均值E(e)=O不可能成立，且残差图中的点分布在一条抛物线形状的弯曲带状区

域上，

说明残差与坐标轴变量有二次关系，不满足一元线性回归模型，

故诜：D.

4(2024•河南•三模)已知

P(u-a<X<//+cr)=0.6827,-2a<X<//+2<T)=0.9545,P(//-3cr<X<〃+3cr)=0.9973.某体育器材

厂生产一批篮球，单个篮球的质量y(单位：克)服从正态分布N(600,4),从这一批篮球中随机抽检300

个，则被抽检的篮球的质量不小于596克的个数约为()

A.286B.293C.252D.246

【答案】B

【分析】根据正态分布的对称性求出外丫之596)的概率，即可得解.

【详解】由题意得〃=600,。=\/5=2,

P(Y>596)=P(r>//-2<T)=0.5+'(〃-纭？“=0.97725,

0.97725x300=293.175x293,

所以被抽检的篮球的质量不小于596克的个数约为293.

故选：B.

2I3

5.(2024.河北•三模)已知甲、乙、丙三人参加射击比赛，甲、乙、丙三人射击一次命中的概率分别为?，不；，

且每个人射击相互独立，若每人各射击一次，则在三人中恰有两人命中的前提下，甲命中的概率为()

【答案】D

【分析】设甲、乙、丙三人射击一次命中分别为事件A8,C,三人中恰有两人命中为事件。，结合相互独

立事件的概率乘法公式和条件概率的计算公式，即可求解.

【详解】设甲、乙、丙三人射击一次命中分别为事件A仇C,

每人各射击一次，在三人中恰有两人命中为事件。，

___I1321321213

贝I」P(D)=P(>4BC)+P(4BC)4-P(ZSC)=-x-x-+-xlx-+^xlx±=—,

32532532530

1

3

10

P(AD)=P(ABC)+P(ABC)=|xlx|+|x|x|=|,则。(A|切==-一

1313

30

故选:D.

6.(2024.湖南.三模)已知随机变量X服从正态分布且尸(X<24)=尸(X>2+Q=0.3,k>0,

贝IJP(2<XW2+")=()

A.0.2B.0.3C.0.7D,0.8

【答案】A

【分析】根据正态分布的对称性结合题意求解即可

【详解】根据正态曲线的对称性，由尸(X<2—A)=P(X>2+幻，得〃一人之一二2,

因为P(X<2-k)=P(X>2+k)=0.3M>0,

所以尸(2vX42+无)=0.5-0.3=0.2.

故选：A

二、多选题

7.(2024•河北•三模)根据中国报告大厅对2023年3月〜10月全国太阳能发电量进行监测统计，太阳能发电

量(单位：亿千瓦时)月度数据统计如下表：

月份3456

发电量/亿千瓦时242.94230.87240.59259.33

月份78910

发电量/亿千瓦时258.9269.19246.06244.31

关于2023年3月〜10月全国太阳能发电量，下列四种说法正确的是（）

A.中位数是259.115B.极差是38.32

C.第85百分位数是259.33D.第25百分位数是240.59

【答案】BC

【分析】根据题意，由中位数，极差，百分位数的定义，代入计算，逐一判断，即可得到结果.

【详解】将数据从小到大排序可得230.87,240.59,242.94,244.31,246.06.258.9,259.33,269.19,共8个数据,

744214-06

所以中位数是…2-=245.侬,故A错误:

极差是269.19-230.87=38.32，故B止确;

因为8x0.85=6.8,所以第85百分位数是第7个数，即259.33,故C正确;

240.59+242.94

因为8x0.25=2,所以第25百分位数是=241.765,故D错误;

2

故选:BC

8.（2024.江西•二模）为了解中学生喜爱足球运动与性别是否有关，甲、乙两校的课题组分别随机抽取了本

校部分学生进行调查，得到如下两个表格:

喜爱足球运动不喜爱足球运动合计

男性15520

女性81220

合计231740

甲校样本

喜爱足球运动不喜爱足球运动合计

男性7030100

女性4555100

合计11585200

乙校样本

n(ad-be)2

（参考公式及数据:/=n=a+b+c+d)

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'

a0.10.010.001

%2.7066.63510.828

则下列判断中正确的是（）

A.样本中，甲校男学生喜爱足球运动的比例高于乙校男学生喜爱足球运动的比例

B.样本中，甲校女学生喜爱足球运动的比例高于乙校女学生喜爱足球运动的比例

C.根据甲校样本有99%的把握认为中学生喜爱足球运动与性别有关

D.根据乙校样本有99%的把握认为中学生喜爱足球运动与性别有关

【答案】AD

【分析】对AB,根据甲乙两校男女学生喜爱足球运动的比例大小判断即可：对CD,根据独立性检验的性

质判断即可.

【详解】对A,甲校男学生喜爱足球运动的比例15"=53,乙校男学生喜爱足球运动的比例7合0=73

即甲校男学生喜爱足球运动的比例高于乙校男学生喜爱足球运动的比例，故A正确：

对B,甲校女学生喜爱足球运动的比例擀=：,乙校女学生喜爱足球运动的比例荒=云>:,

即甲校女学生喜爱足球运动的比例低于乙校女学生喜爱足球运动的比例，故B错误：

40x(15x12-5x8)2

对C,甲校中/起5.013<6.635,

20x20x23x17

所以根据甲校样本没有99%的把握认为中学生喜爱足球运动与怛别有关，故C错误;

对D,乙校中小=200x（70x55-30x45J“788>6635，

115x85x100x100

所以根据乙校样本有99%的把握认为中学生喜爱足球运动与性别有关，故D正确；

故选：AD

9.（2024・湖南♦三模）某校在运动会期间进行了一场“不服来战”对抗赛，由篮球专业的1名体育生组成甲组，

3名非体育生的篮球爱好者组成乙组，两组进行对抗比赛.具体规则为甲组的同学连续投球3次，乙组的同

21?5

学每人各投球1次.若甲组同学和乙组3名同学的命中率依次分别为,则（）

3256

A.乙组同学恰好命中2次的概率为非

B.甲组同学恰好命中2次的概率小于乙组同学恰好命中2次的概率

c.甲组同学命中次数的方差为:

D.乙组同学命中次数的数学期望为官

【答案】BCD

【分析】根据题意，利用概率乘法和加法公式，可判定A错误；根据独立重复试验的概率公式，可得判定

B正确，结合二项分布的方差，可判定C中，由乙组同学命中次数为随机变量y的所有可能取值为0,1,2,3,

求得相应的概率，结合期望的公式，可判定D正确.

【详解】对于A中，设“乙组同学恰好命中2次”为事件M,则

P（M）=?|f>3[1一|]+11一扑|4=4,所以A错误;

0/2\□JoZ/Do2U

对干B中，设“甲组同学恰好命中2次”为事件N,则P（N）=C；，-八zxi1=-4,因为弓Q>4?，所以B正确;

'）-⑴39209

对于C中，因为甲组同学每次命中的概率都为】，设甲组同学命中次数为X,则*~8（3]）,可得

♦、212

D（X）=3x-x-=-,所以C正确；

对干D中，设乙组同学命中次数为随机变量丫，则丫的所有可能取值为01,23,

所以p（y=o）=（j；2

X1-

I乙)I5)I6

p(y=i)12}“一|51

36=3,

5>GI)2)5-1}

1251

m=2)=p(M)q,p(y=3)=-x—x—=—,

2566

^E(r)=0x-L+lxl+2x^-+3xl=^,所以D正确.

20320615

故选：BCD.

10.（2024・河南•二模）现有编号分别为d（i=l,2,3）的三个盒子，其中A盒中共20个小球，其中红球6个，

4盒中共20个小球，其中红球5个，Aj盒中共30个小球，其中红球6个.现从所有球中随机抽取一个，记

事件A：“该球为红球”，事件B,：“该球出自编号为4（i=l,2,3）的盒中“，则下列说法正确的是（）

A・P（Alg）*

g

B.网力=公

JJ

C.P（瓦⑷哈

D.若从所有红球中随机抽取一个，则该球来自4盒的概率最小

【答案】ACD

【分析】由古典概率先计算P（4）,再由条件概率计算得到A正确；由全概率计算得到B错误；由条件概

率得到C正确；由古典概率得到D正确.

【详解】A：由题尸（用）=————=2,p（&）=—————=-,P（Bj=—————=-,

'1720+20+307'」20+20+307'720+20+307

“85）=H，P（R，）哮=＞（闻/备］故A正确;

B：由选项A可得尸（4）=P（4）P（4|四）+P（&）P（川鸟）+P（BJ尸（4|B3）=-X-^--I--X-+^X-=—,故

B错误;

C：因为P3）二,，所以尸（瓦）=1*1，

所以咽止喘=暇皿即啮故c*

70

D：由题该球来自A的概率为丁，=”，该球来自4的概率为丁，=,,该球来自人的概率为

6+5+6176+5+617

66

6+5+6一万'

所以该球来自A的概率最小，故D正确.

故选：ACD.

【点睛】关键点点睛：本题A,C关健在于应用条件概率公式即P（A|8）二华粤.

11.（2024・山东•二模）同时投掷甲、乙两枚质地均匀的硬币，记“甲正面向上”为事件A,“乙正面向上”为事

件8,“甲、乙至少一枚正面向上”为事件C,则下列判断正确的是（）

21

A.A与8相互独立B.A与3互斥C.P（B|C）=-D.P（C）=-

【答案】AC

【分析】根据独立事件的定义判断A,根据互斥事件的定义判断B,根据独立事件及条件概率的概率公式判

断C、D.

【详解】对于A,依题意P（A）=；,P网=；,P（^）=-i-=l=P（A）P（/?）,

乙乙乙x，q

所以事件A与事件8相互独立，故A正确；

对于B，由题意可知，事件A与事件8有可能同时发生，

例如“甲正面向上且乙正面向上“，故事件A与事件8不是互斥事件，故B错误;

iiaI

对于C、D,P（C）=1--x-=-,因为8uC,所以P（"C）=P（4）=5，

2

所以P（8|C）=今署=］=；,故c正确，D错误.

4

故选：AC.

12.（2024•福建•三模）假设甲袋㈡有3个红球和2个白球，乙袋中有2个白球和2个红球.现从甲袋中任取

2个球放入乙袋，混匀后再从乙袋中任取2个球.下列选项正确的是（）

A.从甲袋中任取2个球是1个红球I个白球的概率为］

B.从甲、乙两袋中取出的2个球均为红球的概率为4

C,从乙袋中取出的2个球是红球的概率为3急7

IQ

D.已知从乙袋中取出的是2个红球，则从甲袋中取出的也是2个红球的概率为劳

【答案】ACD

【分析】根据给定条件，结合古典概率公式、条件概率公式及全概率公式逐项计算判断得解.

【详解】从甲袋中取出2个球有i个红球的事件为4,i=（），L2,从乙袋中取出2个球红球的事件为B,

C'C13C23

'g=营亏。⑷=渡=历

P（BI4）=1■P（0A）=/=t尸⑻&）=*：,

3

对于A,从甲袋中任取2个球是1个红球1个白球的概率为P（A）=w，A正确；

对干B,从甲、乙两袋中取出的2个球均为红球的概率为P（4）P（8|4）=帝3］2=会3B错误；

211313237

对于C,从乙袋中取出的2个球是红球的概率P（B）=ZP（4）P（8|A）=77；X77+?£+77；X£=7^，C正

iw1U13〉〉1U〉1

确：

对于D,从乙袋中取出的是2个红球，则从甲袋中取出的也是2个红球的概率

32

神叱篇户"吟噂,D正确.

150

故选：ACD

三、填空题

13.（2024.安徽.三模）一个不透明的袋子装有5个完全相同的小球，球上分别标有数字1,2,3,4,4.现

甲从中随机摸出一个球记下所标数字后放回，乙再从中随机摸出一个球记卜所标数字，若摸出的球上所标

数字大即获胜（若所标数字相同则为平局），则在甲获胜的条件下，乙摸到2号球的概率为.

【答案】|

【分析】设事件“甲获胜”为事件A,事件“乙摸到2号球”为事件8,由古典概率公式求出P（A）,P（HR）,再

由条件概率求解即可.

【详解】设事件“甲获胜”为事件A,事件“乙摸到2号球”为事件8,

1+2+CLC；9n/心C；3

贝ItIP（4）=---：―,尸（A8）=」=—,

C；C；25'）C；C；25

3

所以叩M一篇匚一

295

-

25

故答案为：

14.（2024・广东•一模）如图所示，一个质点在随机外力的作用下，从原点。出发，每隔1s等可能地向左或

向右移动一个单位，共移动5次.该质点在有且仅有一次经过-1位置的条件下，共经过两次I位置的概率

为.

OOO